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11. 甲、乙两车从 A 地将一批物品匀速运往 B 地，已知甲出发 0.5 h 后乙开始出发，如图，线段 OP、MN 分别表示甲、乙两车离 A 地的距离 s(km)与时间 t(h)之间的关系.请结合图中的信息解决下列问题：
(1)计算甲、乙两车的速度及 a 的值.
(2)若乙车到达 B 地后立即以原速返回 A地.
①在图中画出乙车在返回过程中离 A 地的距离 s(km)与时间 t(h)之间的函数图象；
②甲车在离 B 地多远时与返程中的乙车相遇？
(1)计算甲、乙两车的速度及 a 的值.
(2)若乙车到达 B 地后立即以原速返回 A地.
①在图中画出乙车在返回过程中离 A 地的距离 s(km)与时间 t(h)之间的函数图象；
②甲车在离 B 地多远时与返程中的乙车相遇？
答案
解：
(1)根据题意可知$M(0.5,0)，$线段$OP$、$MN$都经过$(1.5,60)。$ 甲车的速度为$60\div1.5 = 40(km/h)；$ 乙车的速度为$60\div(1.5 - 0.5)=60(km/h)；$ $a = 40\times4.5 = 180(km)。$ (2)①乙车到达$B$地所用时间为$180\div60 = 3(h)，$ 所以点$N$的横坐标为$0.5 + 3 = 3.5，$在$6.5h$时乙车返回$A$地。 乙车在返回过程中离$A$地的距离$s(km)$与时间$t(h)$之间的函数图象为线段$NQ$（图略）。 ②乙车到达$B$地时，甲车离$A$地的距离为$40\times3.5 = 140(km)。$ 设乙车返程与甲车相遇所用时间为$t_0h，$则$(60 + 40)t_0 = 180 - 140，$ 即$100t_0 = 40，$解得$t_0 = 0.4，$ 所以$60\times0.4 = 24(km)。$ 答：甲车在离$B$地$24km$时与返程中的乙车相遇。 ;
12. 试用两种方法证明“垂线段最短”.
如图,点 $ P $ 在直线 $ l $ 外,$ PA ⊥ l $,垂足为 $ A $,$ Q $ 为直线 $ l $ 上不同于点 $ A $ 的任意一点.求证 $ PA ＜ PQ $.
(1)小明的操作是:如图 1,延长 $ PA $ 至点 $ B $,使得 $ AB = PA $,连接 $ BQ $,……请接着小明的操作完成证明.
(2)小芳发现还可以利用“勾股定理”来证明,请结合图 2 完成证明.
如图,点 $ P $ 在直线 $ l $ 外,$ PA ⊥ l $,垂足为 $ A $,$ Q $ 为直线 $ l $ 上不同于点 $ A $ 的任意一点.求证 $ PA ＜ PQ $.
(1)小明的操作是:如图 1,延长 $ PA $ 至点 $ B $,使得 $ AB = PA $,连接 $ BQ $,……请接着小明的操作完成证明.
(2)小芳发现还可以利用“勾股定理”来证明,请结合图 2 完成证明.
答案
证明：
(1)如图1，延长$PA$至点$B，$使得$AB = PA，$连接$BQ。$ 在$\triangle APQ$与$\triangle ABQ$中，$\begin{cases}AP = AB\\\angle PAQ=\angle BAQ = 90^{\circ}\\AQ = AQ\end{cases}，$ 所以$\triangle APQ\cong\triangle ABQ(SAS)，$
所以$PQ = BQ。$ 因为$PQ + BQ\gt PB，$即$2PQ\gt2AP，$
所以$PA\lt PQ。$ (2)因为$PA\perp l，$所以$\angle PAQ = 90^{\circ}，$ 根据勾股定理可得$PQ^{2}=PA^{2}+AQ^{2}，$
所以$PA^{2}\lt PQ^{2}，$所以$PA\lt PQ。$
(1)如图1，延长$PA$至点$B，$使得$AB = PA，$连接$BQ。$ 在$\triangle APQ$与$\triangle ABQ$中，$\begin{cases}AP = AB\\\angle PAQ=\angle BAQ = 90^{\circ}\\AQ = AQ\end{cases}，$ 所以$\triangle APQ\cong\triangle ABQ(SAS)，$
所以$PQ = BQ。$ 因为$PQ + BQ\gt PB，$即$2PQ\gt2AP，$
所以$PA\lt PQ。$ (2)因为$PA\perp l，$所以$\angle PAQ = 90^{\circ}，$ 根据勾股定理可得$PQ^{2}=PA^{2}+AQ^{2}，$
所以$PA^{2}\lt PQ^{2}，$所以$PA\lt PQ。$
