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9. 提升题【背景知识】
数轴是数学中重要的工具，利用数轴可以将数与形结合，这种思想称为数形结合。研究数轴时，我们总结出以下规律：①若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离为$|a-b|$；②点A向右运动$m(m＞0)$个单位长度后表示的数为$a+m$，向左运动$m$个单位长度后表示的数为$a-m$。
【问题情境】
如图，数轴上两个动点A，B开始时所对应的数分别为$-8$，$4$，A，B两点各自以一定的速度在数轴上运动，且点A的运动速度为每秒2个单位长度。
(1)若A，B两点同时出发相向而行，并在原点处相遇，则点B的运动速度为每秒个单位长度。
(2)在(1)的条件下，若A，B两点以各自的速度同时向数轴正方向运动，求运动几秒时两点相距6个单位长度。
(3)在(1)的条件下，若A，B两点以各自的速度同时向数轴负方向运动，与此同时，点C从原点出发向同方向运动，且在运动过程中始终满足$CB:CA=1:2$。当点C运动到$-10$处时，求此时点B的位置。
数轴是数学中重要的工具，利用数轴可以将数与形结合，这种思想称为数形结合。研究数轴时，我们总结出以下规律：①若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离为$|a-b|$；②点A向右运动$m(m＞0)$个单位长度后表示的数为$a+m$，向左运动$m$个单位长度后表示的数为$a-m$。
【问题情境】
如图，数轴上两个动点A，B开始时所对应的数分别为$-8$，$4$，A，B两点各自以一定的速度在数轴上运动，且点A的运动速度为每秒2个单位长度。
(1)若A，B两点同时出发相向而行，并在原点处相遇，则点B的运动速度为每秒个单位长度。
(2)在(1)的条件下，若A，B两点以各自的速度同时向数轴正方向运动，求运动几秒时两点相距6个单位长度。
(3)在(1)的条件下，若A，B两点以各自的速度同时向数轴负方向运动，与此同时，点C从原点出发向同方向运动，且在运动过程中始终满足$CB:CA=1:2$。当点C运动到$-10$处时，求此时点B的位置。
答案
解：(1) 点A从-8运动到原点的距离为8，所需时间为$8÷2=4$秒，点B从4运动到原点的距离为4，因此点B的运动速度为$4÷4=1$，故答案为$\boldsymbol{1}$。
(2) 设运动$t$秒时两点相距6个单位长度。
$t$秒后，点A对应的数为$-8+2t$，点B对应的数为$4+t$。
由两点间距离公式得：
$|(-8+2t)-(4+t)|=6$
化简得$|t-12|=6$，即$t-12=6$或$t-12=-6$，
解得$t_1=18$，$t_2=6$。
答：运动6秒或18秒时，两点相距6个单位长度。
(3) 设运动$t$秒后，点C对应的数为$c$。
$t$秒后，点A对应的数为$-8-2t$，点B对应的数为$4-t$。
由$CB:CA=1:2$，得$CA=2CB$，即：
$2·|(4-t)-c|=|(-8-2t)-c|$
整理得$2(4-t-c)=c+8+2t$，
化简得$3c=-4t$，即$c=-\dfrac{4}{3}t$。
当点C运动到$-10$处时，$c=-10$，代入得：
$-10=-\dfrac{4}{3}t$
解得$t=7.5$。
此时点B对应的数为$4-1×7.5=-3.5$。
答：此时点B的位置为数轴上表示$-3.5$的点。
(2) 设运动$t$秒时两点相距6个单位长度。
$t$秒后，点A对应的数为$-8+2t$，点B对应的数为$4+t$。
由两点间距离公式得：
$|(-8+2t)-(4+t)|=6$
化简得$|t-12|=6$，即$t-12=6$或$t-12=-6$，
解得$t_1=18$，$t_2=6$。
答：运动6秒或18秒时，两点相距6个单位长度。
(3) 设运动$t$秒后，点C对应的数为$c$。
$t$秒后，点A对应的数为$-8-2t$，点B对应的数为$4-t$。
由$CB:CA=1:2$，得$CA=2CB$，即：
$2·|(4-t)-c|=|(-8-2t)-c|$
整理得$2(4-t-c)=c+8+2t$，
化简得$3c=-4t$，即$c=-\dfrac{4}{3}t$。
当点C运动到$-10$处时，$c=-10$，代入得：
$-10=-\dfrac{4}{3}t$
解得$t=7.5$。
此时点B对应的数为$4-1×7.5=-3.5$。
答：此时点B的位置为数轴上表示$-3.5$的点。
解析
【分析】
(1) 首先计算点A从初始位置-8运动到原点的路程与时间：A到原点距离为8，速度为2单位/秒，可得运动时间为8÷2=4秒；由于A、B同时出发在原点相遇，因此B的运动时间也为4秒，B到原点的距离为4，用路程除以时间即可求出B的速度。
(2) 设运动时间为t秒，先根据点的运动规律分别表示t秒后A、B对应的数，再根据两点相距6个单位，结合两点距离公式列绝对值方程，绝对值方程有两种情况，分别求解即可得到两个符合要求的时间。
(3) 设运动时间为t秒，先表示向负方向运动t秒后A、B对应的数，再根据CB:CA=1:2的比例关系列距离等式，化简得到点C对应的数与t的关系；当点C运动到-10时，代入关系求出t，再代入B的表达式即可得到B的位置。
【解析】
(1) 点A从-8运动到原点的距离为8，所需时间为$8÷2=4$秒，点B从4运动到原点的距离为4，两点运动时间相同，因此点B的运动速度为$4÷4=1$单位/秒。
(2) 设运动$t$秒时两点相距6个单位长度。
$t$秒后，点A对应的数为$-8+2t$，点B对应的数为$4+t$。
由两点间距离公式得：
$|(-8+2t)-(4+t)|=6$
化简得$|t-12|=6$，即$t-12=6$或$t-12=-6$，
解得$t_1=18$，$t_2=6$。
(3) 设运动$t$秒后，点C对应的数为$c$。
$t$秒后，点A对应的数为$-8-2t$，点B对应的数为$4-t$。
由$CB:CA=1:2$，得$CA=2CB$，即：
$2·|(4-t)-c|=|(-8-2t)-c|$
由于三个点都向负方向运动，C始终在B左侧、A右侧，因此可去绝对值得$2(4-t-c)=c+8+2t$，
化简得$3c=-4t$，即$c=-\dfrac{4}{3}t$。
当点C运动到$-10$处时，$c=-10$，代入得：
$-10=-\dfrac{4}{3}t$
解得$t=7.5$。
此时点B对应的数为$4-1×7.5=-3.5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{6}$秒或$\boldsymbol{18}$秒；(3) 数轴上表示$\boldsymbol{-3.5}$的点
【知识点】
数轴动点问题，两点间距离公式，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合数轴考查数形结合思想的应用，解题关键是用含运动时间的代数式表示各动点对应的数，结合距离关系列方程求解，第三问需要根据比例关系推导未知动点的运动规律，对分析能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.55
(1) 首先计算点A从初始位置-8运动到原点的路程与时间：A到原点距离为8，速度为2单位/秒，可得运动时间为8÷2=4秒；由于A、B同时出发在原点相遇，因此B的运动时间也为4秒，B到原点的距离为4，用路程除以时间即可求出B的速度。
(2) 设运动时间为t秒，先根据点的运动规律分别表示t秒后A、B对应的数，再根据两点相距6个单位，结合两点距离公式列绝对值方程，绝对值方程有两种情况，分别求解即可得到两个符合要求的时间。
(3) 设运动时间为t秒，先表示向负方向运动t秒后A、B对应的数，再根据CB:CA=1:2的比例关系列距离等式，化简得到点C对应的数与t的关系；当点C运动到-10时，代入关系求出t，再代入B的表达式即可得到B的位置。
【解析】
(1) 点A从-8运动到原点的距离为8，所需时间为$8÷2=4$秒，点B从4运动到原点的距离为4，两点运动时间相同，因此点B的运动速度为$4÷4=1$单位/秒。
(2) 设运动$t$秒时两点相距6个单位长度。
$t$秒后，点A对应的数为$-8+2t$，点B对应的数为$4+t$。
由两点间距离公式得：
$|(-8+2t)-(4+t)|=6$
化简得$|t-12|=6$，即$t-12=6$或$t-12=-6$，
解得$t_1=18$，$t_2=6$。
(3) 设运动$t$秒后，点C对应的数为$c$。
$t$秒后，点A对应的数为$-8-2t$，点B对应的数为$4-t$。
由$CB:CA=1:2$，得$CA=2CB$，即：
$2·|(4-t)-c|=|(-8-2t)-c|$
由于三个点都向负方向运动，C始终在B左侧、A右侧，因此可去绝对值得$2(4-t-c)=c+8+2t$，
化简得$3c=-4t$，即$c=-\dfrac{4}{3}t$。
当点C运动到$-10$处时，$c=-10$，代入得：
$-10=-\dfrac{4}{3}t$
解得$t=7.5$。
此时点B对应的数为$4-1×7.5=-3.5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{6}$秒或$\boldsymbol{18}$秒；(3) 数轴上表示$\boldsymbol{-3.5}$的点
【知识点】
数轴动点问题，两点间距离公式，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合数轴考查数形结合思想的应用，解题关键是用含运动时间的代数式表示各动点对应的数，结合距离关系列方程求解，第三问需要根据比例关系推导未知动点的运动规律，对分析能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.55
