9.解下列方程：
(1)$4x - 3(20 - x) = 3$；
(2)$6 - 3(x + \dfrac{2}{3}) = \dfrac{2}{3}$。

解：
(1) 去括号，得
$4x - 60 + 3x = 3$
移项，得
$4x + 3x = 3 + 60$
合并同类项，得
$7x = 63$
系数化为1，得
$x = 9$
(2) 去括号，得
$6 - 3x - 2 = \frac{2}{3}$
合并同类项，得
$4 - 3x = \frac{2}{3}$
移项，得
$-3x = \frac{2}{3} - 4$
即
$-3x = -\frac{10}{3}$
系数化为1，得
$x = \frac{10}{9}$

【分析】
这两道题都是带括号的一元一次方程，解题遵循解带括号一元一次方程的常规逻辑：①先去括号，去括号时注意两点：一是括号前是负号时，去括号后括号内每一项都要变号；二是括号外的系数要乘括号内的每一项，不能漏乘。②移项，把含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，移项要变号。③合并同类项，把方程化简为ax=b（a≠0）的形式。④系数化为1，等号两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。
【解析】
(1) 去括号，得
$4x - 60 + 3x = 3$
移项，得
$4x + 3x = 3 + 60$
合并同类项，得
$7x = 63$
系数化为1，得
$x = 9$
(2) 去括号，得
$6 - 3x - 2 = \frac{2}{3}$
合并同类项，得
$4 - 3x = \frac{2}{3}$
移项，得
$-3x = \frac{2}{3} - 4$
即
$-3x = -\frac{10}{3}$
系数化为1，得
$x = \frac{10}{9}$
【答案】
(1) $x=9$；(2) $x=\frac{10}{9}$
【知识点】
1. 解一元一次方程 2. 去括号法则 3. 移项与合并同类项
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，重点考察解带括号一元一次方程的步骤规范，易错点为去括号时符号错误、漏乘括号内项，以及移项时忘记变号，熟练掌握运算规则即可准确解题。
【难度系数】
0.8

10.若方程$12-3(x+1)=7-x$的解是关于$x$的方程$6-2(k-x)=2(x+3)$的解的$\frac{1}{2}$，求$k$的值。

解：先解方程$12 - 3(x + 1) = 7 - x$
去括号，得：
$12 - 3x - 3 = 7 - x$
移项，得：
$-3x + x = 7 - 12 + 3$
合并同类项，得：
$-2x = -2$
系数化为1，得：
$x = 1$
由题意可知，方程$6 - 2(k - x) = 2(x + 3)$的解为$1 ÷ \frac{1}{2} = 2$
把$x=2$代入方程$6 - 2(k - x) = 2(x + 3)$，得：
$6 - 2(k - 2) = 2×(2 + 3)$
去括号，得：
$6 - 2k + 4 = 10$
移项，得：
$-2k = 10 - 6 - 4$
合并同类项，得：
$-2k = 0$
系数化为1，得：
$k = 0$

【分析】
要解决本题可按照三步思路推导：第一步，先求解不含参数的一元一次方程$12-3(x+1)=7-x$，得到它的解；第二步，根据“第一个方程的解是第二个方程解的$\frac{1}{2}$”的数量关系，计算出第二个方程的解；第三步，将求出的第二个方程的解代入含参数$k$的方程中，得到仅关于$k$的一元一次方程，解这个方程即可求出$k$的值。
【解析】
先解方程$12 - 3(x + 1) = 7 - x$
去括号，得：
$12 - 3x - 3 = 7 - x$
移项，得：
$-3x + x = 7 - 12 + 3$
合并同类项，得：
$-2x = -2$
系数化为1，得：
$x = 1$
由题意可知，方程$6 - 2(k - x) = 2(x + 3)$的解为$1 ÷ \frac{1}{2} = 2$
把$x=2$代入方程$6 - 2(k - x) = 2(x + 3)$，得：
$6 - 2(k - 2) = 2×(2 + 3)$
去括号，得：
$6 - 2k + 4 = 10$
移项，得：
$-2k = 10 - 6 - 4$
合并同类项，得：
$-2k = 0$
系数化为1，得：
$k = 0$
【答案】
$k=0$
【知识点】
解一元一次方程；方程的解的定义；代入法求参数
【点评】
本题侧重考察一元一次方程的基础运算能力，解题时要注意去括号、移项过程中的符号问题，理清两个方程解的数量关系是解题的核心，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.75

11.如图,小明将一个正方形纸片剪去一个宽为5 cm的长条后,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为6 cm的长条,如果两次剪下的长条面积正好相等,那么每个长条的面积为多少?

解：设正方形纸片的边长为$ x \, \mathrm{cm} $。
根据题意列方程：
$5x = 6(x - 5)$
去括号，得：
$5x = 6x - 30$
移项，得：
$5x - 6x = -30$
合并同类项，得：
$-x = -30$
系数化为1，得：
$x = 30$
每个长条的面积为 $ 5 × 30 = 150 \, (\mathrm{cm}^2) $。
答：每个长条的面积为$ 150 \, \mathrm{cm}^2 $。

【分析】
要解决这个问题，我们首先需要找到两次剪下长条的面积表达式，利用“两次剪下的长条面积相等”这一核心等量关系列方程求解。首先设正方形的边长为x cm，第一次剪下的宽为5cm的长条，长就是正方形的边长，面积可表示为5x；第一次剪完后剩下的长方形的较短边长为(x-5)cm，第二次剪下的宽为6cm的长条，长就是这个较短边，面积可表示为6(x-5)，令两个面积相等列方程，解出x后代入即可求出长条面积。
【解析】
解：设正方形纸片的边长为$ x \, \mathrm{cm} $。
根据两次剪下的长条面积相等，列方程得：
$5x = 6(x - 5)$
去括号，得：
$5x = 6x - 30$
移项，得：
$5x - 6x = -30$
合并同类项，得：
$-x = -30$
系数化为1，得：
$x = 30$
将$x=30$代入长条面积表达式，得每个长条的面积为 $ 5 × 30 = 150 \, (\mathrm{cm}^2) $。
答：每个长条的面积为$ 150 \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
$ 150 \, \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形面积计算；列方程解应用题
【点评】
本题是典型的面积类一元一次方程应用题，解题的关键是准确梳理两次裁剪后长条的长、宽对应关系，抓住面积相等的等量关系建立方程，整体解题思路清晰，需要注意避免搞错第二次裁剪的长条的长度。
【难度系数】
0.7

12.$a,b$为有理数,且$a+b,a-b$在数轴上如图所示.

①判断:$a$$0,b$$0,a$$b$;(填“＞”“＜”或“=”)
②若$x=|2a+b|-3|b|-|2a-3|+2|b-1|$,且$x$为方程$(2x^2+3x-\dfrac{1}{2})-2(x^2-mx-\dfrac{1}{4})=-5$的解,求$m$的值.

解：①
由数轴可知：$a+b ＜ -3$，$0 ＜ a-b ＜ 3$
将两式相加得：$2a ＜ 0$，即$a ＜ 0$
将两式相减得：$(a-b)-(a+b) ＞ 0 - (-3)$，即$-2b＞3$，$b ＜ -\frac{3}{2} ＜ 0$
由$a-b＞0$得$a ＞ b$
所以依次填：$＜$，$＜$，$＞$
②
由$a＜0$，$b＜-\frac{3}{2}$可得：
$2a+b=(a+b)+a ＜ -3 + 0 ＜ 0$，$2a-3 ＜ 0$，$b-1 ＜ 0$
对$x$的表达式去绝对值：
$\begin{aligned}x&=-(2a+b)-3(-b)-[-(2a-3)]+2[-(b-1)]\\&=-2a-b+3b+2a-3-2b+2\\&=-1\end{aligned}$
将$x=-1$代入方程$(2x^2+3x-\dfrac{1}{2})-2(x^2-mx-\dfrac{1}{4})=-5$，先化简方程：
$\begin{aligned}2x^2+3x-\frac{1}{2}-2x^2+2mx+\frac{1}{2}&=-5\\(3+2m)x&=-5\end{aligned}$
把$x=-1$代入得：
$-(3+2m)=-5$
解得：$m=1$
综上，①答案为$＜$，$＜$，$＞$；②$m$的值为$1$。

【分析】
首先解决第①问：先从数轴读取$a+b$和$a-b$的取值范围得到两个不等式，将两个不等式相加可求出$a$的符号，将两个不等式相减可求出$b$的范围判断$b$的符号，再根据$a-b$的正负判断$a$和$b$的大小关系。接着解决第②问：根据$a$、$b$的范围判断绝对值内式子的正负，按绝对值性质去绝对值化简得到$x$的值，再化简给定的一元一次方程，将$x$代入化简后的方程即可求出$m$的值。
【解析】
① 由数轴可知：$a+b ＜ -3$，$0 ＜ a-b ＜ 3$。
两式相加得：$(a+b)+(a-b) ＜ -3+3$，即$2a ＜ 0$，因此$a ＜ 0$。
用第二个不等式减第一个不等式得：$(a-b)-(a+b) ＞ 0 - (-3)$，化简得$-2b ＞ 3$，即$b ＜ -\frac{3}{2} ＜ 0$。
由$a-b ＞ 0$移项可得$a ＞ b$。
② 由$a＜0$，$b ＜ -\frac{3}{2}$可判断：$2a+b ＜ 0$，$2a-3 ＜ 0$，$b-1 ＜ 0$。
去绝对值化简$x$：
$\begin{aligned}x&=|2a+b|-3|b|-|2a-3|+2|b-1|\\&=-(2a+b)-3×(-b)-[-(2a-3)]+2×[-(b-1)]\\&=-2a-b+3b+2a-3-2b+2\\&=-1\end{aligned}$
先化简给定方程：
$\begin{aligned}(2x^2+3x-\frac{1}{2})-2(x^2-mx-\frac{1}{4})&=-5\\2x^2+3x-\frac{1}{2}-2x^2+2mx+\frac{1}{2}&=-5\\(3+2m)x&=-5\end{aligned}$
将$x=-1$代入上式：
$-(3+2m) = -5$
解得$m=1$。
【答案】
①$＜$，$＜$，$＞$；②$m=1$
【知识点】
数轴的应用；绝对值化简；解一元一次方程
【点评】
本题综合考查数轴、绝对值性质和一元一次方程的求解，解题核心是先从数轴提取不等关系推导$a$、$b$的范围，去绝对值前必须先判断式子的正负，代入方程前先化简方程可有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.6

13.如图,某校的饮水机有温水、开水两个按钮,温水和开水共用一个出水口.温水的温度为$30°\mathrm{C}$时,流速为$20\ \mathrm{mL/s}$;开水的温度为$100°\mathrm{C}$时,流速为$15\ \mathrm{mL/s}$.某学生先接了一会儿温水,又接了一会儿开水,得到一杯$280\ \mathrm{mL}$温度为$60°\mathrm{C}$的水(不计热损失),求该学生分别接温水和开水的时间.(提示:开水和温水混合时会发生热传递,开水放出的热量等于温水吸收的热量,这一过程可以转化为开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度.)

解：设该学生接温水的时间为$ x $秒，则接得温水的体积为$ 20x \, \mathrm{mL} $，接得开水的体积为$ (280 - 20x) \, \mathrm{mL} $。
根据题意列方程：
$(280 - 20x) × (100 - 60) = 20x × (60 - 30)$
化简得：
$40(280 - 20x) = 600x$
去括号：
$11200 - 800x = 600x$
移项、合并同类项：
$1400x = 11200$
系数化为1：
$x = 8$
接开水的体积为$ 280 - 20 × 8 = 120 \, \mathrm{mL} $，
接开水的时间为$ 120 ÷ 15 = 8 \, \mathrm{s} $。
答：该学生接温水的时间为8秒，接开水的时间为8秒。

【分析】
解题时首先梳理题目中的两个核心等量关系：①温水体积+开水体积=总容积280mL；②题目给出的热传递等量关系：开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度。我们可以先设接温水的时间为$x$秒，根据“流速×时间=体积”，用含$x$的代数式分别表示温水和开水的体积，再代入热传递的等量关系列出一元一次方程，求解得到温水的接水时间，最后根据开水的体积和流速计算出开水的接水时间即可。
【解析】
解：设该学生接温水的时间为$ x $秒，则接得温水的体积为$ 20x \, \mathrm{mL} $，接得开水的体积为$ (280 - 20x) \, \mathrm{mL} $。
根据题意列方程：
$ (280 - 20x) × (100 - 60) = 20x × (60 - 30) $
化简得：
$ 40(280 - 20x) = 600x $
去括号：
$ 11200 - 800x = 600x $
移项、合并同类项：
$ 1400x = 11200 $
系数化为1：
$ x = 8 $
接开水的体积为$ 280 - 20 × 8 = 120 \, \mathrm{mL} $，
接开水的时间为$ 120 ÷ 15 = 8 \, \mathrm{s} $。
【答案】
该学生接温水的时间为8秒，接开水的时间为8秒。
【知识点】
一元一次方程的应用，列代数式，解一元一次方程
【点评】
本题结合生活中饮水机接水的实际场景出题，解题的关键是读懂题目给出的等量关系提示，结合体积、流速、时间的关系正确列出方程，整体贴近生活，能很好地锻炼学生利用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7