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10. (2024·南通校级模拟)正月十五是中华民族传统的节日——元宵节,家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗.位于北关古城内的盼盼手工汤圆店,计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆,已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉,而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉(每天只能生产其中一种).
(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套,且全部及时加工成汤圆,则总共生产了多少袋手工汤圆?
(2)为保证手工汤圆的最佳风味,汤圆店计划把这21天生产的汤圆在10天内销售完.据统计,每袋手工汤圆的成本为13元,售价为25元时每天可售出225袋,售价每降低2元,每天可多售出75袋.汤圆店按售价25元销售2天后,余下8天进行降价促销,第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店,若最终获利40 500元,则促销时每袋应降价多少元?
(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套,且全部及时加工成汤圆,则总共生产了多少袋手工汤圆?
(2)为保证手工汤圆的最佳风味,汤圆店计划把这21天生产的汤圆在10天内销售完.据统计,每袋手工汤圆的成本为13元,售价为25元时每天可售出225袋,售价每降低2元,每天可多售出75袋.汤圆店按售价25元销售2天后,余下8天进行降价促销,第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店,若最终获利40 500元,则促销时每袋应降价多少元?
答案
解：$(1)$设总共生产了$a$袋手工汤圆，依题意得$\frac {0.3a}{450}+\frac {0.5a}{300}=21，$$ $通分得到$\frac {0.3a×2}{450×2}+\frac {0.5a×3}{300×3}=21，$即$\frac {0.6a}{900}+\frac {1.5a}{900}=21，$$ \frac {0.6a + 1.5a}{900}=21，$$ 2.1a=21×900，$$ a = 9000，$经检验$a = 9000$符合题意。 答：总共生产了$9000$袋手工汤圆。$ (2)$设促销时每袋应降价$x$元，当刚好$10$天全部销售完时，依题意得$225×2×(25 - 13)+8(25 - 13 - x)(225+\frac {75}{2}x)=40500，$$ $整理得$x^2-6x + 45 = 0，$$ $其中$a = 1，$$b=-6，$$c = 45，$$ ∆=b^2-4ac=(-6)^2-4×1×45=-144<0，$方程无解，$ $所以$10$天不能全部销售完，第$10$天结束后将还未售出的手工汤圆以$15$元$/$袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为$(15 - 13)[9000 - 2×225 - 8(225+\frac {75}{2}x)]=13500 - 600x，$$ $依题意得$225×2×(25 - 13)+8(25 - 13 - x)(225+\frac {75}{2}x)+13500 - 600x = 40500，$$ $展开括号并整理得$x^2-4x = 0，$$ x(x - 4)=0，$$ $解得$x_{1} = 0，$$x_{2} = 4，$因为要促销，所以$x = 4，$即促销时每袋应降价$4$元。
11. (2024·六盘水月考)某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车,在一定范围内,每辆汽车的进价与销售量有如下关系:若当月仅售出1辆汽车,则该辆汽车的进价为27万元,每多售出1辆,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆,月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在10辆以内(含10辆),每辆返利0.5万元;销售量在10辆以上,每辆返利1万元.
(1)若该公司当月售出3辆汽车,则每辆汽车的进价为________万元.
(2)如果汽车的售价为28万元/辆,该公司计划当月盈利12万元,那么需要售出多少辆汽车?(盈利=销售利润+返利)
(1)若该公司当月售出3辆汽车,则每辆汽车的进价为________万元.
(2)如果汽车的售价为28万元/辆,该公司计划当月盈利12万元,那么需要售出多少辆汽车?(盈利=销售利润+返利)
答案
26.8
; 解：设需要售出$x$辆汽车，则每辆汽车的进价为$[27-0.1(x - 1)]=(27.1-0.1x)$万元， 当$x\leq10$时，$[28-(27.1 - 0.1x)]x+0.5x = 12，$ 展开括号得$(0.9 + 0.1x)x+0.5x = 12，$ 即$0.9x+0.1x^{2}+0.5x = 12，$ 整理得$x^{2}+14x - 120 = 0，$ 因式分解得$(x + 20)(x - 6)=0，$ 则$x + 20 = 0$或$x - 6 = 0，$ 解得$x_1=-20$（舍去），$x_2 = 6。$ 当$x>10$时，$[28-(27.1 - 0.1x)]x+x = 12，$ 展开括号得$(0.9 + 0.1x)x+x = 12，$ 即$0.9x+0.1x^{2}+x = 12，$ 整理得$x^{2}+19x - 120 = 0，$ 对于一元二次方程$x^{2}+19x - 120 = 0，$
其中$a = 1，$$b = 19，$$c=-120，$ 根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$可得： $\begin{aligned}x&=\frac{-19\pm\sqrt{19^{2}-4×1×(-120)}}{2×1}\\&=\frac{-19\pm\sqrt{361 + 480}}{2}\\&=\frac{-19\pm\sqrt{841}}{2}\\&=\frac{-19\pm29}{2}\end{aligned}$ 解得$x_1=-24$（舍去），$x_2 = 5$（舍去）。 综上，需要售出$6$辆汽车。
; 解：设需要售出$x$辆汽车，则每辆汽车的进价为$[27-0.1(x - 1)]=(27.1-0.1x)$万元， 当$x\leq10$时，$[28-(27.1 - 0.1x)]x+0.5x = 12，$ 展开括号得$(0.9 + 0.1x)x+0.5x = 12，$ 即$0.9x+0.1x^{2}+0.5x = 12，$ 整理得$x^{2}+14x - 120 = 0，$ 因式分解得$(x + 20)(x - 6)=0，$ 则$x + 20 = 0$或$x - 6 = 0，$ 解得$x_1=-20$（舍去），$x_2 = 6。$ 当$x>10$时，$[28-(27.1 - 0.1x)]x+x = 12，$ 展开括号得$(0.9 + 0.1x)x+x = 12，$ 即$0.9x+0.1x^{2}+x = 12，$ 整理得$x^{2}+19x - 120 = 0，$ 对于一元二次方程$x^{2}+19x - 120 = 0，$
其中$a = 1，$$b = 19，$$c=-120，$ 根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$可得： $\begin{aligned}x&=\frac{-19\pm\sqrt{19^{2}-4×1×(-120)}}{2×1}\\&=\frac{-19\pm\sqrt{361 + 480}}{2}\\&=\frac{-19\pm\sqrt{841}}{2}\\&=\frac{-19\pm29}{2}\end{aligned}$ 解得$x_1=-24$（舍去），$x_2 = 5$（舍去）。 综上，需要售出$6$辆汽车。
