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例1 把方程中的分数系数化为整数：
$\frac{1}{2}x=\frac{1}{3}(x+1)$。
【思路导析】方程两边乘以2和3的最小公倍数6.
【请你解答】
$\frac{1}{2}x=\frac{1}{3}(x+1)$。
【思路导析】方程两边乘以2和3的最小公倍数6.
【请你解答】
答案
解：
方程两边同时乘6，得
$3x = 2(x+1)$
去括号，得
$3x = 2x + 2$
移项，得
$3x - 2x = 2$
合并同类项，得
$x = 2$
方程两边同时乘6，得
$3x = 2(x+1)$
去括号，得
$3x = 2x + 2$
移项，得
$3x - 2x = 2$
合并同类项，得
$x = 2$
解析
【分析】要将含分数系数的一元一次方程化为整数系数方程，首先观察方程的分母为2和3，先求出二者的最小公倍数是6；再根据等式的性质，给方程左右两边同时乘6，即可消去分母转化为整数系数方程，之后按照去括号、移项、合并同类项的步骤依次求解即可。
【解析】
解：
方程两边同时乘6，得
$3x = 2(x+1)$
去括号，得
$3x = 2x + 2$
移项，得
$3x - 2x = 2$
合并同类项，得
$x = 2$
【答案】
$x=2$
【知识点】
等式的基本性质，解一元一次方程，去括号法则
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题，重点考查去分母转化分数系数为整数系数的方法，解题时需注意去分母时不要漏乘方程中的项，熟练掌握解一元一次方程的步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.9
【解析】
解：
方程两边同时乘6，得
$3x = 2(x+1)$
去括号，得
$3x = 2x + 2$
移项，得
$3x - 2x = 2$
合并同类项，得
$x = 2$
【答案】
$x=2$
【知识点】
等式的基本性质，解一元一次方程，去括号法则
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题，重点考查去分母转化分数系数为整数系数的方法，解题时需注意去分母时不要漏乘方程中的项，熟练掌握解一元一次方程的步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.9
例2 阅读填空：
解方程$\frac{3x - 4}{3} - \frac{x - 1}{4} = 1 - \frac{x - 1}{12}$。
解：①去分母，方程两边同乘以，得
$4(3x - 4) - 3(x - 1) =$ $-$ 。
②，得
$12x - 16 - 3x + 3 =$ 。
③，得
$12x - 3x +$ $=$ $+16 - 3$。
④，得
$=$ 。
⑤系数化为1，得
$x =$ 。
【思路导析】解一元一次方程一般要经历去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等5个步骤。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
解方程$\frac{3x - 4}{3} - \frac{x - 1}{4} = 1 - \frac{x - 1}{12}$。
解：①去分母，方程两边同乘以，得
$4(3x - 4) - 3(x - 1) =$ $-$ 。
②，得
$12x - 16 - 3x + 3 =$ 。
③，得
$12x - 3x +$ $=$ $+16 - 3$。
④，得
$=$ 。
⑤系数化为1，得
$x =$ 。
【思路导析】解一元一次方程一般要经历去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等5个步骤。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解:①去分母,方程两边同乘以$\boldsymbol{12}$,得
$4(3x - 4) - 3(x - 1) = \boldsymbol{12} - \boldsymbol{(x - 1)}$。
②$\boldsymbol{去括号}$,得
$12x - 16 - 3x + 3 = \boldsymbol{13 - x}$。
③$\boldsymbol{移项}$,得
$12x - 3x + \boldsymbol{x} = \boldsymbol{13} + 16 - 3$。
④$\boldsymbol{合并同类项}$,得
$\boldsymbol{10x} = \boldsymbol{26}$。
⑤系数化为1,得
$x = \boldsymbol{\dfrac{13}{5}}$。
$4(3x - 4) - 3(x - 1) = \boldsymbol{12} - \boldsymbol{(x - 1)}$。
②$\boldsymbol{去括号}$,得
$12x - 16 - 3x + 3 = \boldsymbol{13 - x}$。
③$\boldsymbol{移项}$,得
$12x - 3x + \boldsymbol{x} = \boldsymbol{13} + 16 - 3$。
④$\boldsymbol{合并同类项}$,得
$\boldsymbol{10x} = \boldsymbol{26}$。
⑤系数化为1,得
$x = \boldsymbol{\dfrac{13}{5}}$。
解析
【分析】
解题时按照一元一次方程的标准步骤逐步推导即可：第一步去分母，先找分母3、4、12的最小公倍数为12，注意方程两边每一项都要乘12，常数项1不能漏乘；第二步去括号，要注意括号前的符号，括号前是负号时括号内每一项都要变号；第三步移项，把含未知数的项移到方程左侧，常数项移到右侧，移项要变号；第四步合并同类项，将同类项的系数相加；最后系数化为1即可求出x的值，每一步严格遵守运算规则就能得到正确结果。
【解析】
① 去分母：3、4、12的最小公倍数是12，方程两边同乘12，根据等式的性质，每一项都要乘12，左边$\frac{3x-4}{3}×12=4(3x-4)$，$-\frac{x-1}{4}×12=-3(x-1)$，右边$1×12=12$，$-\frac{x-1}{12}×12=-(x-1)$，因此得$4(3x - 4) - 3(x - 1) = 12 - (x - 1)$。
② 去括号：按照去括号法则展开，左侧$4(3x-4)-3(x-1)=12x-16-3x+3$，右侧$12-(x-1)=12-x+1=13-x$，因此得$12x - 16 - 3x + 3 = 13 - x$。
③ 移项：将含x的项统一移到方程左侧，常数项移到方程右侧，移项要变号，右侧的$-x$移到左侧变为$+x$，左侧的$-16$、$+3$移到右侧变为$+16$、$-3$，因此得$12x - 3x + x = 13 + 16 - 3$。
④ 合并同类项：左侧同类项相加$12x-3x+x=10x$，右侧常数项计算$13+16-3=26$，因此得$10x=26$。
⑤ 系数化为1：方程两边同时除以10，得$x=\frac{26}{10}=\frac{13}{5}$。
【答案】
①$\boldsymbol{12}$；$\boldsymbol{12}$；$\boldsymbol{(x - 1)}$
②$\boldsymbol{去括号}$；$\boldsymbol{13 - x}$
③$\boldsymbol{移项}$；$\boldsymbol{x}$；$\boldsymbol{13}$
④$\boldsymbol{合并同类项}$；$\boldsymbol{10x}$；$\boldsymbol{26}$
⑤$\boldsymbol{\dfrac{13}{5}}$
【知识点】
解一元一次方程；等式的性质；去括号法则
【点评】
本题考查一元一次方程的基础解法，解题时需注意去分母时不要漏乘不含分母的项，去括号、移项时要注意符号的变化，熟练掌握标准解题步骤是答对本题的核心。
【难度系数】
0.8
解题时按照一元一次方程的标准步骤逐步推导即可：第一步去分母，先找分母3、4、12的最小公倍数为12，注意方程两边每一项都要乘12，常数项1不能漏乘；第二步去括号，要注意括号前的符号，括号前是负号时括号内每一项都要变号；第三步移项，把含未知数的项移到方程左侧，常数项移到右侧，移项要变号；第四步合并同类项，将同类项的系数相加；最后系数化为1即可求出x的值，每一步严格遵守运算规则就能得到正确结果。
【解析】
① 去分母：3、4、12的最小公倍数是12，方程两边同乘12，根据等式的性质，每一项都要乘12，左边$\frac{3x-4}{3}×12=4(3x-4)$，$-\frac{x-1}{4}×12=-3(x-1)$，右边$1×12=12$，$-\frac{x-1}{12}×12=-(x-1)$，因此得$4(3x - 4) - 3(x - 1) = 12 - (x - 1)$。
② 去括号：按照去括号法则展开，左侧$4(3x-4)-3(x-1)=12x-16-3x+3$，右侧$12-(x-1)=12-x+1=13-x$，因此得$12x - 16 - 3x + 3 = 13 - x$。
③ 移项：将含x的项统一移到方程左侧，常数项移到方程右侧，移项要变号，右侧的$-x$移到左侧变为$+x$，左侧的$-16$、$+3$移到右侧变为$+16$、$-3$，因此得$12x - 3x + x = 13 + 16 - 3$。
④ 合并同类项：左侧同类项相加$12x-3x+x=10x$，右侧常数项计算$13+16-3=26$，因此得$10x=26$。
⑤ 系数化为1：方程两边同时除以10，得$x=\frac{26}{10}=\frac{13}{5}$。
【答案】
①$\boldsymbol{12}$；$\boldsymbol{12}$；$\boldsymbol{(x - 1)}$
②$\boldsymbol{去括号}$；$\boldsymbol{13 - x}$
③$\boldsymbol{移项}$；$\boldsymbol{x}$；$\boldsymbol{13}$
④$\boldsymbol{合并同类项}$；$\boldsymbol{10x}$；$\boldsymbol{26}$
⑤$\boldsymbol{\dfrac{13}{5}}$
【知识点】
解一元一次方程；等式的性质；去括号法则
【点评】
本题考查一元一次方程的基础解法，解题时需注意去分母时不要漏乘不含分母的项，去括号、移项时要注意符号的变化，熟练掌握标准解题步骤是答对本题的核心。
【难度系数】
0.8
例3 有一些相同的房间需要粉刷，一天6名师傅去粉刷8个房间，结果有40 $\mathrm{m}^2$墙面没来得及粉刷；同样时间内6名徒弟除了粉刷了4个房间，还多粉刷了另外的40 $\mathrm{m}^2$墙面。每名师傅比徒弟每天多粉刷20 $\mathrm{m}^2$的墙面。
(1)求每个房间需要粉刷的墙面面积。
(2)求每名师傅和徒弟每天分别能粉刷的墙面面积。
(3)已知一名师傅一天的工钱比一名徒弟一天的工钱多40元，现有36间房需要粉刷，全部请徒弟粉刷与全部请师傅粉刷工钱一样，求一名徒弟一天的工钱是多少。
【规范解答】(1)设每个房间需要粉刷的墙面面积为$x \ \mathrm{m}^2$，则每名师傅每天能粉刷墙面面积为$\frac{8x - 40}{6} \ \mathrm{m}^2$，每名徒弟每天能粉刷墙面面积为$\frac{4x + 40}{6} \ \mathrm{m}^2$。根据题意，得$\frac{8x - 40}{6} = \frac{4x + 40}{6} + 20$，解得$x = 50$。
答：每个房间需要粉刷的墙面面积为50 $\mathrm{m}^2$。
(2)由(1)知，当$x = 50$时，
$\frac{8x - 40}{6} = 60$，$\frac{4x + 40}{6} = 40$。
答：每名师傅每天能粉刷的墙面面积为60 $\mathrm{m}^2$，每名徒弟每天能粉刷的墙面面积为40 $\mathrm{m}^2$。
(3)设一名徒弟一天的工钱是$y$元。根据题意，得$\frac{36×50}{60}(y + 40) = \frac{36×50}{40}y$，解得$y = 80$。
答：一名徒弟一天的工钱是80元。
(1)求每个房间需要粉刷的墙面面积。
(2)求每名师傅和徒弟每天分别能粉刷的墙面面积。
(3)已知一名师傅一天的工钱比一名徒弟一天的工钱多40元，现有36间房需要粉刷，全部请徒弟粉刷与全部请师傅粉刷工钱一样，求一名徒弟一天的工钱是多少。
【规范解答】(1)设每个房间需要粉刷的墙面面积为$x \ \mathrm{m}^2$，则每名师傅每天能粉刷墙面面积为$\frac{8x - 40}{6} \ \mathrm{m}^2$，每名徒弟每天能粉刷墙面面积为$\frac{4x + 40}{6} \ \mathrm{m}^2$。根据题意，得$\frac{8x - 40}{6} = \frac{4x + 40}{6} + 20$，解得$x = 50$。
答：每个房间需要粉刷的墙面面积为50 $\mathrm{m}^2$。
(2)由(1)知，当$x = 50$时，
$\frac{8x - 40}{6} = 60$，$\frac{4x + 40}{6} = 40$。
答：每名师傅每天能粉刷的墙面面积为60 $\mathrm{m}^2$，每名徒弟每天能粉刷的墙面面积为40 $\mathrm{m}^2$。
(3)设一名徒弟一天的工钱是$y$元。根据题意，得$\frac{36×50}{60}(y + 40) = \frac{36×50}{40}y$，解得$y = 80$。
答：一名徒弟一天的工钱是80元。
答案
解：(1)设每个房间需要粉刷的墙面面积为$x \ \mathrm{m}^2$，
则每名师傅每天能粉刷墙面面积为$\frac{8x - 40}{6} \ \mathrm{m}^2$，每名徒弟每天能粉刷墙面面积为$\frac{4x + 40}{6} \ \mathrm{m}^2$。
根据题意，得
$\frac{8x - 40}{6} = \frac{4x + 40}{6} + 20$
去分母，得$8x - 40 = 4x + 40 + 120$
移项，得$8x - 4x = 40 + 120 + 40$
合并同类项，得$4x = 200$
系数化为1，得$x = 50$。
答：每个房间需要粉刷的墙面面积为$50\ \mathrm{m}^2$。
(2)把$x=50$代入计算：
每名师傅每天粉刷的墙面面积：$\frac{8×50 - 40}{6} = 60\ (\mathrm{m}^2)$
每名徒弟每天粉刷的墙面面积：$\frac{4×50 + 40}{6} = 40\ (\mathrm{m}^2)$
答：每名师傅每天能粉刷的墙面面积为$60\ \mathrm{m}^2$，每名徒弟每天能粉刷的墙面面积为$40\ \mathrm{m}^2$。
(3)设一名徒弟一天的工钱是$y$元，则一名师傅一天的工钱是$(y+40)$元。
36间房的总粉刷面积为$36×50=1800\ \mathrm{m}^2$，
全部请师傅粉刷的总工钱对应等式：$\frac{1800}{60}·(y+40) = \frac{1800}{40}· y$
化简得：$30(y+40) = 45y$
去括号，得$30y + 1200 = 45y$
移项，得$30y - 45y = -1200$
合并同类项，得$-15y = -1200$
系数化为1，得$y=80$。
答：一名徒弟一天的工钱是80元。
则每名师傅每天能粉刷墙面面积为$\frac{8x - 40}{6} \ \mathrm{m}^2$，每名徒弟每天能粉刷墙面面积为$\frac{4x + 40}{6} \ \mathrm{m}^2$。
根据题意，得
$\frac{8x - 40}{6} = \frac{4x + 40}{6} + 20$
去分母，得$8x - 40 = 4x + 40 + 120$
移项，得$8x - 4x = 40 + 120 + 40$
合并同类项，得$4x = 200$
系数化为1，得$x = 50$。
答：每个房间需要粉刷的墙面面积为$50\ \mathrm{m}^2$。
(2)把$x=50$代入计算：
每名师傅每天粉刷的墙面面积：$\frac{8×50 - 40}{6} = 60\ (\mathrm{m}^2)$
每名徒弟每天粉刷的墙面面积：$\frac{4×50 + 40}{6} = 40\ (\mathrm{m}^2)$
答：每名师傅每天能粉刷的墙面面积为$60\ \mathrm{m}^2$，每名徒弟每天能粉刷的墙面面积为$40\ \mathrm{m}^2$。
(3)设一名徒弟一天的工钱是$y$元，则一名师傅一天的工钱是$(y+40)$元。
36间房的总粉刷面积为$36×50=1800\ \mathrm{m}^2$，
全部请师傅粉刷的总工钱对应等式：$\frac{1800}{60}·(y+40) = \frac{1800}{40}· y$
化简得：$30(y+40) = 45y$
去括号，得$30y + 1200 = 45y$
移项，得$30y - 45y = -1200$
合并同类项，得$-15y = -1200$
系数化为1，得$y=80$。
答：一名徒弟一天的工钱是80元。
解析
【分析】
本题属于一元一次方程的实际应用问题，可按小问逐步分析求解：
(1) 求解每个房间的粉刷面积，首先抓住题干给出的“每名师傅比徒弟每天多粉刷20$\mathrm{m}^2$”这一核心等量关系，设每个房间需粉刷的面积为$x\ \mathrm{m}^2$，分别用含$x$的式子表示出每名师傅、徒弟每天的粉刷面积，据此列一元一次方程求解即可。
(2) 第二问可直接利用第一问求得的$x$值，代入第一问中表示师傅、徒弟日粉刷面积的代数式，计算即可得到结果。
(3) 求解徒弟的日工钱，抓住“全部请徒弟粉刷与全部请师傅粉刷工钱一样”这一等量关系，先计算36间房的总粉刷面积，再分别表示出请师傅、请徒弟的总工钱，列方程求解即可。
【解析】
(1) 设每个房间需要粉刷的墙面面积为$x \ \mathrm{m}^2$，
则每名师傅每天能粉刷墙面面积为$\frac{8x - 40}{6} \ \mathrm{m}^2$，每名徒弟每天能粉刷墙面面积为$\frac{4x + 40}{6} \ \mathrm{m}^2$。
根据题意，得
$\frac{8x - 40}{6} = \frac{4x + 40}{6} + 20$
去分母，得$8x - 40 = 4x + 40 + 120$
移项，得$8x - 4x = 40 + 120 + 40$
合并同类项，得$4x = 200$
系数化为1，得$x = 50$。
答：每个房间需要粉刷的墙面面积为$50\ \mathrm{m}^2$。
(2) 把$x=50$代入计算：
每名师傅每天粉刷的墙面面积：$\frac{8×50 - 40}{6} = 60\ (\mathrm{m}^2)$
每名徒弟每天粉刷的墙面面积：$\frac{4×50 + 40}{6} = 40\ (\mathrm{m}^2)$
答：每名师傅每天能粉刷的墙面面积为$60\ \mathrm{m}^2$，每名徒弟每天能粉刷的墙面面积为$40\ \mathrm{m}^2$。
(3) 设一名徒弟一天的工钱是$y$元，则一名师傅一天的工钱是$(y+40)$元。
36间房的总粉刷面积为$36×50=1800\ \mathrm{m}^2$，
根据总工钱相等列等式：$\frac{1800}{60}·(y+40) = \frac{1800}{40}· y$
化简得：$30(y+40) = 45y$
去括号，得$30y + 1200 = 45y$
移项，得$30y - 45y = -1200$
合并同类项，得$-15y = -1200$
系数化为1，得$y=80$。
答：一名徒弟一天的工钱是80元。
【答案】
(1) 每个房间需要粉刷的墙面面积为$\boldsymbol{50\ \mathrm{m}^2}$；
(2) 每名师傅每天能粉刷的墙面面积为$\boldsymbol{60\ \mathrm{m}^2}$，每名徒弟每天能粉刷的墙面面积为$\boldsymbol{40\ \mathrm{m}^2}$；
(3) 一名徒弟一天的工钱是$\boldsymbol{80}$元。
【知识点】
一元一次方程的实际应用，解一元一次方程，工程问题等量关系
【点评】
本题是一元一次方程应用的典型题型，三个小问层层递进，既考查了列方程所需的等量关系梳理能力，也考查了解一元一次方程的基础计算能力，解题的核心是准确提取题干中的数量关系，建立正确的方程模型。
【难度系数】
0.7
本题属于一元一次方程的实际应用问题，可按小问逐步分析求解：
(1) 求解每个房间的粉刷面积，首先抓住题干给出的“每名师傅比徒弟每天多粉刷20$\mathrm{m}^2$”这一核心等量关系，设每个房间需粉刷的面积为$x\ \mathrm{m}^2$，分别用含$x$的式子表示出每名师傅、徒弟每天的粉刷面积，据此列一元一次方程求解即可。
(2) 第二问可直接利用第一问求得的$x$值，代入第一问中表示师傅、徒弟日粉刷面积的代数式，计算即可得到结果。
(3) 求解徒弟的日工钱，抓住“全部请徒弟粉刷与全部请师傅粉刷工钱一样”这一等量关系，先计算36间房的总粉刷面积，再分别表示出请师傅、请徒弟的总工钱，列方程求解即可。
【解析】
(1) 设每个房间需要粉刷的墙面面积为$x \ \mathrm{m}^2$，
则每名师傅每天能粉刷墙面面积为$\frac{8x - 40}{6} \ \mathrm{m}^2$，每名徒弟每天能粉刷墙面面积为$\frac{4x + 40}{6} \ \mathrm{m}^2$。
根据题意，得
$\frac{8x - 40}{6} = \frac{4x + 40}{6} + 20$
去分母，得$8x - 40 = 4x + 40 + 120$
移项，得$8x - 4x = 40 + 120 + 40$
合并同类项，得$4x = 200$
系数化为1，得$x = 50$。
答：每个房间需要粉刷的墙面面积为$50\ \mathrm{m}^2$。
(2) 把$x=50$代入计算：
每名师傅每天粉刷的墙面面积：$\frac{8×50 - 40}{6} = 60\ (\mathrm{m}^2)$
每名徒弟每天粉刷的墙面面积：$\frac{4×50 + 40}{6} = 40\ (\mathrm{m}^2)$
答：每名师傅每天能粉刷的墙面面积为$60\ \mathrm{m}^2$，每名徒弟每天能粉刷的墙面面积为$40\ \mathrm{m}^2$。
(3) 设一名徒弟一天的工钱是$y$元，则一名师傅一天的工钱是$(y+40)$元。
36间房的总粉刷面积为$36×50=1800\ \mathrm{m}^2$，
根据总工钱相等列等式：$\frac{1800}{60}·(y+40) = \frac{1800}{40}· y$
化简得：$30(y+40) = 45y$
去括号，得$30y + 1200 = 45y$
移项，得$30y - 45y = -1200$
合并同类项，得$-15y = -1200$
系数化为1，得$y=80$。
答：一名徒弟一天的工钱是80元。
【答案】
(1) 每个房间需要粉刷的墙面面积为$\boldsymbol{50\ \mathrm{m}^2}$；
(2) 每名师傅每天能粉刷的墙面面积为$\boldsymbol{60\ \mathrm{m}^2}$，每名徒弟每天能粉刷的墙面面积为$\boldsymbol{40\ \mathrm{m}^2}$；
(3) 一名徒弟一天的工钱是$\boldsymbol{80}$元。
【知识点】
一元一次方程的实际应用，解一元一次方程，工程问题等量关系
【点评】
本题是一元一次方程应用的典型题型，三个小问层层递进，既考查了列方程所需的等量关系梳理能力，也考查了解一元一次方程的基础计算能力，解题的核心是准确提取题干中的数量关系，建立正确的方程模型。
【难度系数】
0.7
