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7.如图，图中共有
6
个三角形，以AD为边的三角形有3
个，以∠C为一个内角的三角形有3
个；若$△ ABC$与$△ AED$都是锐角三角形，则图中共有2
个钝角三角形。答案
7.6 3 3 2
解析
【分析】
解决这道题可分步骤思考：1.数三角形总数时，可利用“底边上线段数量等于对应三角形数量”的规律，BC上有多少条不同线段，就对应多少个以A为顶点的三角形；2.找以AD为边的三角形，直接筛选所有包含AD边的三角形即可；3.找以∠C为内角的三角形，筛选顶点含C且以∠C为内角的三角形；4.求钝角三角形数量时，结合平角为180°的性质，锐角的邻补角是钝角，再根据已知△ABC和△AED是锐角三角形，判断含钝角的三角形即可。
【解析】
1. 计算总三角形个数：BC上的线段有BD、BE、BC、DE、DC、EC，共6条，对应三角形分别为$△ ABD$、$△ ABE$、$△ ABC$、$△ ADE$、$△ ADC$、$△ AEC$，因此总共有6个三角形。
2. 计算以AD为边的三角形个数：在上述三角形中，包含AD边的有$△ ABD$、$△ ADE$、$△ ADC$，共3个。
3. 计算以∠C为内角的三角形个数：包含∠C的三角形有$△ ABC$、$△ ADC$、$△ AEC$，共3个。
4. 计算钝角三角形个数：已知$△ ABC$和$△ AED$都是锐角三角形，因此$∠ ADE$、$∠ AED$均为锐角，它们的邻补角$∠ ADB=180°-∠ ADE＞90°$、$∠ AEB=180°-∠ AED＞90°$，都是钝角，对应$△ ABD$、$△ ABE$为钝角三角形，共2个。
【答案】
6；3；3；2
【知识点】
三角形的计数；三角形的相关概念；三角形的分类
【点评】
本题属于三角形基础概念考查题，掌握有序计数三角形的方法，熟悉三角形的边、内角定义，以及三角形按角分类的标准，即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解决这道题可分步骤思考：1.数三角形总数时，可利用“底边上线段数量等于对应三角形数量”的规律，BC上有多少条不同线段，就对应多少个以A为顶点的三角形；2.找以AD为边的三角形，直接筛选所有包含AD边的三角形即可；3.找以∠C为内角的三角形，筛选顶点含C且以∠C为内角的三角形；4.求钝角三角形数量时，结合平角为180°的性质，锐角的邻补角是钝角，再根据已知△ABC和△AED是锐角三角形，判断含钝角的三角形即可。
【解析】
1. 计算总三角形个数：BC上的线段有BD、BE、BC、DE、DC、EC，共6条，对应三角形分别为$△ ABD$、$△ ABE$、$△ ABC$、$△ ADE$、$△ ADC$、$△ AEC$，因此总共有6个三角形。
2. 计算以AD为边的三角形个数：在上述三角形中，包含AD边的有$△ ABD$、$△ ADE$、$△ ADC$，共3个。
3. 计算以∠C为内角的三角形个数：包含∠C的三角形有$△ ABC$、$△ ADC$、$△ AEC$，共3个。
4. 计算钝角三角形个数：已知$△ ABC$和$△ AED$都是锐角三角形，因此$∠ ADE$、$∠ AED$均为锐角，它们的邻补角$∠ ADB=180°-∠ ADE＞90°$、$∠ AEB=180°-∠ AED＞90°$，都是钝角，对应$△ ABD$、$△ ABE$为钝角三角形，共2个。
【答案】
6；3；3；2
【知识点】
三角形的计数；三角形的相关概念；三角形的分类
【点评】
本题属于三角形基础概念考查题，掌握有序计数三角形的方法，熟悉三角形的边、内角定义，以及三角形按角分类的标准，即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
8.如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC$为直角,$AD⊥ BC$,垂足为$D$,点$E$在$BD$上.
(1)图中的锐角三角形是
(2)写出以点$C$为顶点的三角形.
(3)写出以$AE$为边的三角形.
(4)若$AE=BE=CE=AC$,写出图中的等腰三角形和等边三角形.
(1)图中的锐角三角形是
△AEC
,钝角三角形是△AEB
.(2)写出以点$C$为顶点的三角形.
(3)写出以$AE$为边的三角形.
(4)若$AE=BE=CE=AC$,写出图中的等腰三角形和等边三角形.
答案
8.(1)$△AEC$ $△AEB$
(2)$△ADC,△AEC,△ABC.$
(3)$△ABE,△AED,△AEC.$
(4)等腰三角形有$△ABE,△AEC$;等边三角形有$△AEC.$
(2)$△ADC,△AEC,△ABC.$
(3)$△ABE,△AED,△AEC.$
(4)等腰三角形有$△ABE,△AEC$;等边三角形有$△AEC.$
解析
【分析】
本题考查三角形的基础概念相关问题，解题思路如下：
（1）先回忆三角形按角分类的定义：锐角三角形三个角都是锐角，钝角三角形有一个角是钝角。先排除图中的直角三角形（由∠BAC为直角、AD⊥BC可得多个直角三角形），再判断剩余三角形的角的类型即可。
（2）找以C为顶点的三角形，只需列举所有顶点包含点C的三角形即可，注意有序列举不要漏数。
（3）找以AE为边的三角形，即列举所有同时包含顶点A、E的三角形即可。
（4）回忆等腰、等边三角形的判定：有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，结合已知AE=BE=CE=AC逐一判断即可。
【解析】
（1）首先判断图中三角形的类型：
已知∠BAC=90°，故△ABC是直角三角形；AD⊥BC，故△ABD、△ACD、△AED均为直角三角形。
△AEC中，由AE=CE=AC可知它是等边三角形，三个内角均为60°，都是锐角，属于锐角三角形；
△ABE中，∠AEB与等边△AEC的内角∠AEC互为邻补角，故∠AEB=180°-60°=120°，是钝角，属于钝角三角形。
（2）以C为顶点的三角形，即三个顶点包含C的三角形，分别为：△ADC、△AEC、△ABC。
（3）以AE为边的三角形，即同时包含顶点A、E的三角形，分别为：△ABE、△AED、△AEC。
（4）根据等腰三角形“有两边相等的三角形为等腰三角形”的判定：
因为AE=BE，所以△ABE是等腰三角形；因为AE=CE=AC，所以△AEC是等腰三角形。
根据等边三角形“三边均相等的三角形为等边三角形”的判定，仅△AEC满足AE=CE=AC，故△AEC是等边三角形。
【答案】
(1)$△AEC$；$△AEB$
(2)$△ADC,△AEC,△ABC$
(3)$△ABE,△AED,△AEC$
(4)等腰三角形有$△ABE,△AEC$；等边三角形有$△AEC$
【知识点】
三角形的分类；三角形的相关概念；等腰（等边）三角形判定
【点评】
本题是三角形基础概念的综合考查题，解题时需要按照定义逐一排查、有序列举，避免出现漏解或多解的错误，掌握基础概念是解题的核心。
【难度系数】
0.8
本题考查三角形的基础概念相关问题，解题思路如下：
（1）先回忆三角形按角分类的定义：锐角三角形三个角都是锐角，钝角三角形有一个角是钝角。先排除图中的直角三角形（由∠BAC为直角、AD⊥BC可得多个直角三角形），再判断剩余三角形的角的类型即可。
（2）找以C为顶点的三角形，只需列举所有顶点包含点C的三角形即可，注意有序列举不要漏数。
（3）找以AE为边的三角形，即列举所有同时包含顶点A、E的三角形即可。
（4）回忆等腰、等边三角形的判定：有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，结合已知AE=BE=CE=AC逐一判断即可。
【解析】
（1）首先判断图中三角形的类型：
已知∠BAC=90°，故△ABC是直角三角形；AD⊥BC，故△ABD、△ACD、△AED均为直角三角形。
△AEC中，由AE=CE=AC可知它是等边三角形，三个内角均为60°，都是锐角，属于锐角三角形；
△ABE中，∠AEB与等边△AEC的内角∠AEC互为邻补角，故∠AEB=180°-60°=120°，是钝角，属于钝角三角形。
（2）以C为顶点的三角形，即三个顶点包含C的三角形，分别为：△ADC、△AEC、△ABC。
（3）以AE为边的三角形，即同时包含顶点A、E的三角形，分别为：△ABE、△AED、△AEC。
（4）根据等腰三角形“有两边相等的三角形为等腰三角形”的判定：
因为AE=BE，所以△ABE是等腰三角形；因为AE=CE=AC，所以△AEC是等腰三角形。
根据等边三角形“三边均相等的三角形为等边三角形”的判定，仅△AEC满足AE=CE=AC，故△AEC是等边三角形。
【答案】
(1)$△AEC$；$△AEB$
(2)$△ADC,△AEC,△ABC$
(3)$△ABE,△AED,△AEC$
(4)等腰三角形有$△ABE,△AEC$；等边三角形有$△AEC$
【知识点】
三角形的分类；三角形的相关概念；等腰（等边）三角形判定
【点评】
本题是三角形基础概念的综合考查题，解题时需要按照定义逐一排查、有序列举，避免出现漏解或多解的错误，掌握基础概念是解题的核心。
【难度系数】
0.8
9.下列说法正确的是(
A.直角三角形一定不是等腰三角形
B.等腰三角形一定不是锐角三角形
C.等边三角形一定是等腰三角形
D.等腰三角形一定是等边三角形
C
).A.直角三角形一定不是等腰三角形
B.等腰三角形一定不是锐角三角形
C.等边三角形一定是等腰三角形
D.等腰三角形一定是等边三角形
答案
9.C
解析
【分析】
这是一道三角形分类的概念辨析题，解题思路如下：第一步先明确等腰三角形、等边三角形、按角分类的各类三角形的定义；第二步逐一分析每个选项的表述是否符合对应三角形的定义和从属关系，排除错误选项即可锁定正确答案。
【解析】
首先明确相关三角形的定义：
1. 等腰三角形：至少有两条边相等的三角形；
2. 等边三角形：三条边全部相等的三角形；
3. 直角三角形：有一个内角为直角的三角形；
4. 锐角三角形：三个内角均为锐角的三角形。
逐一分析选项：
A. 存在等腰直角三角形，既是直角三角形也是等腰三角形，该说法错误；
B. 当等腰三角形的顶角为锐角、两个底角也为锐角时（例如顶角为80°，两个底角均为50°），就是锐角等腰三角形，该说法错误；
C. 等边三角形三条边都相等，满足等腰三角形“至少两条边相等”的要求，因此等边三角形一定是等腰三角形，该说法正确；
D. 只有两条边相等的等腰三角形不是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，并非所有等腰三角形都是等边三角形，该说法错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形的分类；等腰三角形的定义；等边三角形的定义
【点评】
本题重点考查不同类型三角形的定义和从属关系，解题的核心是准确掌握各类三角形的特征，注意“等边三角形属于特殊的等腰三角形”、按边分类和按角分类的三角形不存在互斥关系这两个易错点。
【难度系数】
0.9
这是一道三角形分类的概念辨析题，解题思路如下：第一步先明确等腰三角形、等边三角形、按角分类的各类三角形的定义；第二步逐一分析每个选项的表述是否符合对应三角形的定义和从属关系，排除错误选项即可锁定正确答案。
【解析】
首先明确相关三角形的定义：
1. 等腰三角形：至少有两条边相等的三角形；
2. 等边三角形：三条边全部相等的三角形；
3. 直角三角形：有一个内角为直角的三角形；
4. 锐角三角形：三个内角均为锐角的三角形。
逐一分析选项：
A. 存在等腰直角三角形，既是直角三角形也是等腰三角形，该说法错误；
B. 当等腰三角形的顶角为锐角、两个底角也为锐角时（例如顶角为80°，两个底角均为50°），就是锐角等腰三角形，该说法错误；
C. 等边三角形三条边都相等，满足等腰三角形“至少两条边相等”的要求，因此等边三角形一定是等腰三角形，该说法正确；
D. 只有两条边相等的等腰三角形不是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，并非所有等腰三角形都是等边三角形，该说法错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形的分类；等腰三角形的定义；等边三角形的定义
【点评】
本题重点考查不同类型三角形的定义和从属关系，解题的核心是准确掌握各类三角形的特征，注意“等边三角形属于特殊的等腰三角形”、按边分类和按角分类的三角形不存在互斥关系这两个易错点。
【难度系数】
0.9
10.如图，图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中的中间小三角形三边的中点，得到图③.按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形的个数的规律，解答下面的问题.
(1)将下表填写完整：
图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ …
三角形个数 1 5 9
(2)在第n个图形中有
(1)将下表填写完整：
图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ …
三角形个数 1 5 9
13
17
…(2)在第n个图形中有
$4n-3$
个三角形(可用含n的代数式表示).答案
10.(1)13 17
(2)$4n-3$
(2)$4n-3$
解析
【分析】
解题时先观察已知图形的三角形个数：图①有1个，图②有5个，图③有9个，可发现每往后一个图形，三角形个数比前一个多4。
(1) 求图④、图⑤的个数时，直接在前一个图形的三角形个数基础上加4即可；
(2) 推导第n个图形的三角形个数时，我们可以将每个图形的个数和对应编号关联，写出统一的表达形式，即可归纳出含n的代数式。
【解析】
(1) 观察已知的三角形个数：
图①：1个；图②：5个；图③：9个
可得规律：相邻两个图形，后一个的三角形个数比前一个多4
因此图④的三角形个数为：$9 + 4 = 13$
图⑤的三角形个数为：$13 + 4 = 17$
(2) 将图形编号与对应三角形个数整理如下：
当$n=1$时，个数为$1 = 4×1 - 3$
当$n=2$时，个数为$5 = 4×2 - 3$
当$n=3$时，个数为$9 = 4×3 - 3$
当$n=4$时，个数为$13 = 4×4 - 3$
以此类推，第$n$个图形中三角形的个数为$4n-3$
【答案】
(1) $\boxed{13}$；$\boxed{17}$
(2) $\boxed{4n-3}$
【知识点】
图形规律探究；列代数式；整式化简
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题关键是通过对比相邻图形的数量变化找到固定增量，再用从特殊到一般的归纳思维推导通用表达式，掌握归纳法就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知图形的三角形个数：图①有1个，图②有5个，图③有9个，可发现每往后一个图形，三角形个数比前一个多4。
(1) 求图④、图⑤的个数时，直接在前一个图形的三角形个数基础上加4即可；
(2) 推导第n个图形的三角形个数时，我们可以将每个图形的个数和对应编号关联，写出统一的表达形式，即可归纳出含n的代数式。
【解析】
(1) 观察已知的三角形个数：
图①：1个；图②：5个；图③：9个
可得规律：相邻两个图形，后一个的三角形个数比前一个多4
因此图④的三角形个数为：$9 + 4 = 13$
图⑤的三角形个数为：$13 + 4 = 17$
(2) 将图形编号与对应三角形个数整理如下：
当$n=1$时，个数为$1 = 4×1 - 3$
当$n=2$时，个数为$5 = 4×2 - 3$
当$n=3$时，个数为$9 = 4×3 - 3$
当$n=4$时，个数为$13 = 4×4 - 3$
以此类推，第$n$个图形中三角形的个数为$4n-3$
【答案】
(1) $\boxed{13}$；$\boxed{17}$
(2) $\boxed{4n-3}$
【知识点】
图形规律探究；列代数式；整式化简
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题关键是通过对比相邻图形的数量变化找到固定增量，再用从特殊到一般的归纳思维推导通用表达式，掌握归纳法就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
11.如图是由小正方形组成的$4×3$的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，点$A,B,C,D,E$均在格点上，请按要求完成画图并回答下面的问题.
(1)以$BD$为边连接其他任意一点可以得到的三角形有________个，其中等腰三角形是________.
(2)以点$A,B,C,D,E$中的任意三点作为三角形的顶点，可以画________个三角形，其中等腰三角形是________.
(1)以$BD$为边连接其他任意一点可以得到的三角形有________个，其中等腰三角形是________.
(2)以点$A,B,C,D,E$中的任意三点作为三角形的顶点，可以画________个三角形，其中等腰三角形是________.
答案
11.(1)3 $△BDE,△BDC$
(2)10 $△ABE,△BDE,△BEC,△BDC$
(2)10 $△ABE,△BDE,△BEC,△BDC$
解析
【分析】
解决本题首先明确三角形的构成条件：不在同一直线上的三点可以构成三角形；等腰三角形的判定条件：有两边相等的三角形是等腰三角形。解题时可先设每个小正方形边长为1，通过勾股定理计算各条线段的长度，再按要求计数、判定即可。
第一问：以BD为边，只需从剩余的A、C、E三个点中选第三个点，判断三个点是否与B、D共线，再分别计算对应三角形的边长，找出等腰三角形。
第二问：先计算5个点任取3个的总组合数，排除三点共线的情况得到三角形总个数，再逐一计算每个三角形的边长，找出所有等腰三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各线段长度：
(1) 以BD为边时，第三个点可选A、C、E，三个点均不与B、D共线，因此共可得到3个三角形。
计算各边长度：
BD的横、纵向格数差分别为1、2，故$BD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
△BDE中，BE的横、纵向格数差分别为1、2，$BE=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，故BE=BD，△BDE是等腰三角形；
△BDC中，BC的横、纵向格数差分别为2、1，$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，故BC=BD，△BDC是等腰三角形；
△BDA无相等边长，不是等腰三角形。
(2) 从5个点中任选3个点，总共有$\mathrm{C}_5^3=10$种组合，经检验所有组合均不存在三点共线的情况，因此可以画10个三角形。
逐一判定等腰三角形：
①△ABE中，AE、BE长度均为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，AE=BE，是等腰三角形；
②△BDE、△BDC已证是等腰三角形；
③△BEC中，BE、BC长度均为$\sqrt{5}$，BE=BC，是等腰三角形；
其余三角形均无相等两边，不是等腰三角形。
【答案】
(1)3；$△ BDE,△ BDC$
(2)10；$△ ABE,△ BDE,△ BEC,△ BDC$
【知识点】
三角形的定义；等腰三角形的判定；勾股定理的应用
【点评】
本题结合网格考查三角形的计数和等腰三角形的判定，解题时可借助格点的横纵差用勾股定理快速计算线段长度，计数时注意不要漏算或多算共线的情况，判定等腰时要逐一验证，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先明确三角形的构成条件：不在同一直线上的三点可以构成三角形；等腰三角形的判定条件：有两边相等的三角形是等腰三角形。解题时可先设每个小正方形边长为1，通过勾股定理计算各条线段的长度，再按要求计数、判定即可。
第一问：以BD为边，只需从剩余的A、C、E三个点中选第三个点，判断三个点是否与B、D共线，再分别计算对应三角形的边长，找出等腰三角形。
第二问：先计算5个点任取3个的总组合数，排除三点共线的情况得到三角形总个数，再逐一计算每个三角形的边长，找出所有等腰三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各线段长度：
(1) 以BD为边时，第三个点可选A、C、E，三个点均不与B、D共线，因此共可得到3个三角形。
计算各边长度：
BD的横、纵向格数差分别为1、2，故$BD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
△BDE中，BE的横、纵向格数差分别为1、2，$BE=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，故BE=BD，△BDE是等腰三角形；
△BDC中，BC的横、纵向格数差分别为2、1，$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，故BC=BD，△BDC是等腰三角形；
△BDA无相等边长，不是等腰三角形。
(2) 从5个点中任选3个点，总共有$\mathrm{C}_5^3=10$种组合，经检验所有组合均不存在三点共线的情况，因此可以画10个三角形。
逐一判定等腰三角形：
①△ABE中，AE、BE长度均为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，AE=BE，是等腰三角形；
②△BDE、△BDC已证是等腰三角形；
③△BEC中，BE、BC长度均为$\sqrt{5}$，BE=BC，是等腰三角形；
其余三角形均无相等两边，不是等腰三角形。
【答案】
(1)3；$△ BDE,△ BDC$
(2)10；$△ ABE,△ BDE,△ BEC,△ BDC$
【知识点】
三角形的定义；等腰三角形的判定；勾股定理的应用
【点评】
本题结合网格考查三角形的计数和等腰三角形的判定，解题时可借助格点的横纵差用勾股定理快速计算线段长度，计数时注意不要漏算或多算共线的情况，判定等腰时要逐一验证，避免漏解。
【难度系数】
0.7
