例1 如图，O为直线AB上一点，∠AOC=50°,OD平分∠AOC,∠DOE=90°。
(1)请你数一数，图中有多少个小于平角的角。
(2)求∠BOD的度数。
(3)试判断OE是否平分∠BOC,并说明理由。
(4)说出图中互余的角。

【反思】两个互为邻补角的角平分线互相垂直，反之与一个角的角平分线垂直的线肯定平分这个角的邻补角。

(1)9个小于平角的角。
(2)因为 OD 平分∠AOC,所以∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×50°=25°,因为∠BOD=180°-∠AOD=180°-25°=155°。
(3)因为∠AOD=25°,∠DOE=90°,所以∠BOE=180°-∠AOD-∠DOE=180°-25°-90°=65°。因为∠BOC=180°-∠AOC=180°-50°=130°,所以∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC,所以 OE 平分∠BOC。
(4)∠DOC 与∠EOC,∠AOD 与∠EOC,∠AOD 与∠EOB,∠DOC 与∠EOB。

【分析】
(1) 数小于平角的角时按固定始边依次计数可避免遗漏：以OA为始边、OD为始边、OC为始边、OE为始边分别数出符合要求的角，再汇总数量即可。
(2) 求∠BOD可先利用角平分线定义算出∠AOD的度数，再根据邻补角和为180°的性质，用180°减去∠AOD就能得到∠BOD的度数。
(3) 判断OE是否平分∠BOC，只需验证∠BOE是否等于∠BOC的一半：先分别算出∠BOE和∠BOC的度数，再对比两者的数量关系即可。
(4) 互余的角是指和为90°的两个角，结合已知∠DOE=90°和平角180°的性质，找出所有和为90°的角对即可。
【解析】
(1) 按顺序计数小于180°的角：∠AOD、∠AOC、∠AOE、∠DOC、∠DOE、∠DOB、∠COE、∠COB、∠EOB，共9个。
(2) 因为OD平分∠AOC，∠AOC=50°，所以$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×50°=25°$。又因为A、O、B在同一直线上，$∠ AOB=180°$，所以$∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-25°=155°$。
(3) OE平分∠BOC，理由如下：已知$∠ AOD=25°$，$∠ DOE=90°$，所以$∠ BOE=180°-∠ AOD-∠ DOE=180°-25°-90°=65°$。又因为$∠ BOC=180°-∠ AOC=180°-50°=130°$，所以$∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOC$，即OE平分∠BOC。
(4) 互余的角和为90°：$∠ DOC+∠ EOC=∠ DOE=90°$，$∠ AOD=∠ DOC$，所以$∠ AOD+∠ EOC=90°$；$∠ AOD+∠ BOE=180°-∠ DOE=90°$，$∠ DOC=∠ AOD$，所以$∠ DOC+∠ BOE=90°$，因此互余的角共4对。
【答案】
(1)9个小于平角的角。
(2)因为 OD 平分∠AOC,所以∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×50°=25°,因为∠BOD=180°-∠AOD=180°-25°=155°。
(3)因为∠AOD=25°,∠DOE=90°,所以∠BOE=180°-∠AOD-∠DOE=180°-25°-90°=65°。因为∠BOC=180°-∠AOC=180°-50°=130°,所以∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC,所以 OE 平分∠BOC。
(4)∠DOC 与∠EOC,∠AOD 与∠EOC,∠AOD 与∠EOB,∠DOC 与∠EOB。
【知识点】
角的计数，角平分线的定义，余角与补角
【点评】
本题是角的基础综合题，解题时需结合图形理清角之间的和差关系，计数角时按固定顺序可避免漏数，计算时要熟练运用角平分线、互余互补的相关性质。
【难度系数】
0.8

例2 如图，O是直线EF上一点，射线OA，OB，OC在直线EF的上方，射线OD在直线EF的下方，且OF平分$∠ COD$，$∠ AOC=∠ BOD=90°$。
(1)若$∠ DOF=20°$，求$∠ AOB$的度数。
(2)若OA平分$∠ BOE$，求$∠ DOF$的度数。

【反思】解这类问题的关键是利用好垂直的性质，角的和差关系，把图中角度之间的数量关系分析清楚，运用方程思想解决问题。

(1)因为 OF 平分∠COD,∠DOF=20°,所以∠COD=2∠DOF=40°,又因为∠AOC=∠BOD=90°,所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°,所以∠AOB=∠COD=40°。
(2)设∠DOF=x,则∠DOF=∠COF=x,所以∠DOC=2∠DOF=2x,所以∠AOB=∠COD=2x,因为 OA 平分∠BOE,所以∠AOE=∠AOB=2x,因为∠AOC=90°,所以∠BOC=90°-2x,因为∠AOE+ ∠AOB+∠BOC+∠COF=180°,所以 2x+2x+90°-2x+x=180°,解得 x=30°,所以∠DOF=30°。

【分析】
(1) 首先根据角平分线的定义，由已知的∠DOF度数求出∠COD的度数；再观察到∠AOC和∠BOD均为直角，两个直角有公共角∠BOC，二者减去公共角后剩余的角相等，即可得到∠AOB=∠COD，从而求出∠AOB的度数。
(2) 可设∠DOF为x，先根据角平分线的性质用x表示出∠COD、∠AOB的度数；再结合OA平分∠BOE得到∠AOE与∠AOB相等，最后根据直线EF对应的平角为180°，将平角包含的几个角相加列方程求解，即可得到∠DOF的度数。
【解析】
(1) 因为 OF 平分$∠COD$，$∠DOF=20°$，
所以$∠COD=2∠DOF=40°$，
又因为$∠AOC=∠BOD=90°$，
所以$∠AOB+∠BOC=90°$，$∠COD+∠BOC=90°$，
所以$∠AOB=∠COD=40°$。
(2) 设$∠DOF=x$，
因为OF平分$∠COD$，所以$∠COF=∠DOF=x$，
所以$∠COD=2∠DOF=2x$，
同(1)可得$∠AOB=∠COD=2x$，
因为OA平分$∠BOE$，所以$∠AOE=∠AOB=2x$，
因为$∠AOC=90°$，所以$∠BOC=∠AOC - ∠AOB=90°-2x$，
又因为EF是直线，$∠EOF=180°$，即$∠AOE+∠AOB+∠BOC+∠COF=180°$，
代入得：$2x + 2x + (90°-2x) + x = 180°$，
解得$x=30°$，即$∠DOF=30°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40°}$；(2) $\boldsymbol{30°}$
【知识点】
角平分线的定义，角度和差计算，平角的性质
【点评】
本题是角度计算的常规题型，解题的核心是梳理清楚图中各角的数量关系，结合角平分线、直角、平角的性质推导角度关系，遇到多个未知量时合理设未知数列方程，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7

1. 如图，能用$∠ 1$，$∠ ABC$，$∠ B$ 3种方法表示同一个角的是 （）

1.A

【分析】
要解决这道题，首先要明确角的表示规则：1. 三个大写字母表示角是通用方法，顶点字母要放在中间；2. 用单个顶点字母表示角时，要求顶点处只有唯一1个角，否则会出现混淆；3. 用数字表示角时，对应标记的就是该角。解题时逐个分析选项，先判断顶点B处是否只有1个角，再判断∠1和∠ABC是否为同一个角，两个条件都满足就是正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：顶点B处只有1个角，它的两条边是BA和BC，可表示为∠ABC，同时该角标记为∠1，且顶点B处仅有这一个角，也可以用∠B表示，三种表示对应同一个角，符合要求。
选项B：顶点B处有∠ABD和∠1两个角，无法用∠B单独表示其中某一个角，不符合要求。
选项C：顶点B处有∠DBA、∠1、∠DBC三个角，无法用∠B单独表示其中某一个角，不符合要求。
选项D：顶点B是两条直线的交点，共有4个角，无法用∠B单独表示其中某一个角，不符合要求。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
角的表示方法
【点评】
本题属于基础题，核心考查角的表示规则，易错点是容易忽略“用单个顶点字母表示角时，顶点处只能有一个角”的前提，牢记规则逐个排查就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8