登录
8. 如图，在直角坐标系中，P(a,b)是△ABC内任意一点。将点P平移到点P₁(a−2,b+3)，△ABC作同样的平移，得到△A₁B₁C₁。
（1）求点A₁，B₁，C₁的坐标。
（2）指出这一平移的方向和距离。
（1）求点A₁，B₁，C₁的坐标。
（2）指出这一平移的方向和距离。
答案
(1) $A_1(-1,4),B_1(-3,2),C_1(2,1)$。
(2) $△ ABC$平移得到$△ A_1B_1C_1$,平移的方向是先向左平移2个单位,再向上平移3个单位(或由 A 到 $A_1$ 的方向),平移的距离是$\sqrt{13}$。
(2) $△ ABC$平移得到$△ A_1B_1C_1$,平移的方向是先向左平移2个单位,再向上平移3个单位(或由 A 到 $A_1$ 的方向),平移的距离是$\sqrt{13}$。
解析
【分析】
首先我们需要先从平面直角坐标系中读出△ABC三个顶点A、B、C的原始坐标，再根据点P(a,b)平移到P₁(a−2,b+3)的规律，得出本次平移的坐标变化规则：横坐标减2，纵坐标加3，将三个顶点的原始坐标按该规则计算即可得到平移后的坐标。对于平移方向和距离，根据坐标变化可知水平和竖直方向的平移量，方向由坐标变化判断，距离用勾股定理计算水平、竖直平移量构成的直角三角形的斜边长即可。
【解析】
（1）首先观察坐标系，可得原△ABC三个顶点的坐标为：$A(1,1)$，$B(-1,-1)$，$C(4,-2)$。
由点$P(a,b)$平移到$P_1(a-2,b+3)$可知，平移规则为：横坐标减去2，纵坐标加上3。
因此各点平移后的坐标为：
$A_1$的坐标：$(1-2,1+3)=(-1,4)$
$B_1$的坐标：$(-1-2,-1+3)=(-3,2)$
$C_1$的坐标：$(4-2,-2+3)=(2,1)$
（2）平移方向：根据坐标变化规则，本次平移是先向左平移2个单位，再向上平移3个单位（或沿点A到点$A_1$的方向）。
平移距离：水平平移量为2，竖直平移量为3，由勾股定理得平移距离为$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$个单位长度。
【答案】
(1) $A_1(-1,4),B_1(-3,2),C_1(2,1)$
(2) 平移方向是先向左平移2个单位，再向上平移3个单位（或由A到$A_1$的方向），平移的距离是$\sqrt{13}$个单位长度。
【知识点】
坐标平移规律、平移的性质、勾股定理
【点评】
本题考查坐标平面内图形的平移相关知识，解题关键是准确掌握平移前后点的坐标变化规律，结合坐标系识别原始点坐标，再结合勾股定理计算平移距离，属于基础题型，核心是对平移性质的理解应用。
【难度系数】
0.8
首先我们需要先从平面直角坐标系中读出△ABC三个顶点A、B、C的原始坐标，再根据点P(a,b)平移到P₁(a−2,b+3)的规律，得出本次平移的坐标变化规则：横坐标减2，纵坐标加3，将三个顶点的原始坐标按该规则计算即可得到平移后的坐标。对于平移方向和距离，根据坐标变化可知水平和竖直方向的平移量，方向由坐标变化判断，距离用勾股定理计算水平、竖直平移量构成的直角三角形的斜边长即可。
【解析】
（1）首先观察坐标系，可得原△ABC三个顶点的坐标为：$A(1,1)$，$B(-1,-1)$，$C(4,-2)$。
由点$P(a,b)$平移到$P_1(a-2,b+3)$可知，平移规则为：横坐标减去2，纵坐标加上3。
因此各点平移后的坐标为：
$A_1$的坐标：$(1-2,1+3)=(-1,4)$
$B_1$的坐标：$(-1-2,-1+3)=(-3,2)$
$C_1$的坐标：$(4-2,-2+3)=(2,1)$
（2）平移方向：根据坐标变化规则，本次平移是先向左平移2个单位，再向上平移3个单位（或沿点A到点$A_1$的方向）。
平移距离：水平平移量为2，竖直平移量为3，由勾股定理得平移距离为$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$个单位长度。
【答案】
(1) $A_1(-1,4),B_1(-3,2),C_1(2,1)$
(2) 平移方向是先向左平移2个单位，再向上平移3个单位（或由A到$A_1$的方向），平移的距离是$\sqrt{13}$个单位长度。
【知识点】
坐标平移规律、平移的性质、勾股定理
【点评】
本题考查坐标平面内图形的平移相关知识，解题关键是准确掌握平移前后点的坐标变化规律，结合坐标系识别原始点坐标，再结合勾股定理计算平移距离，属于基础题型，核心是对平移性质的理解应用。
【难度系数】
0.8
9. 在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标分别为A(2,5),B(6,-2),点P(m,n)为线段AB上的一点。若平移AB使其两个端点都在坐标轴上，求平移后点P的坐标。
答案
$(m-6,n-5)$或$(m-2,n+2)$。
解析
【分析】
根据平移的性质，图形平移时所有点的横坐标变化量相同，纵坐标变化量相同。要使平移后A、B两点都在坐标轴上，需分两种情况讨论：①平移后点A落在y轴（y轴上点的横坐标为0），点B落在x轴（x轴上点的纵坐标为0）；②平移后点A落在x轴，点B落在y轴。分别求出两种情况对应的横、纵坐标平移量，再代入点P的坐标计算即可。
【解析】
设线段AB平移时，所有点的横坐标加a，纵坐标加b（a、b为常数），则平移后点A的坐标为$(2+a,5+b)$，点B的坐标为$(6+a,-2+b)$，分两种情况计算：
1. 若平移后A在y轴上，B在x轴上：
由y轴上点横坐标为0，x轴上点纵坐标为0，列方程组：
$\begin{cases}2+a=0 \\ -2+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-2 \\ b=2\end{cases}$
即平移规律为横坐标减2，纵坐标加2，因此点P平移后的坐标为$(m-2,n+2)$。
2. 若平移后A在x轴上，B在y轴上：
同理列方程组：
$\begin{cases}5+b=0 \\ 6+a=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-6 \\ b=-5\end{cases}$
即平移规律为横坐标减6，纵坐标减5，因此点P平移后的坐标为$(m-6,n-5)$。
【答案】
$(m-6,n-5)$或$(m-2,n+2)$
【知识点】
坐标与图形变化-平移；坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题考查平移的性质和坐标轴上点的坐标特点，解题的关键是明确平移时图形上所有点的坐标变化量一致，同时注意分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
根据平移的性质，图形平移时所有点的横坐标变化量相同，纵坐标变化量相同。要使平移后A、B两点都在坐标轴上，需分两种情况讨论：①平移后点A落在y轴（y轴上点的横坐标为0），点B落在x轴（x轴上点的纵坐标为0）；②平移后点A落在x轴，点B落在y轴。分别求出两种情况对应的横、纵坐标平移量，再代入点P的坐标计算即可。
【解析】
设线段AB平移时，所有点的横坐标加a，纵坐标加b（a、b为常数），则平移后点A的坐标为$(2+a,5+b)$，点B的坐标为$(6+a,-2+b)$，分两种情况计算：
1. 若平移后A在y轴上，B在x轴上：
由y轴上点横坐标为0，x轴上点纵坐标为0，列方程组：
$\begin{cases}2+a=0 \\ -2+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-2 \\ b=2\end{cases}$
即平移规律为横坐标减2，纵坐标加2，因此点P平移后的坐标为$(m-2,n+2)$。
2. 若平移后A在x轴上，B在y轴上：
同理列方程组：
$\begin{cases}5+b=0 \\ 6+a=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-6 \\ b=-5\end{cases}$
即平移规律为横坐标减6，纵坐标减5，因此点P平移后的坐标为$(m-6,n-5)$。
【答案】
$(m-6,n-5)$或$(m-2,n+2)$
【知识点】
坐标与图形变化-平移；坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题考查平移的性质和坐标轴上点的坐标特点，解题的关键是明确平移时图形上所有点的坐标变化量一致，同时注意分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
