1. 如图,把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地,场地面积扩大了一倍,则小圆形场地的半径为
( )
A. 5 m
B. $(5+\sqrt{2})\ \mathrm{m}$
C. $(5+3\sqrt{2})\ \mathrm{m}$
D. $(5+5\sqrt{2})\ \mathrm{m}$

D

2. 新趋势 数学文化（2024·扬州模拟）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是 25，小正方形的面积是 1，则$AE=\underline{\hspace{3em}}.$

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3. 新趋势 数学文化 (2023·无锡中考)《九章算术》中提出了如下问题:今有户不知高、广,竿不知长短,横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出,问户高、广、邪各几何?这段话的意思是:今有门不知其高宽,有竿,不知其长短,横放,竿比门宽长出4尺,竖放,竿比门高长出2尺,斜放,竿与门对角线恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少?则该问题中的门高是________尺.

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4. 教材P29练习T2变式（2024·杭州期中）
$△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=10\ \mathrm{cm}$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，点$P$从点$A$开始沿边$AB$向终点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度移动，与此同时，点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向终点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动.如果点$P$、$Q$分别从点$A$、$B$同时出发，当点$Q$运动到点$C$时，两点停止运动.设运动时间为$t$秒.
(1)填空：$BQ=$______，$PB=$______.(用含$t$的代数式表示)
(2)当$t$为何值时，$PQ$的长度等于$10\ \mathrm{cm}$？
(3)是否存在$t$的值，使得$△ PBQ$的面积等于$9\ \mathrm{cm}^2$？若存在，请求出此时$t$的值；若不存在，请说明理由.

$2t\ cm$ ; $(10 - t)\ cm$ ; 解：(2)$∵∠B = 90°，$$∴\triangle PBQ$是直角三角形，根据勾股定理得$PB^{2}+BQ^{2}=PQ^{2}，$
即$(10 - t)^{2}+(2t)^{2}=10^{2}。$ 展开式子得$100 - 20t + t^{2}+4t^{2}=100，$ 合并同类项得$5t^{2}-20t = 0，$ 提取公因式$5t$得$5t(t - 4)=0，$ 解得$t_{1}=0，$$t_{2}=4。$ $∴t = 0$或$4$时，$PQ$的长度等于$10\ cm。$ (3)解：存在。由题意得$S_{\triangle PBQ}=\frac{1}{2}BQ·BP = 9，$
即$\frac{1}{2}×2t×(10 - t)=9。$ 整理得$t^{2}-10t + 9 = 0，$ 因式分解得$(t - 1)(t - 9)=0，$ 解得$t_{1}=1，$$t_{2}=9。$ $∵$当点$Q$运动到点$C$时，两点停止运动，即$2t\leqslant12，$解得$t\leqslant6，$ $∴t = 1$时，$\triangle PBQ$的面积等于$9\ cm^{2}。$

5. 如图,点 E 在矩形 ABCD 的AB 边上,将 $△ ADE$ 沿 DE翻折,点 A 恰好落在 BC 边上的点 F 处,若 $CD=3BF$,
$BE=4$,则 CD 的长为
( )
A. 9
B. 12
C. 15
D. 16

A