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1. 若样本数据3，6，a，4，2的平均数是5，则a为 （）
A.5
B.8
C.10
D.12
A.5
B.8
C.10
D.12
答案
C
解析
【分析】
本题考查算术平均数的应用，解题思路如下：首先回忆算术平均数的计算公式：一组数据的平均数等于所有数据的和除以数据的总个数。题目中已经给出这组数据的平均数是5，数据总个数是5，我们可以将已知数据和未知数a代入平均数公式，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
根据算术平均数的计算公式可得：
$\frac{3+6+a+4+2}{5}=5$
先计算分子中已知数的和：$3+6+4+2=15$，代入上式得：
$\frac{15+a}{5}=5$
等式两边同时乘5，得：
$15+a=25$
移项计算得：
$a=25-15=10$
【答案】
C
【知识点】
算术平均数的计算；一元一次方程的求解
【点评】
本题是基础题型，核心考查对算术平均数公式的理解与运用，计算量小，只要熟练掌握平均数的计算方法，准确代入数据解方程即可得分。
【难度系数】
0.9
本题考查算术平均数的应用，解题思路如下：首先回忆算术平均数的计算公式：一组数据的平均数等于所有数据的和除以数据的总个数。题目中已经给出这组数据的平均数是5，数据总个数是5，我们可以将已知数据和未知数a代入平均数公式，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
根据算术平均数的计算公式可得：
$\frac{3+6+a+4+2}{5}=5$
先计算分子中已知数的和：$3+6+4+2=15$，代入上式得：
$\frac{15+a}{5}=5$
等式两边同时乘5，得：
$15+a=25$
移项计算得：
$a=25-15=10$
【答案】
C
【知识点】
算术平均数的计算；一元一次方程的求解
【点评】
本题是基础题型，核心考查对算术平均数公式的理解与运用，计算量小，只要熟练掌握平均数的计算方法，准确代入数据解方程即可得分。
【难度系数】
0.9
2. 若一组数据 $ x_1, x_2, x_3 $ 的平均数为5，则数据 $ x_1 + 3, x_2 + 2, x_3 + 4 $ 的平均数是。
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
【分析】
解题时首先回忆算术平均数的定义：平均数等于所有数据的和除以数据的个数。已知原数据的平均数和数据个数，可先求出原数据的总和；新数据是原数据分别加上固定常数得到的，因此新数据的总和等于原总和加上所有新增常数的和，最后用新总和除以数据个数即可求出新的平均数。
【解析】
解：根据算术平均数的定义，由原数据的平均数为5可得：
$\frac{x_1+x_2+x_3}{3}=5$
$\therefore x_1+x_2+x_3=5×3=15$
新数据的总和为：
$\begin{aligned}(x_1+3)+(x_2+2)+(x_3+4)&=(x_1+x_2+x_3)+(3+2+4)\\&=15+9\\&=24\end{aligned}$
则新数据的平均数为：$\frac{24}{3}=8$
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
算术平均数的计算，整体代入思想
【点评】
本题属于基础题，主要考查对算术平均数定义的理解与应用，解题的关键是先求出原数据的总和，再通过整体代入的方式计算新数据的总和，熟练掌握平均数的基本公式即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆算术平均数的定义：平均数等于所有数据的和除以数据的个数。已知原数据的平均数和数据个数，可先求出原数据的总和；新数据是原数据分别加上固定常数得到的，因此新数据的总和等于原总和加上所有新增常数的和，最后用新总和除以数据个数即可求出新的平均数。
【解析】
解：根据算术平均数的定义，由原数据的平均数为5可得：
$\frac{x_1+x_2+x_3}{3}=5$
$\therefore x_1+x_2+x_3=5×3=15$
新数据的总和为：
$\begin{aligned}(x_1+3)+(x_2+2)+(x_3+4)&=(x_1+x_2+x_3)+(3+2+4)\\&=15+9\\&=24\end{aligned}$
则新数据的平均数为：$\frac{24}{3}=8$
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
算术平均数的计算，整体代入思想
【点评】
本题属于基础题，主要考查对算术平均数定义的理解与应用，解题的关键是先求出原数据的总和，再通过整体代入的方式计算新数据的总和，熟练掌握平均数的基本公式即可快速作答。
【难度系数】
0.8
例2 为激发中学生热爱科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动。为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析(8分及8分以上为优秀)，数据整理如图表。
七年级学生成绩统计图
学生成绩统计表
根据信息，回答下列问题。
(1)统计表中$a=$，$b=$，$c=$；
(2)若该校七年级有1 000名学生，八年级有1 200名学生，请估计该校七、八年级学生成绩优秀的总人数。
七年级学生成绩统计图
学生成绩统计表
根据信息，回答下列问题。
(1)统计表中$a=$，$b=$，$c=$；
(2)若该校七年级有1 000名学生，八年级有1 200名学生，请估计该校七、八年级学生成绩优秀的总人数。
答案
(1) $\boldsymbol{7.65}$，$\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{60\%}$
解析
【分析】
1. 求解第(1)问：
① 求a：a是七年级抽取的20名学生成绩的平均数，只需将20名学生的成绩总和除以总人数20，即可算出a的值；
② 求b：b是七年级成绩的中位数，20个数据按从小到大排列后，中位数为第10个和第11个数据的平均数，找到对应数据计算即可得b；
③ 求c：c是八年级成绩的优秀率，规定8分及以上为优秀，先统计八年级抽取的20名学生中优秀的人数，用优秀人数除以抽取总人数20再乘100%，就能得到c。
2. 求解第(2)问：
先计算七年级抽取样本的优秀率，再分别用七、八年级的总人数乘对应年级的样本优秀率，得到两个年级的估计优秀人数，相加即可求出优秀总人数。
【解析】
(1) ① 计算平均数a：七年级20名学生的成绩总和为153，因此$a=153÷20=7.65$；
② 计算中位数b：将七年级20名学生的成绩从小到大排序后，第10位和第11位的成绩均为8，因此$b=\frac{8+8}{2}=8$；
③ 计算优秀率c：八年级抽取的20名学生中，8分及以上的共有12人，因此$c=\frac{12}{20}×100\%=60\%$；
(2) 七年级抽取的20名学生中，成绩优秀的有8人，优秀率为$\frac{8}{20}×100\%=40\%$，
则七年级1000名学生中估计优秀的人数为：$1000×40\%=400$（人），
八年级1200名学生中估计优秀的人数为：$1200×60\%=720$（人），
因此七、八年级成绩优秀的总人数为：$400+720=1120$（人）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{7.65}$，$\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{60\%}$；(2) 估计该校七、八年级学生成绩优秀的总人数为$\boldsymbol{1120}$人。
【知识点】
平均数的计算，中位数的计算，样本估计总体
【点评】
本题属于统计基础应用题，重点考查对平均数、中位数、优秀率等统计概念的理解和计算能力，以及用样本特征估计总体特征的统计思想，解题时要注意数据统计准确，计算不要出错。
【难度系数】
0.7
1. 求解第(1)问：
① 求a：a是七年级抽取的20名学生成绩的平均数，只需将20名学生的成绩总和除以总人数20，即可算出a的值；
② 求b：b是七年级成绩的中位数，20个数据按从小到大排列后，中位数为第10个和第11个数据的平均数，找到对应数据计算即可得b；
③ 求c：c是八年级成绩的优秀率，规定8分及以上为优秀，先统计八年级抽取的20名学生中优秀的人数，用优秀人数除以抽取总人数20再乘100%，就能得到c。
2. 求解第(2)问：
先计算七年级抽取样本的优秀率，再分别用七、八年级的总人数乘对应年级的样本优秀率，得到两个年级的估计优秀人数，相加即可求出优秀总人数。
【解析】
(1) ① 计算平均数a：七年级20名学生的成绩总和为153，因此$a=153÷20=7.65$；
② 计算中位数b：将七年级20名学生的成绩从小到大排序后，第10位和第11位的成绩均为8，因此$b=\frac{8+8}{2}=8$；
③ 计算优秀率c：八年级抽取的20名学生中，8分及以上的共有12人，因此$c=\frac{12}{20}×100\%=60\%$；
(2) 七年级抽取的20名学生中，成绩优秀的有8人，优秀率为$\frac{8}{20}×100\%=40\%$，
则七年级1000名学生中估计优秀的人数为：$1000×40\%=400$（人），
八年级1200名学生中估计优秀的人数为：$1200×60\%=720$（人），
因此七、八年级成绩优秀的总人数为：$400+720=1120$（人）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{7.65}$，$\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{60\%}$；(2) 估计该校七、八年级学生成绩优秀的总人数为$\boldsymbol{1120}$人。
【知识点】
平均数的计算，中位数的计算，样本估计总体
【点评】
本题属于统计基础应用题，重点考查对平均数、中位数、优秀率等统计概念的理解和计算能力，以及用样本特征估计总体特征的统计思想，解题时要注意数据统计准确，计算不要出错。
【难度系数】
0.7
即时测评
某校开展了学生模具设计竞赛活动，活动结束后，随机抽取全校部分学生的模具设计成绩(成绩为百分制，用$x$表示，每名学生的成绩为整数且均不低于60分)并整理，将其分成如下四组：A：$60≤ x＜70$；B：$70≤ x＜80$；C：$80≤ x＜90$；D：$90≤ x≤100$。
部分信息如下：
其中C组的成绩(单位：分)为80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89。
模具设计成绩人数的条形统计图
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)求共抽取了多少名学生的模具设计成绩；
(2)C组的成绩的平均分是
(3)请根据以上信息，估计全校1500名参加模具竞赛的学生成绩不低于80分的人数。
某校开展了学生模具设计竞赛活动，活动结束后，随机抽取全校部分学生的模具设计成绩(成绩为百分制，用$x$表示，每名学生的成绩为整数且均不低于60分)并整理，将其分成如下四组：A：$60≤ x＜70$；B：$70≤ x＜80$；C：$80≤ x＜90$；D：$90≤ x≤100$。
部分信息如下：
其中C组的成绩(单位：分)为80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89。
模具设计成绩人数的条形统计图
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)求共抽取了多少名学生的模具设计成绩；
(2)C组的成绩的平均分是
85.25
分；(3)请根据以上信息，估计全校1500名参加模具竞赛的学生成绩不低于80分的人数。
答案
(1) 共抽取了 50 名学生的模具设计成绩。
(2) 85.25
(3) 估计全校 1 500 名参加模具竞赛的学生成绩不低于 80 分的有 900 人。
(2) 85.25
(3) 估计全校 1 500 名参加模具竞赛的学生成绩不低于 80 分的有 900 人。
解析
【分析】
(1)要求抽取的总人数，观察两个统计图可知D组有10人，对应扇形统计图中占比20%，根据“总人数=部分人数÷对应占比”即可求解；
(2)要求C组成绩的平均分，已知C组20名学生的所有成绩，根据算术平均数的计算方法，将所有成绩求和后除以人数20即可；
(3)成绩不低于80分的是C组和D组，先计算样本中这两组人数的占比，再用全校总人数乘该占比，即可估计全校对应人数，这是用样本估计总体的思想。
【解析】
(1) 由统计图得，D组人数为10人，占抽取总人数的20%，
∴抽取的总人数为：$10÷20\% = 50$（名）
(2) C组共有20个成绩，总和为：
$80+81+82×2+83+84×3+85×2+86×3+87×2+88×2+89×3=1705$
∴C组成绩的平均分为：$1705÷20 = 85.25$（分）
(3) 样本中成绩不低于80分的是C组和D组，总人数为$20+10=30$人，
占样本的比例为：$\frac{30}{50}×100\%=60\%$
∴全校1500名学生中成绩不低于80分的人数约为：$1500×60\%=900$（人）
【答案】
(1) 共抽取了50名学生的模具设计成绩；(2) 85.25；(3) 估计全校1500名参加模具竞赛的学生成绩不低于80分的有900人。
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计图表的综合应用，需要学生准确从条形统计图和扇形统计图中提取对应数据，结合平均数计算、样本估计总体的知识点求解，解题时注意平均数计算要仔细，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
(1)要求抽取的总人数，观察两个统计图可知D组有10人，对应扇形统计图中占比20%，根据“总人数=部分人数÷对应占比”即可求解；
(2)要求C组成绩的平均分，已知C组20名学生的所有成绩，根据算术平均数的计算方法，将所有成绩求和后除以人数20即可；
(3)成绩不低于80分的是C组和D组，先计算样本中这两组人数的占比，再用全校总人数乘该占比，即可估计全校对应人数，这是用样本估计总体的思想。
【解析】
(1) 由统计图得，D组人数为10人，占抽取总人数的20%，
∴抽取的总人数为：$10÷20\% = 50$（名）
(2) C组共有20个成绩，总和为：
$80+81+82×2+83+84×3+85×2+86×3+87×2+88×2+89×3=1705$
∴C组成绩的平均分为：$1705÷20 = 85.25$（分）
(3) 样本中成绩不低于80分的是C组和D组，总人数为$20+10=30$人，
占样本的比例为：$\frac{30}{50}×100\%=60\%$
∴全校1500名学生中成绩不低于80分的人数约为：$1500×60\%=900$（人）
【答案】
(1) 共抽取了50名学生的模具设计成绩；(2) 85.25；(3) 估计全校1500名参加模具竞赛的学生成绩不低于80分的有900人。
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计图表的综合应用，需要学生准确从条形统计图和扇形统计图中提取对应数据，结合平均数计算、样本估计总体的知识点求解，解题时注意平均数计算要仔细，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
请根据本课所学，构建知识体系。
答案
解：
构建的完整知识体系如下：
一、平均数与从众数的两大分支
1. 众数
定义：一组数据中出现次数最多的数据
性质：一组数据的众数可能有1个或多个，也可能不存在，它反映数据的多数集中水平，不受极端值影响
2. 平均数
平均数除已列出的算术平均数外，另一分支为加权平均数：
① 算术平均数
定义：对于$n$个数据$x_1,x_2,\dots,x_n$，算术平均数为$\bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n)$
特点：所有数据都参与运算，易受极端值影响
② 加权平均数
定义：若$n$个数据$x_1,x_2,\dots,x_n$对应的权重为$w_1,w_2,\dots,w_n$，则加权平均数为$\bar{x}=\frac{x_1w_1+x_2w_2+\dots+x_nw_n}{w_1+w_2+\dots+w_n}$
权的意义：反映不同数据在统计整体中的相对重要程度，多用于实际场景的综合评分计算
构建的完整知识体系如下：
一、平均数与从众数的两大分支
1. 众数
定义：一组数据中出现次数最多的数据
性质：一组数据的众数可能有1个或多个，也可能不存在，它反映数据的多数集中水平，不受极端值影响
2. 平均数
平均数除已列出的算术平均数外，另一分支为加权平均数：
① 算术平均数
定义：对于$n$个数据$x_1,x_2,\dots,x_n$，算术平均数为$\bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n)$
特点：所有数据都参与运算，易受极端值影响
② 加权平均数
定义：若$n$个数据$x_1,x_2,\dots,x_n$对应的权重为$w_1,w_2,\dots,w_n$，则加权平均数为$\bar{x}=\frac{x_1w_1+x_2w_2+\dots+x_nw_n}{w_1+w_2+\dots+w_n}$
权的意义：反映不同数据在统计整体中的相对重要程度，多用于实际场景的综合评分计算
解析
【分析】
这是一道统计板块的知识体系构建题，解题时先结合已给出的知识框架梳理逻辑：顶层分类为“平均数与众数”，下设“众数”“平均数”两个分支，其中“平均数”下已给出“算术平均数”子分支。解题时先回忆各概念的核心内容，首先补全众数的定义、性质相关知识点，再梳理平均数的分类，补充遗漏的加权平均数分支，最后分别完善算术平均数、加权平均数的定义、特点等内容，按照从总到分的逻辑逐层补全知识体系即可。
【解析】
我们按照现有框架的层级逻辑逐步完善知识体系：
1. 首先明确“平均数与众数”分为两大模块：众数、平均数。
（1）众数：明确它的定义，再梳理它的性质特点，明确其反应的统计意义和优势。
（2）平均数：平均数包含两类，除已给出的算术平均数外，还有加权平均数。分别梳理两类平均数的定义、计算方法，再补充各自的特点和适用场景即可。
【答案】
解：
构建的完整知识体系如下：
一、平均数与从众数的两大分支
1. 众数
定义：一组数据中出现次数最多的数据
性质：一组数据的众数可能有1个或多个，也可能不存在，它反映数据的多数集中水平，不受极端值影响
2. 平均数
平均数除已列出的算术平均数外，另一分支为加权平均数：
① 算术平均数
定义：对于$n$个数据$x_1,x_2,\dots,x_n$，算术平均数为$\bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n)$
特点：所有数据都参与运算，易受极端值影响
② 加权平均数
定义：若$n$个数据$x_1,x_2,\dots,x_n$对应的权重为$w_1,w_2,\dots,w_n$，则加权平均数为$\bar{x}=\frac{x_1w_1+x_2w_2+\dots+x_nw_n}{w_1+w_2+\dots+w_n}$
权的意义：反映不同数据在统计整体中的相对重要程度，多用于实际场景的综合评分计算
【知识点】
众数；算术平均数；加权平均数
【点评】
本题属于基础的知识归纳类题目，考查对数据集中趋势相关统计量的概念、性质的掌握，要求学生理清知识点之间的从属关系，搭建清晰的知识框架，为后续运用统计量分析实际问题夯实基础。
【难度系数】
0.8
这是一道统计板块的知识体系构建题，解题时先结合已给出的知识框架梳理逻辑：顶层分类为“平均数与众数”，下设“众数”“平均数”两个分支，其中“平均数”下已给出“算术平均数”子分支。解题时先回忆各概念的核心内容，首先补全众数的定义、性质相关知识点，再梳理平均数的分类，补充遗漏的加权平均数分支，最后分别完善算术平均数、加权平均数的定义、特点等内容，按照从总到分的逻辑逐层补全知识体系即可。
【解析】
我们按照现有框架的层级逻辑逐步完善知识体系：
1. 首先明确“平均数与众数”分为两大模块：众数、平均数。
（1）众数：明确它的定义，再梳理它的性质特点，明确其反应的统计意义和优势。
（2）平均数：平均数包含两类，除已给出的算术平均数外，还有加权平均数。分别梳理两类平均数的定义、计算方法，再补充各自的特点和适用场景即可。
【答案】
解：
构建的完整知识体系如下：
一、平均数与从众数的两大分支
1. 众数
定义：一组数据中出现次数最多的数据
性质：一组数据的众数可能有1个或多个，也可能不存在，它反映数据的多数集中水平，不受极端值影响
2. 平均数
平均数除已列出的算术平均数外，另一分支为加权平均数：
① 算术平均数
定义：对于$n$个数据$x_1,x_2,\dots,x_n$，算术平均数为$\bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n)$
特点：所有数据都参与运算，易受极端值影响
② 加权平均数
定义：若$n$个数据$x_1,x_2,\dots,x_n$对应的权重为$w_1,w_2,\dots,w_n$，则加权平均数为$\bar{x}=\frac{x_1w_1+x_2w_2+\dots+x_nw_n}{w_1+w_2+\dots+w_n}$
权的意义：反映不同数据在统计整体中的相对重要程度，多用于实际场景的综合评分计算
【知识点】
众数；算术平均数；加权平均数
【点评】
本题属于基础的知识归纳类题目，考查对数据集中趋势相关统计量的概念、性质的掌握，要求学生理清知识点之间的从属关系，搭建清晰的知识框架，为后续运用统计量分析实际问题夯实基础。
【难度系数】
0.8
