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1.已知$A(-3,y_1),B(2,y_2)$两点都在抛物线$y=-2(x-1)^2+k$上,比较$y_1,y_2$的大小.
【思维过程】
(1)分析问题:比较函数值$y_1$与$y_2$的大小→可尝试直接求出$y_1$与$y_2$的值,或是分析图象上点$A,B$的位置关系.
(2)分析条件:画图→分析特征.
由抛物线开口向
(3)尝试多种方法比较函数值的大小:
①方法一(增减法):$A,B$位于对称轴的
②方法二(距离法):点$A$到对称轴的距离比点$B$
③方法三(代入求值法):分别将$x=-3$,$x=2$代入$y=-2(x-1)^2+k$,得$y_1=k-32$,$y_2=k-2$,可得$y_1,y_2$的大小关系.
【思维过程】
(1)分析问题:比较函数值$y_1$与$y_2$的大小→可尝试直接求出$y_1$与$y_2$的值,或是分析图象上点$A,B$的位置关系.
(2)分析条件:画图→分析特征.
由抛物线开口向
下
,对称轴为直线$x=$1
,在图中可以画出抛物线的简图(标明对称轴的位置);(3)尝试多种方法比较函数值的大小:
①方法一(增减法):$A,B$位于对称轴的
异
侧(填“同”或“异”),点$A$关于对称轴的对称点$A'$的坐标为(5
$,y_1$),可得$y_1$＜
$y_2$;②方法二(距离法):点$A$到对称轴的距离比点$B$
远
(填“近”或“远”),由图象可得$y_1,y_2$的大小关系;③方法三(代入求值法):分别将$x=-3$,$x=2$代入$y=-2(x-1)^2+k$,得$y_1=k-32$,$y_2=k-2$,可得$y_1,y_2$的大小关系.
答案
1.(2)下；1；图略. (3)①异；5；＜ ②远
解析
【分析】
要比较抛物线上两点的函数值大小，首先需明确抛物线的基本特征：先根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，确定开口方向和对称轴；再结合三种方法推导大小：①增减法：先判断两点在对称轴的同侧还是异侧，异侧的话通过对称性把点转化到对称轴同侧，再利用增减性比较；②距离法：开口向下时，抛物线上的点到对称轴距离越远，函数值越小，直接计算两点到对称轴的距离比较即可；③代入求值法：直接将两点横坐标代入解析式求出函数值比较大小即可。
【解析】
(2) 抛物线解析式为$y=-2(x-1)^2+k$，其中二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下；顶点式中对称轴为直线$x=h$，此处$h=1$，故对称轴为直线$x=1$。
(3) ① 点A横坐标为$-3＜1$，在对称轴左侧，点B横坐标为$2＞1$，在对称轴右侧，因此A、B位于对称轴的异侧；
关于对称轴$x=1$对称的两点横坐标满足到$x=1$的距离相等，设A的对称点$A'$横坐标为$m$，则$1-(-3)=m-1$，解得$m=5$，即$A'(5,y_1)$；
抛物线开口向下，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，$5＞2$，因此$y_1＜y_2$。
② 点A到对称轴$x=1$的距离为$|-3-1|=4$，点B到对称轴的距离为$|2-1|=1$，因此点A到对称轴的距离比点B远，结合开口向下时离对称轴越远函数值越小，也可得到$y_1＜y_2$。
【答案】
(2)下；1；(3)①异；5；＜；②远
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的对称性，函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数函数值比较的基础题，给出了三种典型的解题思路，便于学生多角度掌握二次函数图象与性质的应用，熟练后可优先选择距离法快速得到结果。
【难度系数】
0.8
要比较抛物线上两点的函数值大小，首先需明确抛物线的基本特征：先根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，确定开口方向和对称轴；再结合三种方法推导大小：①增减法：先判断两点在对称轴的同侧还是异侧，异侧的话通过对称性把点转化到对称轴同侧，再利用增减性比较；②距离法：开口向下时，抛物线上的点到对称轴距离越远，函数值越小，直接计算两点到对称轴的距离比较即可；③代入求值法：直接将两点横坐标代入解析式求出函数值比较大小即可。
【解析】
(2) 抛物线解析式为$y=-2(x-1)^2+k$，其中二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下；顶点式中对称轴为直线$x=h$，此处$h=1$，故对称轴为直线$x=1$。
(3) ① 点A横坐标为$-3＜1$，在对称轴左侧，点B横坐标为$2＞1$，在对称轴右侧，因此A、B位于对称轴的异侧；
关于对称轴$x=1$对称的两点横坐标满足到$x=1$的距离相等，设A的对称点$A'$横坐标为$m$，则$1-(-3)=m-1$，解得$m=5$，即$A'(5,y_1)$；
抛物线开口向下，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，$5＞2$，因此$y_1＜y_2$。
② 点A到对称轴$x=1$的距离为$|-3-1|=4$，点B到对称轴的距离为$|2-1|=1$，因此点A到对称轴的距离比点B远，结合开口向下时离对称轴越远函数值越小，也可得到$y_1＜y_2$。
【答案】
(2)下；1；(3)①异；5；＜；②远
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的对称性，函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数函数值比较的基础题，给出了三种典型的解题思路，便于学生多角度掌握二次函数图象与性质的应用，熟练后可优先选择距离法快速得到结果。
【难度系数】
0.8
元认知·最优方法总结
距离法:若$a＞0$,则点到对称轴的距离越近,
函数值越
离越近,函数值越
距离法:若$a＞0$,则点到对称轴的距离越近,
函数值越
小
;若$a＜0$,则点到对称轴的距离越近,函数值越
大
。答案
小；大
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数的图象与开口方向的关系：二次函数的开口方向由二次项系数a决定，顶点位于对称轴上，是函数的最值点。当a＞0时开口向上，顶点为最小值点，因此点越靠近对称轴（即越靠近顶点），函数值越小；当a＜0时开口向下，顶点为最大值点，因此点越靠近对称轴，函数值越大，据此即可填空。
【解析】
结合二次函数的图象性质分析：
1. 当$a＞0$时，二次函数图象开口向上，对称轴上的顶点是图象的最低点，对应函数的最小值，因此点到对称轴的距离越近，越靠近最低点，函数值越小；
2. 当$a＜0$时，二次函数图象开口向下，对称轴上的顶点是图象的最高点，对应函数的最大值，因此点到对称轴的距离越近，越靠近最高点，函数值越大。
【答案】
小；大
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数比较函数值的核心规律，是解决二次函数大小比较、最值类问题的基础结论，熟练掌握该规律可快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数的图象与开口方向的关系：二次函数的开口方向由二次项系数a决定，顶点位于对称轴上，是函数的最值点。当a＞0时开口向上，顶点为最小值点，因此点越靠近对称轴（即越靠近顶点），函数值越小；当a＜0时开口向下，顶点为最大值点，因此点越靠近对称轴，函数值越大，据此即可填空。
【解析】
结合二次函数的图象性质分析：
1. 当$a＞0$时，二次函数图象开口向上，对称轴上的顶点是图象的最低点，对应函数的最小值，因此点到对称轴的距离越近，越靠近最低点，函数值越小；
2. 当$a＜0$时，二次函数图象开口向下，对称轴上的顶点是图象的最高点，对应函数的最大值，因此点到对称轴的距离越近，越靠近最高点，函数值越大。
【答案】
小；大
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数比较函数值的核心规律，是解决二次函数大小比较、最值类问题的基础结论，熟练掌握该规律可快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.8
若$A(-4,y_1),B(-3,y_2),C(1,y_3)$为二次函数$y=x^2+4x-1$的图象上的三点，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_1＜y_3＜y_2$
B
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_1＜y_3＜y_2$
答案
B
解析
【分析】
要比较二次函数图象上三点的函数值大小，有两种常用思路：一是将三点横坐标分别代入函数解析式，计算出对应y值后直接比较；二是利用二次函数的性质，先确定开口方向和对称轴，再比较三点到对称轴的水平距离：开口向上时，点离对称轴越近，对应的函数值越小，开口向下时反之。本题两种方法都适用，用性质法计算量更小。
【解析】
方法一：代入求值法
将A(-4,y₁)、B(-3,y₂)、C(1,y₃)分别代入y=x²+4x-1：
y₁=(-4)² + 4×(-4) -1 = 16 - 16 -1 = -1；
y₂=(-3)² + 4×(-3) -1 = 9 - 12 -1 = -4；
y₃=1² + 4×1 -1 = 1 + 4 -1 = 4；
∵-4 ＜ -1 ＜ 4，
∴y₂ ＜ y₁ ＜ y₃。
方法二：性质比较法
二次函数y=x²+4x-1中，a=1＞0，
∴抛物线开口向上，
对称轴为直线x = -$\frac{b}{2a}$ = -$\frac{4}{2×1}$ = -2。
计算三点横坐标到对称轴的距离：
A到对称轴的距离：|-4 - (-2)| = 2；
B到对称轴的距离：|-3 - (-2)| = 1；
C到对称轴的距离：|1 - (-2)| = 3。
∵开口向上时，离对称轴越近函数值越小，1＜2＜3，
∴y₂ ＜ y₁ ＜ y₃。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数函数值比较的常规题型，两种解题方法中，代入法思路直接，适合基础较弱的同学，性质法更简便，能提升解题速度，同学们可根据自身情况灵活选择。
【难度系数】
0.8
要比较二次函数图象上三点的函数值大小，有两种常用思路：一是将三点横坐标分别代入函数解析式，计算出对应y值后直接比较；二是利用二次函数的性质，先确定开口方向和对称轴，再比较三点到对称轴的水平距离：开口向上时，点离对称轴越近，对应的函数值越小，开口向下时反之。本题两种方法都适用，用性质法计算量更小。
【解析】
方法一：代入求值法
将A(-4,y₁)、B(-3,y₂)、C(1,y₃)分别代入y=x²+4x-1：
y₁=(-4)² + 4×(-4) -1 = 16 - 16 -1 = -1；
y₂=(-3)² + 4×(-3) -1 = 9 - 12 -1 = -4；
y₃=1² + 4×1 -1 = 1 + 4 -1 = 4；
∵-4 ＜ -1 ＜ 4，
∴y₂ ＜ y₁ ＜ y₃。
方法二：性质比较法
二次函数y=x²+4x-1中，a=1＞0，
∴抛物线开口向上，
对称轴为直线x = -$\frac{b}{2a}$ = -$\frac{4}{2×1}$ = -2。
计算三点横坐标到对称轴的距离：
A到对称轴的距离：|-4 - (-2)| = 2；
B到对称轴的距离：|-3 - (-2)| = 1；
C到对称轴的距离：|1 - (-2)| = 3。
∵开口向上时，离对称轴越近函数值越小，1＜2＜3，
∴y₂ ＜ y₁ ＜ y₃。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数函数值比较的常规题型，两种解题方法中，代入法思路直接，适合基础较弱的同学，性质法更简便，能提升解题速度，同学们可根据自身情况灵活选择。
【难度系数】
0.8
2.已知关于$x$的二次函数$y=-(x-5)^2 +11$，当$1≤x≤4$时，函数的最大值为
10
。答案
2.10
解析
【分析】
首先观察二次函数的表达式为顶点式，先确定其开口方向、对称轴：该函数二次项系数为-1＜0，开口向下，对称轴为直线x=5，顶点是函数的最高点，顶点处函数值为11。再判断给定自变量取值范围1≤x≤4的位置：该区间全部在对称轴x=5的左侧，结合开口向下的二次函数性质，对称轴左侧y随x的增大而增大，因此区间内x取最大值时，函数取得最大值，代入计算即可。
【解析】
解：对于二次函数$y=-(x-5)^2 +11$，
∵二次项系数$a=-1＜0$，
∴函数图象开口向下，对称轴为直线$x=5$，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大。
∵$1≤x≤4$，该区间全部在对称轴$x=5$的左侧，
∴当$x=4$时，函数取得最大值，
将$x=4$代入解析式得：
$y=-(4-5)^2 +11=-1+11=10$。
【答案】
10
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数限定区间求最值的基础题，解题核心是不要直接代入顶点值作为结果，需先结合开口方向、对称轴判断给定区间对应的函数增减性，再确定最值对应的自变量取值代入计算。
【难度系数】
0.7
首先观察二次函数的表达式为顶点式，先确定其开口方向、对称轴：该函数二次项系数为-1＜0，开口向下，对称轴为直线x=5，顶点是函数的最高点，顶点处函数值为11。再判断给定自变量取值范围1≤x≤4的位置：该区间全部在对称轴x=5的左侧，结合开口向下的二次函数性质，对称轴左侧y随x的增大而增大，因此区间内x取最大值时，函数取得最大值，代入计算即可。
【解析】
解：对于二次函数$y=-(x-5)^2 +11$，
∵二次项系数$a=-1＜0$，
∴函数图象开口向下，对称轴为直线$x=5$，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大。
∵$1≤x≤4$，该区间全部在对称轴$x=5$的左侧，
∴当$x=4$时，函数取得最大值，
将$x=4$代入解析式得：
$y=-(4-5)^2 +11=-1+11=10$。
【答案】
10
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数限定区间求最值的基础题，解题核心是不要直接代入顶点值作为结果，需先结合开口方向、对称轴判断给定区间对应的函数增减性，再确定最值对应的自变量取值代入计算。
【难度系数】
0.7
3.已知二次函数$y=x^2 -2x -1$.
(1)当$-2≤ x≤0$时，$y$的最大值为________，最小值为________；
(2)当$2≤ x≤5$时，$y$的最大值为________，最小值为________；
(3)当$0≤ x≤3$时，$y$的取值范围是________.
(1)当$-2≤ x≤0$时，$y$的最大值为________，最小值为________；
(2)当$2≤ x≤5$时，$y$的最大值为________，最小值为________；
(3)当$0≤ x≤3$时，$y$的取值范围是________.
答案
3.(1)7；-1 (2)14；-1 (3)$-2≤y≤2$
解析
【分析】
解决二次函数指定区间的最值问题，首先需将函数解析式配方为顶点式，确定开口方向、对称轴和顶点坐标：①若给定区间在对称轴同侧，可结合函数的增减性直接代入区间端点计算最值；②若给定区间包含对称轴，则顶点处为最值（开口向上时顶点为最小值点，开口向下时顶点为最大值点），再对比区间两端点的函数值得到另一个最值。本题中二次函数开口向上，对称轴为x=1，据此分别分析三个区间即可求解。
【解析】
先将二次函数配方得：$y=x^2-2x-1=(x-1)^2-2$，
因此该函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-2)$：
当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，在$x=1$处$y$取得最小值$-2$。
(1) 当$-2≤x≤0$时，区间全部在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小：
当$x=-2$时，$y_{最大}=(-2-1)^2-2=7$；当$x=0$时，$y_{最小}=(0-1)^2-2=-1$。
(2) 当$2≤x≤5$时，区间全部在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大：
当$x=5$时，$y_{最大}=(5-1)^2-2=14$；当$x=2$时，$y_{最小}=(2-1)^2-2=-1$。
(3) 当$0≤x≤3$时，区间包含对称轴$x=1$：
最小值为顶点处的$y=-2$；分别代入端点计算：$x=0$时$y=-1$，$x=3$时$y=(3-1)^2-2=2$，因此最大值为$2$，故$y$的取值范围是$-2≤y≤2$。
【答案】
(1)7；-1 (2)14；-1 (3)$-2≤y≤2$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数区间最值；配方法化顶点式
【点评】
本题是二次函数最值的典型题型，解题核心是先明确二次函数的增减性与对称轴的关系，再结合给定区间的位置判断最值对应的自变量取值，避免直接代入端点计算的错误。
【难度系数】
0.7
解决二次函数指定区间的最值问题，首先需将函数解析式配方为顶点式，确定开口方向、对称轴和顶点坐标：①若给定区间在对称轴同侧，可结合函数的增减性直接代入区间端点计算最值；②若给定区间包含对称轴，则顶点处为最值（开口向上时顶点为最小值点，开口向下时顶点为最大值点），再对比区间两端点的函数值得到另一个最值。本题中二次函数开口向上，对称轴为x=1，据此分别分析三个区间即可求解。
【解析】
先将二次函数配方得：$y=x^2-2x-1=(x-1)^2-2$，
因此该函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-2)$：
当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，在$x=1$处$y$取得最小值$-2$。
(1) 当$-2≤x≤0$时，区间全部在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小：
当$x=-2$时，$y_{最大}=(-2-1)^2-2=7$；当$x=0$时，$y_{最小}=(0-1)^2-2=-1$。
(2) 当$2≤x≤5$时，区间全部在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大：
当$x=5$时，$y_{最大}=(5-1)^2-2=14$；当$x=2$时，$y_{最小}=(2-1)^2-2=-1$。
(3) 当$0≤x≤3$时，区间包含对称轴$x=1$：
最小值为顶点处的$y=-2$；分别代入端点计算：$x=0$时$y=-1$，$x=3$时$y=(3-1)^2-2=2$，因此最大值为$2$，故$y$的取值范围是$-2≤y≤2$。
【答案】
(1)7；-1 (2)14；-1 (3)$-2≤y≤2$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数区间最值；配方法化顶点式
【点评】
本题是二次函数最值的典型题型，解题核心是先明确二次函数的增减性与对称轴的关系，再结合给定区间的位置判断最值对应的自变量取值，避免直接代入端点计算的错误。
【难度系数】
0.7
4.二次函数$y=-x^2-2x+c^2-2c$在$-3≤x≤2$的范围内有最小值$-5$，如何求$c$的值？
【思维过程】
(1)分析问题:求$c$→找到一个已知点,代入二次函数解析式.
(2)分析条件:$y=-x^2-2x+c^2-2c$图象开口向
(3)代点求值:可得$c=$
【思维过程】
(1)分析问题:求$c$→找到一个已知点,代入二次函数解析式.
(2)分析条件:$y=-x^2-2x+c^2-2c$图象开口向
下
,对称轴为直线$x=$-1
,顶点是最高
点→在$-3≤x≤2$范围内的图象上,当$x=$2
时取最小值为$-5$.(3)代点求值:可得$c=$
3或-1
.答案
4.(2)下；-1；高；2 (3)3或-1
解析
【分析】
解决本题首先要利用二次函数的基本性质判断开口方向、对称轴，再结合给定的取值范围分析最小值的取值位置：①先看二次项系数确定开口方向，开口向下时顶点是最高点，此时在闭区间内，离对称轴越远的点函数值越小；②用对称轴公式算出对称轴后，比较区间两个端点到对称轴的距离，找到取最小值的x值；③将该点坐标代入解析式，解一元二次方程即可得到c的值。
【解析】
(2) 对于二次函数$y=-x^2-2x+c^2-2c$，二次项系数$a=-1＜0$，因此图象开口向下；
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=-2$，得对称轴为直线$x=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$；
因为开口向下，所以抛物线的顶点是最高点；
在$-3≤x≤2$的范围内，计算端点到对称轴$x=-1$的距离：
$x=-3$到$x=-1$的距离为$|-3-(-1)|=2$，$x=2$到$x=-1$的距离为$|2-(-1)|=3$，
因为开口向下时离对称轴越远函数值越小，所以$x=2$时函数取得最小值。
(3) 将$x=2$，$y=-5$代入函数解析式得：
$-2^2 -2×2 + c^2 -2c = -5$
整理得：$c^2 -2c -3=0$
因式分解得：$(c-3)(c+1)=0$
解得$c=3$或$c=-1$。
【答案】
(2)下；-1；高；2 (3)3或-1
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数最值求解；一元二次方程的解法
【点评】
本题核心是掌握不同开口方向的二次函数最值的分布规律，易错点是忽略开口方向直接认为顶点处取最值，解题时要结合区间范围和对称轴的位置综合判断最值点。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要利用二次函数的基本性质判断开口方向、对称轴，再结合给定的取值范围分析最小值的取值位置：①先看二次项系数确定开口方向，开口向下时顶点是最高点，此时在闭区间内，离对称轴越远的点函数值越小；②用对称轴公式算出对称轴后，比较区间两个端点到对称轴的距离，找到取最小值的x值；③将该点坐标代入解析式，解一元二次方程即可得到c的值。
【解析】
(2) 对于二次函数$y=-x^2-2x+c^2-2c$，二次项系数$a=-1＜0$，因此图象开口向下；
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=-2$，得对称轴为直线$x=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$；
因为开口向下，所以抛物线的顶点是最高点；
在$-3≤x≤2$的范围内，计算端点到对称轴$x=-1$的距离：
$x=-3$到$x=-1$的距离为$|-3-(-1)|=2$，$x=2$到$x=-1$的距离为$|2-(-1)|=3$，
因为开口向下时离对称轴越远函数值越小，所以$x=2$时函数取得最小值。
(3) 将$x=2$，$y=-5$代入函数解析式得：
$-2^2 -2×2 + c^2 -2c = -5$
整理得：$c^2 -2c -3=0$
因式分解得：$(c-3)(c+1)=0$
解得$c=3$或$c=-1$。
【答案】
(2)下；-1；高；2 (3)3或-1
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数最值求解；一元二次方程的解法
【点评】
本题核心是掌握不同开口方向的二次函数最值的分布规律，易错点是忽略开口方向直接认为顶点处取最值，解题时要结合区间范围和对称轴的位置综合判断最值点。
【难度系数】
0.7
原创题 已知二次函数$y=ax^2 - 2ax + a - 4$，当$-2≤ x≤ 3$时，$y$的最大值为5，则$a$的值为
1
。答案
1
解析
【分析】
解决本题先将二次函数解析式配方，确定对称轴位置，再结合二次函数开口方向分$a＞0$和$a＜0$两种情况讨论：开口向上时最大值在离对称轴更远的区间端点处取到，开口向下时最大值在顶点处取到，分别代入最大值列方程求解，舍去不符合取值范围的解即可。
【解析】
第一步：配方确定对称轴
对二次函数解析式变形：
$y=ax^2 - 2ax + a - 4=a(x^2-2x+1)-4=a(x-1)^2-4$
可得抛物线对称轴为直线$x=1$，且$1$在区间$[-2,3]$内。
第二步：分类讨论求$a$的值
① 当$a＞0$时，抛物线开口向上，区间内离对称轴越远的点函数值越大：
计算端点到对称轴的距离：$|-2-1|=3$，$|3-1|=2$，$3＞2$，因此$x=-2$时$y$取最大值5，代入得：
$a×(-2)^2 -2a×(-2)+a-4=5$
$4a+4a+a-4=5$
$9a=9$
解得$a=1$，符合$a＞0$的条件。
② 当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点处函数值最大，即$x=1$时$y$取最大值：
代入$x=1$得$y=-4≠5$，不符合题意，舍去。
综上，$a$的值为1。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论思想
【点评】
本题考查给定区间内二次函数最值的求解，解题核心是先确定对称轴，再结合开口方向判断取最大值的位置，注意二次项系数含参数时要分正负讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65
解决本题先将二次函数解析式配方，确定对称轴位置，再结合二次函数开口方向分$a＞0$和$a＜0$两种情况讨论：开口向上时最大值在离对称轴更远的区间端点处取到，开口向下时最大值在顶点处取到，分别代入最大值列方程求解，舍去不符合取值范围的解即可。
【解析】
第一步：配方确定对称轴
对二次函数解析式变形：
$y=ax^2 - 2ax + a - 4=a(x^2-2x+1)-4=a(x-1)^2-4$
可得抛物线对称轴为直线$x=1$，且$1$在区间$[-2,3]$内。
第二步：分类讨论求$a$的值
① 当$a＞0$时，抛物线开口向上，区间内离对称轴越远的点函数值越大：
计算端点到对称轴的距离：$|-2-1|=3$，$|3-1|=2$，$3＞2$，因此$x=-2$时$y$取最大值5，代入得：
$a×(-2)^2 -2a×(-2)+a-4=5$
$4a+4a+a-4=5$
$9a=9$
解得$a=1$，符合$a＞0$的条件。
② 当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点处函数值最大，即$x=1$时$y$取最大值：
代入$x=1$得$y=-4≠5$，不符合题意，舍去。
综上，$a$的值为1。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论思想
【点评】
本题考查给定区间内二次函数最值的求解，解题核心是先确定对称轴，再结合开口方向判断取最大值的位置，注意二次项系数含参数时要分正负讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65
5.已知函数$y=x^2 - 2x + 3$，当$0≤ x≤ m$时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（
A.$m≥1$
B.$0≤ m≤2$
C.$1≤ m≤2$
D.$1≤ m≤3$
C
）A.$m≥1$
B.$0≤ m≤2$
C.$1≤ m≤2$
D.$1≤ m≤3$
答案
5.C
解析
【分析】
本题是二次函数区间最值问题，解题思路如下：第一步先将二次函数配方为顶点式，明确抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，确定函数的最小值对应的x值；第二步根据区间内能取到最小值2，判断m的下限；第三步求出函数值等于最大值3对应的x的取值，结合区间左端点为0，判断m的上限，最终得到m的取值范围。
【解析】
先将函数配方为顶点式：
$y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$
由此可知，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,2)$，函数的最小值为2。
① 要使$0≤x≤m$时函数有最小值2，说明对称轴$x=1$必须在区间$[0,m]$内，因此$m≥1$；
② 令$y=3$，代入解析式得：
$(x-1)^2+2=3$
解得$x_1=0$，$x_2=2$
已知区间左端点$x=0$处的函数值已经是3（即最大值），要保证区间内最大值为3，那么区间右端点m不能超过2，否则当$x＞2$时，函数值会大于3，不符合要求，因此$m≤2$。
综合可得$1≤m≤2$，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值
【点评】
本题主要考查开口向上的二次函数在动区间的最值分析，需要结合对称轴与区间的位置关系判断最值的取值点，利用数形结合的思想能更快速理清区间边界的限制条件。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数区间最值问题，解题思路如下：第一步先将二次函数配方为顶点式，明确抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，确定函数的最小值对应的x值；第二步根据区间内能取到最小值2，判断m的下限；第三步求出函数值等于最大值3对应的x的取值，结合区间左端点为0，判断m的上限，最终得到m的取值范围。
【解析】
先将函数配方为顶点式：
$y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$
由此可知，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,2)$，函数的最小值为2。
① 要使$0≤x≤m$时函数有最小值2，说明对称轴$x=1$必须在区间$[0,m]$内，因此$m≥1$；
② 令$y=3$，代入解析式得：
$(x-1)^2+2=3$
解得$x_1=0$，$x_2=2$
已知区间左端点$x=0$处的函数值已经是3（即最大值），要保证区间内最大值为3，那么区间右端点m不能超过2，否则当$x＞2$时，函数值会大于3，不符合要求，因此$m≤2$。
综合可得$1≤m≤2$，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值
【点评】
本题主要考查开口向上的二次函数在动区间的最值分析，需要结合对称轴与区间的位置关系判断最值的取值点，利用数形结合的思想能更快速理清区间边界的限制条件。
【难度系数】
0.7
6.已知函数$y=x^2 -4x +3$，当$m≤x≤m+2$时，函数$y$的最小值为$\frac{5}{4}$，则$m$的值为
$-\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$
。答案
6.$-\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$
解析
【分析】
首先将二次函数解析式配方，确定开口方向、对称轴和顶点最小值。本题对称轴固定为$x=2$，给定的区间$[m, m+2]$是变动的，因此需要根据对称轴与区间的位置关系分类讨论：①区间在对称轴左侧，②对称轴在区间内部，③区间在对称轴右侧。由于题目给出的最小值$\frac{5}{4}$大于顶点的最小值$-1$，因此排除对称轴在区间内部的情况，仅对其余两种情况列方程求解，最后验证解是否符合对应区间的取值要求即可。
【解析】
先对二次函数配方：
$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$
由此可知该函数开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点处函数最小值为$-1$。
∵ 题目中函数最小值为$\frac{5}{4} ＞ -1$，
∴ 对称轴$x=2$不在区间$[m, m+2]$内，分两种情况讨论：
1. 当区间在对称轴左侧，即$m+2 ＜ 2$，也就是$m ＜ 0$时：
函数在区间内单调递减，最小值在$x=m+2$处取得，代入得：
$(m+2-2)^2 -1 = \frac{5}{4}$
化简得$m^2=\frac{9}{4}$，解得$m=\frac{3}{2}$或$m=-\frac{3}{2}$
结合$m ＜ 0$的条件，取$m=-\frac{3}{2}$。
2. 当区间在对称轴右侧，即$m ＞ 2$时：
函数在区间内单调递增，最小值在$x=m$处取得，代入得：
$(m-2)^2 -1 = \frac{5}{4}$
化简得$(m-2)^2=\frac{9}{4}$，解得$m-2=\pm\frac{3}{2}$，即$m=\frac{7}{2}$或$m=\frac{1}{2}$
结合$m ＞ 2$的条件，取$m=\frac{7}{2}$。
综上，$m$的取值为$-\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$。
【答案】
$-\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数定轴动区间的典型最值问题，解题核心是结合二次函数开口方向，根据对称轴与给定区间的位置关系分类讨论，求解后要注意验证结果是否符合对应分类的取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
首先将二次函数解析式配方，确定开口方向、对称轴和顶点最小值。本题对称轴固定为$x=2$，给定的区间$[m, m+2]$是变动的，因此需要根据对称轴与区间的位置关系分类讨论：①区间在对称轴左侧，②对称轴在区间内部，③区间在对称轴右侧。由于题目给出的最小值$\frac{5}{4}$大于顶点的最小值$-1$，因此排除对称轴在区间内部的情况，仅对其余两种情况列方程求解，最后验证解是否符合对应区间的取值要求即可。
【解析】
先对二次函数配方：
$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$
由此可知该函数开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点处函数最小值为$-1$。
∵ 题目中函数最小值为$\frac{5}{4} ＞ -1$，
∴ 对称轴$x=2$不在区间$[m, m+2]$内，分两种情况讨论：
1. 当区间在对称轴左侧，即$m+2 ＜ 2$，也就是$m ＜ 0$时：
函数在区间内单调递减，最小值在$x=m+2$处取得，代入得：
$(m+2-2)^2 -1 = \frac{5}{4}$
化简得$m^2=\frac{9}{4}$，解得$m=\frac{3}{2}$或$m=-\frac{3}{2}$
结合$m ＜ 0$的条件，取$m=-\frac{3}{2}$。
2. 当区间在对称轴右侧，即$m ＞ 2$时：
函数在区间内单调递增，最小值在$x=m$处取得，代入得：
$(m-2)^2 -1 = \frac{5}{4}$
化简得$(m-2)^2=\frac{9}{4}$，解得$m-2=\pm\frac{3}{2}$，即$m=\frac{7}{2}$或$m=\frac{1}{2}$
结合$m ＞ 2$的条件，取$m=\frac{7}{2}$。
综上，$m$的取值为$-\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$。
【答案】
$-\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数定轴动区间的典型最值问题，解题核心是结合二次函数开口方向，根据对称轴与给定区间的位置关系分类讨论，求解后要注意验证结果是否符合对应分类的取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
