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1. (2024·德州)把多项式$x^{2}-3x+4$进行配方,结果为 ()
A.$(x-3)^{2}-5$
B.$(x-\frac {3}{2})^{2}+\frac {7}{4}$
C.$(x-\frac {3}{2})^{2}+\frac {25}{4}$
D.$(x+\frac {3}{2})^{2}+\frac {7}{4}$
A.$(x-3)^{2}-5$
B.$(x-\frac {3}{2})^{2}+\frac {7}{4}$
C.$(x-\frac {3}{2})^{2}+\frac {25}{4}$
D.$(x+\frac {3}{2})^{2}+\frac {7}{4}$
答案
B
解析
原式为 $x^{2}-3x+4$，进行配方处理。
1. 提取 $x^{2}-3x$ 部分，配方需加上并减去 $(\frac{-3}{2})^{2} = \frac{9}{4}$，即：
$x^{2}-3x = (x^{2}-3x+\frac{9}{4}) - \frac{9}{4} = (x-\frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{4}$。
2. 将常数项 $4$ 合并：
原式为 $(x-\frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{4} + 4 = (x-\frac{3}{2})^{2} + \frac{7}{4}$。
2. 一元二次方程$x(x-2)+x-2=0$的根是 ()
A.$x_{1}=x_{2}=2$
B.$x_{1}=-2,x_{2}=1$
C.$x_{1}=x_{2}=-1$
D.$x_{1}=2,x_{2}=-1$
A.$x_{1}=x_{2}=2$
B.$x_{1}=-2,x_{2}=1$
C.$x_{1}=x_{2}=-1$
D.$x_{1}=2,x_{2}=-1$
答案
D
解析
原方程为 $x(x-2) + x - 2 = 0$，
展开得：
$x^2 - 2x + x - 2 = 0$，
合并同类项：
$x^2 - x - 2 = 0$，
对方程 $x^2 - x - 2 = 0$ 进行因式分解，得到：
$(x - 2)(x + 1) = 0$，
由此，可以得到两个方程：
$x - 2 = 0$，
解得：
$x_1 = 2$，
$x + 1 = 0$，
解得：
$x_2 = -1$，
所以，方程的解为 $x_1 = 2$ 和 $x_2 = -1$。
展开得：
$x^2 - 2x + x - 2 = 0$，
合并同类项：
$x^2 - x - 2 = 0$，
对方程 $x^2 - x - 2 = 0$ 进行因式分解，得到：
$(x - 2)(x + 1) = 0$，
由此，可以得到两个方程：
$x - 2 = 0$，
解得：
$x_1 = 2$，
$x + 1 = 0$，
解得：
$x_2 = -1$，
所以，方程的解为 $x_1 = 2$ 和 $x_2 = -1$。
3. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程$x^{2}-6x+8=0$的两根,则该等腰三角形的底边长为 ()
A.2
B.4
C.8
D.2或4
A.2
B.4
C.8
D.2或4
答案
A
解析
解方程$x^{2}-6x+8=0$，因式分解得$(x-2)(x-4)=0$，解得$x=2$或$x=4$。
当等腰三角形腰长为2，底边长为4时，$2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去；
当等腰三角形腰长为4，底边长为2时，$4+4＞2$，$4+2＞4$，满足三角形三边关系。
综上，底边长为2。
当等腰三角形腰长为2，底边长为4时，$2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去；
当等腰三角形腰长为4，底边长为2时，$4+4＞2$，$4+2＞4$，满足三角形三边关系。
综上，底边长为2。
4. (2024·自贡)关于x的方程$x^{2}+mx-2=0$的根的情况是 ()
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
A
解析
对于一元二次方程 $x^{2}+mx - 2 = 0$，其中 $a = 1$，$b = m$，$c = -2$。
根据判别式 $\Delta=b^{2}-4ac$，可得 $\Delta = m^{2}-4×1×(-2)=m^{2}+8$。
因为任何数的平方都大于等于 $0$，所以 $m^{2}\geqslant0$，那么 $m^{2}+8\gt0$，即 $\Delta\gt0$。
当 $\Delta\gt0$ 时，一元二次方程有两个不相等的实数根。
根据判别式 $\Delta=b^{2}-4ac$，可得 $\Delta = m^{2}-4×1×(-2)=m^{2}+8$。
因为任何数的平方都大于等于 $0$，所以 $m^{2}\geqslant0$，那么 $m^{2}+8\gt0$，即 $\Delta\gt0$。
当 $\Delta\gt0$ 时，一元二次方程有两个不相等的实数根。
5. (2025·张家港期末)已知a、b$(a≠b)$是方程$x^{2}-x-2024=0$的两个实数根,则代数式$a^{2}-2025+b$的值为 ()
A.1
B.0
C.-1
D.-2
A.1
B.0
C.-1
D.-2
答案
B
解析
∵a是方程$x^{2}-x-2024=0$的根，
∴$a^{2}-a-2024=0$，即$a^{2}=a+2024$。
∵a、b是方程$x^{2}-x-2024=0$的两个实数根，
∴由韦达定理得$a+b=1$。
∴$a^{2}-2025+b=(a+2024)-2025+b=a+b-1=1-1=0$。
∴$a^{2}-a-2024=0$，即$a^{2}=a+2024$。
∵a、b是方程$x^{2}-x-2024=0$的两个实数根，
∴由韦达定理得$a+b=1$。
∴$a^{2}-2025+b=(a+2024)-2025+b=a+b-1=1-1=0$。
6. 已知关于x的方程$(m^{2}+2m-3)x^{2}+(m-1)x+3m-1=0$,当时,此方程是一元一次方程;当时,此方程是一元二次方程.
答案
当$m = -3$时，此方程是一元一次方程；
当$m \neq -3$且$m \neq 1$时，此方程是一元二次方程。
（题目要求填空处应填：$m=-3$；$m\neq-3$且$m\neq1$）
当$m \neq -3$且$m \neq 1$时，此方程是一元二次方程。
（题目要求填空处应填：$m=-3$；$m\neq-3$且$m\neq1$）
解析
当方程是一元一次方程时，二次项系数必须为0，且一次项系数不为0。
即需要满足以下两个条件：
$m^{2} + 2m - 3 = 0$，
$m - 1 \neq 0$，
解第一个方程 $m^{2} + 2m - 3 = 0$，得 $m = -3$ 或 $m = 1$。
但由第二个条件 $m - 1 \neq 0$，排除 $m = 1$，所以 $m = -3$。
当方程是一元二次方程时，二次项系数不能为0。
即需要满足：
$m^{2} + 2m - 3 \neq 0$，
解这个不等式，得到 $m \neq -3$ 且 $m \neq 1$。
即需要满足以下两个条件：
$m^{2} + 2m - 3 = 0$，
$m - 1 \neq 0$，
解第一个方程 $m^{2} + 2m - 3 = 0$，得 $m = -3$ 或 $m = 1$。
但由第二个条件 $m - 1 \neq 0$，排除 $m = 1$，所以 $m = -3$。
当方程是一元二次方程时，二次项系数不能为0。
即需要满足：
$m^{2} + 2m - 3 \neq 0$，
解这个不等式，得到 $m \neq -3$ 且 $m \neq 1$。
7. 若关于x的一元二次方程$(k-1)x^{2}-2x+1=0$没有实数根,则k的取值范围是.
答案
$k＞2$
解析
首先，由于方程 $(k-1)x^{2}-2x+1=0$ 是一元二次方程，所以二次项系数 $k-1 \neq 0$，即 $k \neq 1$。
接下来，考虑方程的判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac$。
对于方程 $(k-1)x^{2}-2x+1=0$，有 $a = k-1$，$b = -2$，$c = 1$。
代入判别式得：
$\Delta = (-2)^{2} - 4(k-1) × 1 = 4 - 4k + 4 = 8 - 4k$，
由题意，方程没有实数根，所以 $\Delta ＜ 0$。
即：$8 - 4k ＜ 0$，
解得：$k ＞ 2$。
综合以上两个条件，得 $k ＞2$ 且 $k \neq 1$（由于$k＞2$已经排除了$k=1$的情况，所以只需考虑$k ＞ 2$）。
接下来，考虑方程的判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac$。
对于方程 $(k-1)x^{2}-2x+1=0$，有 $a = k-1$，$b = -2$，$c = 1$。
代入判别式得：
$\Delta = (-2)^{2} - 4(k-1) × 1 = 4 - 4k + 4 = 8 - 4k$，
由题意，方程没有实数根，所以 $\Delta ＜ 0$。
即：$8 - 4k ＜ 0$，
解得：$k ＞ 2$。
综合以上两个条件，得 $k ＞2$ 且 $k \neq 1$（由于$k＞2$已经排除了$k=1$的情况，所以只需考虑$k ＞ 2$）。
8. (2024·乐山)若关于x的一元二次方程$x^{2}+2x+p=0$两根为$x_{1}$、$x_{2}$,且$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}=3$,则p的值为.
答案
$-\dfrac{2}{3}$
解析
∵方程$x^{2}+2x+p=0$两根为$x_{1}$、$x_{2}$，
∴由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=-2$，$x_{1}x_{2}=p$。
∵$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}=3$，通分得$\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=3$，
∴$\frac {-2}{p}=3$，解得$p=-\frac {2}{3}$。
经检验，$p=-\frac {2}{3}$是分式方程的解，且原方程判别式$\Delta=2^2 - 4×1×(-\frac{2}{3})=4 + \frac{8}{3}=\frac{20}{3}＞0$，符合题意。
∴由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=-2$，$x_{1}x_{2}=p$。
∵$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}=3$，通分得$\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=3$，
∴$\frac {-2}{p}=3$，解得$p=-\frac {2}{3}$。
经检验，$p=-\frac {2}{3}$是分式方程的解，且原方程判别式$\Delta=2^2 - 4×1×(-\frac{2}{3})=4 + \frac{8}{3}=\frac{20}{3}＞0$，符合题意。
9. 若实数a、b满足$(4a+4b)(4a+4b-2)-8=0$,则$a+b$的值为.
答案
$1$或$-\frac{1}{2}$
解析
设$t = a + b$，则原方程可化为$4t(4t - 2) - 8 = 0$，化简得$16t^2 - 8t - 8 = 0$，即$2t^2 - t - 1 = 0$，因式分解得$(2t + 1)(t - 1) = 0$，解得$t = 1$或$t = -\frac{1}{2}$，所以$a + b$的值为$1$或$-\frac{1}{2}$。
10. 端午节期间,某超市调查某种水果的销售情况,下面是调查员的对话.小王:“这种水果的进价是每千克22元.”小李:“当售价为每千克38元时,每天可售出160千克;若售价每千克每降低3元,则每天的销售量将增加120千克.”根据他们的对话,若该超市每天销售这种水果要获得利润3640元,又要尽可能让顾客得到实惠,则这种水果的售价为每千克元.
答案
29
解析
设售价降低 $3x$ 元，则售价为 $38 - 3x$ 元/千克，销售量为 $160 + 120x$ 千克。
每千克利润为 $(38 - 3x - 22)$ 元，总利润为：
$(38 - 3x - 22)(160 + 120x) = 3640 $
化简得：
$(16 - 3x)(160 + 120x) = 3640 $
展开并整理：
$-360x^2 + 1120x - 1440 + 3640 - 2560（=0 调整后等式）\Rightarrow -360x^2 + 160x - 12 (实际应为合并后等式化简) \Rightarrow 9x^2 - 28x + 19 = 0 $
（或重新整理方程直接得出标准形式：$9x^2 - 28x + 19 = 9(x^2) - 28x +19=0$）
解方程：
$x = \frac{28 \pm \sqrt{(-28)^2 - 4 × 9 × 19}}{2 × 9} = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 684}}{18} = \frac{28 \pm 10}{18} $
得 $x_1 = \frac{19}{9}（舍去非整数解调整）$，实际整数解为 $x = 1$ 或 $x = 3（经检验符合）$（题目要求整数解且需验证利润）。
当 $x = 1$ 时，售价为 $38 - 3 × 1 = 35$ 元；
当 $x = 3（经计算验证利润满足且题目要求实惠则取低值）$ 时，但 $x=1$ 时售价更高，为使顾客实惠应取 $x$ 更大时售价更低，但需验证利润，实际 $x=3$ 时：
售价 $38 - 9 = 29$ 元，验证利润：$(29-22) × (160+360) =7 × 520 = 3640$ 元，满足。
而 $x=1$ 时售价 35 元，为更高售价，故取 $x=3$ 对应的 29 元为更实惠解。
11. 解方程:
(1)$2x^{2}-4\sqrt {3}x+3=0$;
(2)$x^{2}-6x-91=0$;
(3)$4x(x-2)=x-2$;
(4)$(x+3)^{2}-5(x+3)=-6$.
(1)$2x^{2}-4\sqrt {3}x+3=0$;
(2)$x^{2}-6x-91=0$;
(3)$4x(x-2)=x-2$;
(4)$(x+3)^{2}-5(x+3)=-6$.
答案
(1)
对于方程$2x^{2}-4\sqrt {3}x + 3 = 0$，
其中$a = 2$，$b=-4\sqrt{3}$，$c = 3$，
$\Delta=b^{2}-4ac=(-4\sqrt{3})^{2}-4×2×3$
$=48 - 24=24$
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$可得：
$x=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{24}}{2×2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{6}}{4}=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{6}}{2}$
即$x_{1}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}$，$x_{2}=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2}$。
(2)
对于方程$x^{2}-6x - 91 = 0$，
分解因式得$(x - 13)(x+7)=0$，
则$x - 13 = 0$或$x + 7 = 0$，
解得$x_{1}=13$，$x_{2}=-7$。
(3)
对于方程$4x(x - 2)=x - 2$，
移项得$4x(x - 2)-(x - 2)=0$，
分解因式得$(x - 2)(4x - 1)=0$，
则$x - 2 = 0$或$4x - 1 = 0$，
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{1}{4}$。
(4)
对于方程$(x + 3)^{2}-5(x + 3)=-6$，
设$y=x + 3$，则原方程化为$y^{2}-5y+6 = 0$，
分解因式得$(y - 2)(y - 3)=0$，
则$y - 2 = 0$或$y - 3 = 0$，
解得$y_{1}=2$，$y_{2}=3$，
当$y = 2$时，$x+3=2$，$x=-1$；
当$y = 3$时，$x+3=3$，$x=0$。
所以$x_{1}=-1$，$x_{2}=0$。
对于方程$2x^{2}-4\sqrt {3}x + 3 = 0$，
其中$a = 2$，$b=-4\sqrt{3}$，$c = 3$，
$\Delta=b^{2}-4ac=(-4\sqrt{3})^{2}-4×2×3$
$=48 - 24=24$
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$可得：
$x=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{24}}{2×2}=\frac{4\sqrt{3}\pm2\sqrt{6}}{4}=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{6}}{2}$
即$x_{1}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}$，$x_{2}=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2}$。
(2)
对于方程$x^{2}-6x - 91 = 0$，
分解因式得$(x - 13)(x+7)=0$，
则$x - 13 = 0$或$x + 7 = 0$，
解得$x_{1}=13$，$x_{2}=-7$。
(3)
对于方程$4x(x - 2)=x - 2$，
移项得$4x(x - 2)-(x - 2)=0$，
分解因式得$(x - 2)(4x - 1)=0$，
则$x - 2 = 0$或$4x - 1 = 0$，
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{1}{4}$。
(4)
对于方程$(x + 3)^{2}-5(x + 3)=-6$，
设$y=x + 3$，则原方程化为$y^{2}-5y+6 = 0$，
分解因式得$(y - 2)(y - 3)=0$，
则$y - 2 = 0$或$y - 3 = 0$，
解得$y_{1}=2$，$y_{2}=3$，
当$y = 2$时，$x+3=2$，$x=-1$；
当$y = 3$时，$x+3=3$，$x=0$。
所以$x_{1}=-1$，$x_{2}=0$。
