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5.如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN.若MN=2,则OM=()
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
C
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：PM=PN说明△PMN是等腰三角形，可优先考虑等腰三角形三线合一的性质作辅助线；同时已知∠AOB=60°，可构造含30°角的直角三角形，利用其特殊边长关系计算。第一步过P作OB的垂线，既可以用三线合一得到MN一半的长度，又能得到含60°的直角三角形，分别计算相关线段长度后相减即可得到OM的长。
【解析】
过点P作PH⊥OB于点H。
∵ PM=PN，PH⊥MN，根据等腰三角形“三线合一”的性质，
∴ MH = NH = $\frac{1}{2}$MN = $\frac{1}{2}×2=1$。
在Rt△OPH中，∠OHP=90°，∠AOB=60°，
∴ ∠OPH = 90° - 60° = 30°，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
OH = $\frac{1}{2}$OP = $\frac{1}{2}×12=6$。
∴ OM = OH - MH = 6 - 1 = 5。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，通过作高的辅助线，将等腰三角形和直角三角形的性质结合使用即可求解，解题关键是合理构造辅助线，熟练运用特殊三角形的边长性质。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件：PM=PN说明△PMN是等腰三角形，可优先考虑等腰三角形三线合一的性质作辅助线；同时已知∠AOB=60°，可构造含30°角的直角三角形，利用其特殊边长关系计算。第一步过P作OB的垂线，既可以用三线合一得到MN一半的长度，又能得到含60°的直角三角形，分别计算相关线段长度后相减即可得到OM的长。
【解析】
过点P作PH⊥OB于点H。
∵ PM=PN，PH⊥MN，根据等腰三角形“三线合一”的性质，
∴ MH = NH = $\frac{1}{2}$MN = $\frac{1}{2}×2=1$。
在Rt△OPH中，∠OHP=90°，∠AOB=60°，
∴ ∠OPH = 90° - 60° = 30°，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
OH = $\frac{1}{2}$OP = $\frac{1}{2}×12=6$。
∴ OM = OH - MH = 6 - 1 = 5。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，通过作高的辅助线，将等腰三角形和直角三角形的性质结合使用即可求解，解题关键是合理构造辅助线，熟练运用特殊三角形的边长性质。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$∠ AOE = ∠ BOE = 15°$，$EF // OB$，$EC ⊥ OB$，若$EC=1$，则$EF$的值为()
A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$\frac{3}{2}$
D.$2$
A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$\frac{3}{2}$
D.$2$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：OE平分∠AOB，EC⊥OB，可联想角平分线的性质，通过作E到OA的垂线，得到E到OA的距离等于EC=1；再结合EF//OB的条件，利用平行线的性质推导得到与EF相关的含30°角的直角三角形，最后根据30°角直角三角形的性质求出EF的长度。
【解析】
解：过点E作EG⊥OA于点G。
1. 由∠AOE=∠BOE=15°，可知OE是∠AOB的角平分线，又EC⊥OB，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$EG=EC=1$。
2. 计算$∠ AOB=∠ AOE+∠ BOE=15°+15°=30°$。
3. 因为$EF// OB$，根据平行线的同位角相等，可得$∠ EFG=∠ AOB=30°$。
4. 在$Rt△ EFG$中，$∠ EGF=90°$，$∠ EFG=30°$，根据“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得$EF=2EG=2×1=2$。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是合理作出辅助线，将已知条件和待求线段关联，结合多个基础几何性质即可快速求解，有助于锻炼学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：OE平分∠AOB，EC⊥OB，可联想角平分线的性质，通过作E到OA的垂线，得到E到OA的距离等于EC=1；再结合EF//OB的条件，利用平行线的性质推导得到与EF相关的含30°角的直角三角形，最后根据30°角直角三角形的性质求出EF的长度。
【解析】
解：过点E作EG⊥OA于点G。
1. 由∠AOE=∠BOE=15°，可知OE是∠AOB的角平分线，又EC⊥OB，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$EG=EC=1$。
2. 计算$∠ AOB=∠ AOE+∠ BOE=15°+15°=30°$。
3. 因为$EF// OB$，根据平行线的同位角相等，可得$∠ EFG=∠ AOB=30°$。
4. 在$Rt△ EFG$中，$∠ EGF=90°$，$∠ EFG=30°$，根据“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得$EF=2EG=2×1=2$。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是合理作出辅助线，将已知条件和待求线段关联，结合多个基础几何性质即可快速求解，有助于锻炼学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
7.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ B=60°$,首先以顶点B为圆心,适当长为半径作弧,分别交BA,BC于点D,E;然后分别以点D,E为圆心,大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧,两弧在$∠ CBA$内交于点F;作射线BF交AC于点G.若$BG=8$,P为边AB上一动点,则GP的最小值为()
A.2
B.4
C.8
D.无法确定
A.2
B.4
C.8
D.无法确定
答案
B
解析
【分析】
首先根据尺规作图的特征判断出BG是∠ABC的角平分线；要找AB上动点P到G的最小距离，根据“垂线段最短”，可知当GP⊥AB时GP最小；再结合角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得此时GP的长度等于G到BC的距离GC；最后利用含30°角的直角三角形的性质求出GC的长度，即可得到GP的最小值。
【解析】
1. 由尺规作图步骤可知，BG平分∠ABC。
∵∠ABC=60°，
∴∠CBG=∠ABG=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°。
2. 根据“垂线段最短”，当GP⊥AB时，GP的长度最小。
3.
∵BG是∠ABC的角平分线，∠C=90°（即GC⊥BC），GP⊥AB，根据角平分线的性质，可得GP=GC。
4. 在Rt△BCG中，∠C=90°，∠CBG=30°，斜边BG=8，
∴GC=$\frac{1}{2}$BG=$\frac{1}{2}$×8=4，即GP的最小值为4。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的尺规作图，角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是先根据作图特征识别角平分线，再结合垂线段最短确定GP取最小值的情况，最后利用角平分线性质和直角三角形的性质计算线段长度，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
首先根据尺规作图的特征判断出BG是∠ABC的角平分线；要找AB上动点P到G的最小距离，根据“垂线段最短”，可知当GP⊥AB时GP最小；再结合角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得此时GP的长度等于G到BC的距离GC；最后利用含30°角的直角三角形的性质求出GC的长度，即可得到GP的最小值。
【解析】
1. 由尺规作图步骤可知，BG平分∠ABC。
∵∠ABC=60°，
∴∠CBG=∠ABG=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°。
2. 根据“垂线段最短”，当GP⊥AB时，GP的长度最小。
3.
∵BG是∠ABC的角平分线，∠C=90°（即GC⊥BC），GP⊥AB，根据角平分线的性质，可得GP=GC。
4. 在Rt△BCG中，∠C=90°，∠CBG=30°，斜边BG=8，
∴GC=$\frac{1}{2}$BG=$\frac{1}{2}$×8=4，即GP的最小值为4。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的尺规作图，角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是先根据作图特征识别角平分线，再结合垂线段最短确定GP取最小值的情况，最后利用角平分线性质和直角三角形的性质计算线段长度，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
8.如图,已知∠MON=30°,点A₁,A₂,A₃,…在射线ON上,点B₁,B₂,B₃,…在射线OM上,△A₁B₁B₂,△A₂B₂B₃,△A₃B₃B₄,…均为等边三角形.若OB₁=1,则△A₂₀₂₄B₂₀₂₄B₂₀₂₅的边长为() 
A.$2^{2022}$
B.$2^{2023}$
C.$2^{2024}$
D.$2^{2025}$
A.$2^{2022}$
B.$2^{2023}$
C.$2^{2024}$
D.$2^{2025}$
答案
B
解析
【分析】
本题属于图形规律探究题，解题思路如下：首先利用等边三角形的内角为60°，结合已知∠MON=30°，通过三角形外角性质推导得到等腰三角形，求出前几个等边三角形的边长；再观察边长的变化规律，总结出第n个等边三角形的边长公式；最后将n=2024代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵△A₁B₁B₂是等边三角形，
∴∠A₁B₁B₂=60°，A₁B₁=B₁B₂。
∵∠MON=30°，
∴∠OA₁B₁=∠A₁B₁B₂ - ∠MON=60°-30°=30°，
∴∠MON=∠OA₁B₁，
∴OB₁=A₁B₁=1，
∴B₁B₂=1，即△A₁B₁B₂的边长为1=2⁰；
∴OB₂=OB₁+B₁B₂=1+1=2，
∵△A₂B₂B₃是等边三角形，
∴∠A₂B₂B₃=60°，A₂B₂=B₂B₃，
∴∠OA₂B₂=∠A₂B₂B₃ - ∠MON=30°，
∴∠MON=∠OA₂B₂，
∴OB₂=A₂B₂=2，
∴B₂B₃=2，即△A₂B₂B₃的边长为2=2¹；
同理可得△A₃B₃B₄的边长为4=2²，
由此归纳规律：△AₙBₙBₙ₊₁的边长为2ⁿ⁻¹。
当n=2024时，△A₂₀₂₄B₂₀₂₄B₂₀₂₅的边长为2²⁰²⁴⁻¹=2²⁰²³。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的判定，图形规律探究
【点评】
本题考查等边三角形、等腰三角形性质的综合应用，核心是通过前几个图形的边长推导通用规律，解题时要注意指数和序号的对应关系，避免出现指数计算错误的问题，对归纳推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题属于图形规律探究题，解题思路如下：首先利用等边三角形的内角为60°，结合已知∠MON=30°，通过三角形外角性质推导得到等腰三角形，求出前几个等边三角形的边长；再观察边长的变化规律，总结出第n个等边三角形的边长公式；最后将n=2024代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵△A₁B₁B₂是等边三角形，
∴∠A₁B₁B₂=60°，A₁B₁=B₁B₂。
∵∠MON=30°，
∴∠OA₁B₁=∠A₁B₁B₂ - ∠MON=60°-30°=30°，
∴∠MON=∠OA₁B₁，
∴OB₁=A₁B₁=1，
∴B₁B₂=1，即△A₁B₁B₂的边长为1=2⁰；
∴OB₂=OB₁+B₁B₂=1+1=2，
∵△A₂B₂B₃是等边三角形，
∴∠A₂B₂B₃=60°，A₂B₂=B₂B₃，
∴∠OA₂B₂=∠A₂B₂B₃ - ∠MON=30°，
∴∠MON=∠OA₂B₂，
∴OB₂=A₂B₂=2，
∴B₂B₃=2，即△A₂B₂B₃的边长为2=2¹；
同理可得△A₃B₃B₄的边长为4=2²，
由此归纳规律：△AₙBₙBₙ₊₁的边长为2ⁿ⁻¹。
当n=2024时，△A₂₀₂₄B₂₀₂₄B₂₀₂₅的边长为2²⁰²⁴⁻¹=2²⁰²³。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的判定，图形规律探究
【点评】
本题考查等边三角形、等腰三角形性质的综合应用，核心是通过前几个图形的边长推导通用规律，解题时要注意指数和序号的对应关系，避免出现指数计算错误的问题，对归纳推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
9.如图,等边△ABC的边长为8,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC于点E,过点E作EF⊥AC于点F.若AD=2,求AF的长.
答案
解：
∵ 等边△ABC的边长为8，
∴ AB=BC=AC=8，∠B=∠C=60°。
∵ AD=2，
∴ BD=AB-AD=8-2=6。
∵ DE⊥BC，
∴ ∠DEB=90°，
∴ ∠BDE=90°-∠B=30°，
∴ BE=$\frac{1}{2}$BD=3，
∴ EC=BC-BE=8-3=5。
∵ EF⊥AC，
∴ ∠EFC=90°，
∴ ∠CEF=90°-∠C=30°，
∴ CF=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{5}{2}$，
∴ AF=AC-CF=8-$\frac{5}{2}$=$\frac{11}{2}$。
∵ 等边△ABC的边长为8，
∴ AB=BC=AC=8，∠B=∠C=60°。
∵ AD=2，
∴ BD=AB-AD=8-2=6。
∵ DE⊥BC，
∴ ∠DEB=90°，
∴ ∠BDE=90°-∠B=30°，
∴ BE=$\frac{1}{2}$BD=3，
∴ EC=BC-BE=8-3=5。
∵ EF⊥AC，
∴ ∠EFC=90°，
∴ ∠CEF=90°-∠C=30°，
∴ CF=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{5}{2}$，
∴ AF=AC-CF=8-$\frac{5}{2}$=$\frac{11}{2}$。
解析
【分析】
本题求解AF的长，可结合等边三角形性质和特殊直角三角形的边长关系逐步推导：首先利用等边三角形三边相等、内角均为60°的性质，先求出BD的长度；再根据DE⊥BC得到含30°角的Rt△BDE，用“30°角所对直角边是斜边的一半”求出BE的长度，进而得到EC的长度；同理根据EF⊥AC得到含30°角的Rt△EFC，求出CF的长度，最后用AC的长度减去CF的长度即可得到AF的长。
【解析】
∵ 等边△ABC的边长为8，
∴ AB=BC=AC=8，∠B=∠C=60°。
∵ AD=2，
∴ BD=AB-AD=8-2=6。
∵ DE⊥BC，
∴ ∠DEB=90°，
∴ ∠BDE=90°-∠B=30°，
∴ BE=$\frac{1}{2}$BD=3，
∴ EC=BC-BE=8-3=5。
∵ EF⊥AC，
∴ ∠EFC=90°，
∴ ∠CEF=90°-∠C=30°，
∴ CF=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{5}{2}$，
∴ AF=AC-CF=8-$\frac{5}{2}$=$\frac{11}{2}$。
【答案】
$\frac{11}{2}$
【知识点】
等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、线段和差计算
【点评】
本题是等边三角形与特殊直角三角形结合的常规基础题，解题关键是熟练掌握30°直角三角形的边长性质，按顺序推导相关线段长度即可，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.7
本题求解AF的长，可结合等边三角形性质和特殊直角三角形的边长关系逐步推导：首先利用等边三角形三边相等、内角均为60°的性质，先求出BD的长度；再根据DE⊥BC得到含30°角的Rt△BDE，用“30°角所对直角边是斜边的一半”求出BE的长度，进而得到EC的长度；同理根据EF⊥AC得到含30°角的Rt△EFC，求出CF的长度，最后用AC的长度减去CF的长度即可得到AF的长。
【解析】
∵ 等边△ABC的边长为8，
∴ AB=BC=AC=8，∠B=∠C=60°。
∵ AD=2，
∴ BD=AB-AD=8-2=6。
∵ DE⊥BC，
∴ ∠DEB=90°，
∴ ∠BDE=90°-∠B=30°，
∴ BE=$\frac{1}{2}$BD=3，
∴ EC=BC-BE=8-3=5。
∵ EF⊥AC，
∴ ∠EFC=90°，
∴ ∠CEF=90°-∠C=30°，
∴ CF=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{5}{2}$，
∴ AF=AC-CF=8-$\frac{5}{2}$=$\frac{11}{2}$。
【答案】
$\frac{11}{2}$
【知识点】
等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、线段和差计算
【点评】
本题是等边三角形与特殊直角三角形结合的常规基础题，解题关键是熟练掌握30°直角三角形的边长性质，按顺序推导相关线段长度即可，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.7
10. 如图，$△ ABC$ 为等边三角形，$AE = CD$，$AD$，$BE$ 相交于点 $P$，$BQ ⊥ AD$ 于点 $Q$。
(1)求证：$∠ BPQ=60°$；
(2)若 $PQ=3$，$PE=1$，求 $AD$ 的长。
(1)求证：$∠ BPQ=60°$；
(2)若 $PQ=3$，$PE=1$，求 $AD$ 的长。
答案
(1) 证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°。
在△ABE和△CAD中，
$\{\begin{array}{l}AB=CA \\∠BAE=∠C \\AE=CD\end{array} $
∴△ABE≌△CAD(SAS)。
∴∠ABE=∠CAD。
∵∠BPQ是△ABP的外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°。
(2) 解：
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°。
∵∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=90°-60°=30°。
∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ。
∵PQ=3，
∴BP=2×3=6。
∴BE=BP+PE=6+1=7。
由(1)知△ABE≌△CAD，
∴AD=BE=7。
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°。
在△ABE和△CAD中，
$\{\begin{array}{l}AB=CA \\∠BAE=∠C \\AE=CD\end{array} $
∴△ABE≌△CAD(SAS)。
∴∠ABE=∠CAD。
∵∠BPQ是△ABP的外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°。
(2) 解：
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°。
∵∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=90°-60°=30°。
∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ。
∵PQ=3，
∴BP=2×3=6。
∴BE=BP+PE=6+1=7。
由(1)知△ABE≌△CAD，
∴AD=BE=7。
解析
【分析】
(1) 要证明∠BPQ=60°，首先利用等边三角形的性质得到等边对等角、三边相等的结论，结合已知AE=CD，可通过SAS判定△ABE≌△CAD，得到对应角∠ABE=∠CAD；再利用三角形外角的性质，将∠BPQ转化为∠BAC，即可完成证明。
(2) 已知BQ⊥AD，结合(1)中得到的∠BPQ=60°，可得Rt△BPQ中∠PBQ=30°，利用“含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半”求出BP的长，进而求出BE的长，再结合全等三角形对应边相等的性质，即可得到AD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°。
在△ABE和△CAD中，
$\{\begin{array}{l}AB=CA \\∠BAE=∠C \\AE=CD\end{array} $
∴△ABE≌△CAD(SAS)。
∴∠ABE=∠CAD。
∵∠BPQ是△ABP的外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°。
(2) 解：
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°。
∵∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=90°-60°=30°。
∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ。
∵PQ=3，
∴BP=2×3=6。
∴BE=BP+PE=6+1=7。
由(1)知△ABE≌△CAD，
∴AD=BE=7。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $AD=7$
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形部分的经典综合题型，解题核心是先通过全等三角形得到角的等量关系，再结合三角形外角性质、特殊直角三角形的性质求解线段长度，考察的均为三角形模块的核心知识点。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠BPQ=60°，首先利用等边三角形的性质得到等边对等角、三边相等的结论，结合已知AE=CD，可通过SAS判定△ABE≌△CAD，得到对应角∠ABE=∠CAD；再利用三角形外角的性质，将∠BPQ转化为∠BAC，即可完成证明。
(2) 已知BQ⊥AD，结合(1)中得到的∠BPQ=60°，可得Rt△BPQ中∠PBQ=30°，利用“含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半”求出BP的长，进而求出BE的长，再结合全等三角形对应边相等的性质，即可得到AD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°。
在△ABE和△CAD中，
$\{\begin{array}{l}AB=CA \\∠BAE=∠C \\AE=CD\end{array} $
∴△ABE≌△CAD(SAS)。
∴∠ABE=∠CAD。
∵∠BPQ是△ABP的外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°。
(2) 解：
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°。
∵∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=90°-60°=30°。
∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ。
∵PQ=3，
∴BP=2×3=6。
∴BE=BP+PE=6+1=7。
由(1)知△ABE≌△CAD，
∴AD=BE=7。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $AD=7$
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形部分的经典综合题型，解题核心是先通过全等三角形得到角的等量关系，再结合三角形外角性质、特殊直角三角形的性质求解线段长度，考察的均为三角形模块的核心知识点。
【难度系数】
0.7
