6. (2024·苏州模拟)如图,一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的,已知小正方形的面积和五边形的面积相等,并且图中线段$ a $的长度为$ \sqrt{10} - 2 $,则这块地砖的面积为 ( )
A. 50
B. 40
C. 30
D. 20

B

7. 如图①,在矩形ABCD中,点E为BC的中点,点P沿BC从点B运动到点C,设B、P两点间的距离为x,PA-PE=y,点P运动时y关于x的函数图像如图②所示,则BC的长是________.

6

8. (2024·运城期中)如图,将边长为4的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A'B'C'.
(1)当两个三角形重叠部分的面积为3时,求移动的距离AA';
(2)当移动的距离AA'是何值时,重叠部分是菱形?

解：​$(1)$​如图，设​$AC$​与​$A'B'$​交于点​$E，$​​$DC$​与​$A'C'$​交于点​$F。$​​$ $​设​$AA'=x，$​则​$A'E = AA'=x，$​​$A'D = 4 - x。$​​$ $​由题意得​$x(4 - x)=3，$​​$ $​整理得​$x^2-4x + 3 = 0，$​​$ $​因式分解得​$(x - 1)(x - 3)=0，$​​$ $​解得​$x = 1$​或​$3。$​​$ $​故移动的距离​$AA'$​为​$1$​或​$3。$​​$ (2)$​解：当四边形​$A'ECF $​是菱形时，​$A'E = A'F。$​​$ $​设​$AA'=x，$​则​$A'E = CF = x。$​​$ $​由题意得​$A'F^2=2A'D^2，$​即​$x^2=2(4 - x)^2，$​​$ $​展开得​$x^2=2(16 - 8x + x^2)，$​​$ x^2=32 - 16x + 2x^2，$​​$ $​移项得​$x^2-16x + 32 = 0，$​​$ $​根据求根公式​$x=\frac {-b\pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$​​$($​其中​$a = 1，$​​$b=-16，$​​$c = 32)，$​​$ x=\frac {16\pm \sqrt {(-16)^2-4×1×32}}{2×1}$​​$=\frac {16\pm \sqrt {256 - 128}}{2}=\frac {16\pm \sqrt {128}}{2}=\frac {16\pm 8\sqrt {2}}{2}=8\pm 4\sqrt {2}，$​​$ $​舍去​$x = 8 + 4\sqrt {2}。$​​$ $​故当移动的距离​$AA'$​是​$8 - 4\sqrt {2}$​时，重叠部分是菱形。

9. 小明和同桌小聪在课后复习时,对练习册中的一道思考题进行了认真探索.思考题:如图,一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时点B到墙底端C的距离为0.7米,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么点B将向外移动多少米?

(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整.
解:设点B将向外移动$x$米,即$BB_{1}=x$米,则$B_{1}C=(x+0.7)$米,$A_{1}C=AC-AA_{1}=\sqrt{2.5^{2}-0.7^{2}}-0.4=2.4-0.4=2$(米),而$A_{1}B_{1}=2.5$米,在$\mathrm{Rt}△ A_{1}B_{1}C$中,由$B_{1}C^{2}+A_{1}C^{2}=A_{1}B_{1}^{2}$,得方程________,解方程得$x_{1}=$______,
$x_{2}=$______,$\therefore$点B将向外移动________米.
(2)解完“思考题”后,小聪提出了如下两个问题:
问题①:在“思考题”中,将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”,那么该题的答案会是0.9米吗?为什么?
问题②:在“思考题”中,梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离,有可能相等吗?为什么?
请你解答小聪提出的这两个问题.

$(x + 0.7)^{2}+2^{2}=2.5^{2}$ ; $0.8$ ; $-2.2$（舍去） ; $0.8$ ; 解​$：(2)①$​不会是​$0.9$​米。理由如下： ∵​$AA_{1}=0.9$​米，∴​$A_{1}C = 2.4 - 0.9 = 1.5($​米​$)。$​​$ $​在​$Rt\triangle A_{1}B_{1}C$​中，​$B_{1}C=\sqrt {2.5^2-1.5^2}=\sqrt {6.25 - 2.25}=\sqrt {4}=2($​米​$)，$​​$ $​则​$BB_{1}=CB_{1}-CB = 2 - 0.7 = 1.3($​米​$)。$​​$ $​故梯子底部​$B$​向外移动​$1.3$​米。 ②解：有可能。理由如下：​$ $​设梯子顶端从​$A$​处下滑​$x$​米，点​$B$​向外也移动​$x$​米，则有​$(x + 0.7)^2+(2.4 - x)^2=2.5^2，$​​$ $​展开得​$x^2+1.4x + 0.49+5.76 - 4.8x + x^2=6.25，$​​$ $​合并同类项得​$2x^2-3.4x = 0，$​​$ $​提取公因式​$x$​得​$x(2x - 3.4)=0，$​​$ $​解得​$x_{1}=1.7$​或​$x_{2}=0($​舍去​$)。$​ ∴当梯子顶端从​$A$​处下滑​$1.7$​米时，点​$B$​向外也移动​$1.7$​米，即梯子顶端从​$A$​处沿墙​$AC$​下滑的距离与点​$B$​向外移动的距离有可能相等。