4.如图,已知点C是线段AB延长线上一点,M为线段AC的中点,N为线段BC的中点,若AB=8,求MN的长.

4.解:4.

【分析】
解题时先从已知的中点条件入手，回忆线段中点的性质：中点将线段分成长度相等的两部分。观察图形中MN的构成，可知MN等于MC减去NC，因此我们可以先分别用含AC、BC的式子表示MC和NC，再对表达式进行化简，就能找到MN和已知线段AB的数量关系，进而代入AB的长度求出结果。
【解析】
解：
∵ M是线段AC的中点，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC$ 。
∵ N是线段BC的中点，
∴ $NC=\frac{1}{2}BC$ 。
∴ $MN=MC-NC=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)$ 。
又
∵ $AC-BC=AB=8$，
∴ $MN=\frac{1}{2}×8=4$ 。
【答案】
4
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的典型基础题，解题核心是利用线段中点的性质，将待求线段转化为已知线段的倍分关系，不需要设未知量即可快速推导，这类线段转化的思路是后续解决复杂线段计算问题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

5.如图,已知A,B两村分别在公路l两侧,现要在公路旁建一汽车站,使两村到汽车站距离之和最短,那么汽车站应建在什么位置?请在图中表示出汽车站的位置.

5.解:如图所示,根据两点之间,线段最短,连接AB与直线l交于点P,点P即为所建汽车站的位置.

【分析】
要解决在公路l上找一点，使该点到A、B两村距离之和最短的问题，可结合已学的线段性质思考：我们知道“两点之间，线段最短”，A、B两点之间的最短路径就是连接两点得到的线段AB的长度。若要找的点在l上，同时满足到A、B的距离和最小，那么这个点必然在AB线段上，因此线段AB和直线l的交点就是所求点，若在l上取其他任意点，该点到A、B的距离和都会大于AB的长度，不满足最短要求。
【解析】
根据“两点之间，线段最短”的性质解题：
1. 用直尺连接A、B两点，得到线段AB；
2. 找到线段AB与直线l的交点，标记为P，该点即为所求的汽车站位置。
【答案】
解:如图所示,根据两点之间,线段最短,连接AB与直线l交于点P,点P即为所建汽车站的位置.
【知识点】
两点之间线段最短；线段作图
【点评】
本题是最短路径类的基础应用题，将实际选址问题转化为几何性质的应用，解题关键是熟练掌握两点之间线段最短的性质，能灵活将几何知识和实际问题结合。
【难度系数】
0.9

6.如图,设A,B,C,D分别为草原上的四口油井,现在要建立一个维修站H,试问维修站建在何处,才能使它到四口油井的距离之和最小.

6.解:如图所示,连接AC,BD,其交点即为维修站H的位置.根据两点之间,线段最短,可知点H到四口油井的距离之和最小.

【分析】
要找到到四口油井距离之和最小的维修站位置，可将总距离拆分为到A、C的距离和与到B、D的距离和两部分。根据“两点之间线段最短”的性质，到A、C两点距离之和最小的点一定在线段AC上，到B、D两点距离之和最小的点一定在线段BD上，同时满足这两个条件的点就是两条线段的交点，此时总距离和最小。
【解析】
要使维修站H到A、B、C、D四点的距离和$HA+HB+HC+HD$最小，可将式子变形为$(HA+HC)+(HB+HD)$：
1. 根据两点之间线段最短，对A、C两点，$HA+HC≥ AC$，仅当H在线段AC上时，等号成立，此时$HA+HC$取最小值$AC$；
2. 同理，对B、D两点，$HB+HD≥ BD$，仅当H在线段BD上时，等号成立，此时$HB+HD$取最小值$BD$。
要让总距离和最小，需同时满足两个等号成立的条件，即H是线段AC和BD的交点，此时总距离和为$AC+BD$，是最小取值。
【答案】
连接AC,BD,其交点即为维修站H的位置.根据两点之间,线段最短,可知点H到四口油井的距离之和最小.
【知识点】
两点之间线段最短；最短路径问题
【点评】
本题是线段基本性质的生活化应用，解题核心是将多点距离和问题转化为两组两点距离最值问题，结合线段性质找到最优解，有助于提升学生将实际问题抽象为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7