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12. 已知$∠ AOB = 100°$,射线$OE$,$OF$分别是$∠ AOC$和$∠ BOC$的平分线.
(1)如图
,若射线$OC$在$∠ AOB$的内部,且$∠ AOC = 36°$,求$∠ EOF$的度数;
(2)如图,若射线$OC$在$∠ AOB$的内部绕点$O$旋转,求$∠ EOF$的度数;
(3)若射线$OC$在$∠ AOB$的外部绕点$O$旋转(旋转中,$∠ AOC$,$∠ BOC$均指小于$180°$的角),其余条件不变,请借助探究$∠ EOF$的大小.
(1)如图
,若射线$OC$在$∠ AOB$的内部,且$∠ AOC = 36°$,求$∠ EOF$的度数;(2)如图,若射线$OC$在$∠ AOB$的内部绕点$O$旋转,求$∠ EOF$的度数;
(3)若射线$OC$在$∠ AOB$的外部绕点$O$旋转(旋转中,$∠ AOC$,$∠ BOC$均指小于$180°$的角),其余条件不变,请借助探究$∠ EOF$的大小.
答案
解:(1)因为∠AOB=100°,∠AOC=36°，
所以∠BOC=∠AOB−∠AOC=64°。
因为OE,OF分别是∠AOC和∠BOC的平分线，
所以∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=18°，
∠FOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=32°。
所以∠EOF=∠EOC+∠FOC=18°+32°=50°。
(2)因为OE,OF分别是∠AOC和∠BOC的平分线，
所以∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠FOC=$\frac{1}{2}$∠BOC。
所以∠EOF=∠EOC+∠FOC
=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)=$\frac{1}{2}$∠AOB
=$\frac{1}{2}$×100°=50°。
(3)①射线OE,OF中只有1条在∠AOB外部，假如OE在∠AOB外部，如图1。
则∠EOF=∠FOC−∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC−$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(∠BOC−∠AOC)=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×100°=50°；
②射线OE,OF都在∠AOB外部，如图2。
则∠EOF=∠EOC+∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)=$\frac{1}{2}$(360°−∠AOB)=$\frac{1}{2}$×260°=130°。
综上所述,∠EOF的度数是50°或130°。
解析
【分析】
这道题围绕角平分线性质和角的和差运算展开，解题思路如下：
(1) 先根据已知的∠AOB和∠AOC度数求出∠BOC，再利用角平分线的定义分别求出∠EOC和∠FOC，二者相加即可得到∠EOF的度数；
(2) 不用代入具体角度，直接把∠EOF拆成∠EOC+∠FOC，结合角平分线性质，提取公因式后发现∠EOF等于∠AOB的一半，代入数值计算即可；
(3) 当OC在∠AOB外部时，需要分类讨论：①只有一条角平分线在∠AOB外部，此时∠EOF为两个半角的差，最终等于∠AOB的一半；②两条角平分线都在∠AOB外部，此时∠EOF为两个半角的和，对应的是周角减去∠AOB后剩余部分的一半，分别计算两种情况的结果即可。
【解析】
(1) 已知∠AOB=100°，∠AOC=36°，
所以∠BOC=∠AOB−∠AOC=100°−36°=64°。
因为OE、OF分别是∠AOC和∠BOC的平分线，
所以∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×36°=18°，
∠FOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×64°=32°，
所以∠EOF=∠EOC+∠FOC=18°+32°=50°。
(2) 因为OE、OF分别是∠AOC和∠BOC的平分线，
所以∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠FOC=$\frac{1}{2}$∠BOC，
所以∠EOF=∠EOC+∠FOC
=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)=$\frac{1}{2}$∠AOB
=$\frac{1}{2}$×100°=50°。
(3) 分两种情况讨论：
① 射线OE、OF中只有1条在∠AOB外部，假如OE在∠AOB外部，如图1：
则∠EOF=∠FOC−∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC−$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(∠BOC−∠AOC)=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×100°=50°；
② 射线OE、OF都在∠AOB外部，如图2：
则∠EOF=∠EOC+∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)=$\frac{1}{2}$(360°−∠AOB)=$\frac{1}{2}$×260°=130°。
【答案】
(1) 50°；
(2) 50°；
(3) ∠EOF的度数是50°或130°，对应图示：
①
②
【知识点】
角平分线的定义，角的和差运算，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查角平分线的性质与角的和差计算，前两问属于基础应用，第三问需要结合射线的位置分类讨论，避免漏解，熟练掌握角的数量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.6
这道题围绕角平分线性质和角的和差运算展开，解题思路如下：
(1) 先根据已知的∠AOB和∠AOC度数求出∠BOC，再利用角平分线的定义分别求出∠EOC和∠FOC，二者相加即可得到∠EOF的度数；
(2) 不用代入具体角度，直接把∠EOF拆成∠EOC+∠FOC，结合角平分线性质，提取公因式后发现∠EOF等于∠AOB的一半，代入数值计算即可；
(3) 当OC在∠AOB外部时，需要分类讨论：①只有一条角平分线在∠AOB外部，此时∠EOF为两个半角的差，最终等于∠AOB的一半；②两条角平分线都在∠AOB外部，此时∠EOF为两个半角的和，对应的是周角减去∠AOB后剩余部分的一半，分别计算两种情况的结果即可。
【解析】
(1) 已知∠AOB=100°，∠AOC=36°，
所以∠BOC=∠AOB−∠AOC=100°−36°=64°。
因为OE、OF分别是∠AOC和∠BOC的平分线，
所以∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×36°=18°，
∠FOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×64°=32°，
所以∠EOF=∠EOC+∠FOC=18°+32°=50°。
(2) 因为OE、OF分别是∠AOC和∠BOC的平分线，
所以∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠FOC=$\frac{1}{2}$∠BOC，
所以∠EOF=∠EOC+∠FOC
=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)=$\frac{1}{2}$∠AOB
=$\frac{1}{2}$×100°=50°。
(3) 分两种情况讨论：
① 射线OE、OF中只有1条在∠AOB外部，假如OE在∠AOB外部，如图1：
则∠EOF=∠FOC−∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC−$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(∠BOC−∠AOC)=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×100°=50°；
② 射线OE、OF都在∠AOB外部，如图2：
则∠EOF=∠EOC+∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)=$\frac{1}{2}$(360°−∠AOB)=$\frac{1}{2}$×260°=130°。
【答案】
(1) 50°；
(2) 50°；
(3) ∠EOF的度数是50°或130°，对应图示：
①
②
【知识点】
角平分线的定义，角的和差运算，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查角平分线的性质与角的和差计算，前两问属于基础应用，第三问需要结合射线的位置分类讨论，避免漏解，熟练掌握角的数量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.6
