7. 如图，O是直线AB上一点，$∠ AOC = 54°$.

(1)求$∠ BOC$的度数；
(2)若射线OD，OE是$∠ BOC$的三等分线，求$∠ BOE$，$∠ AOD$的度数.

解:(1)因为∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=54°，所以∠BOC=180°−∠AOC=180°−54°=126°。
(2)因为射线OD,OE是∠BOC的三等分线，所以∠BOE=∠COD=$\frac{1}{3}$∠BOC=$\frac{1}{3}$×126°=42°。
所以∠AOD=∠AOC+∠COD=54°+42°=96°。

【分析】
(1)首先观察到O是直线AB上的点，根据平角的定义，∠AOB为180°，即∠AOC与∠BOC的和为180°，已知∠AOC的度数，直接作差即可求出∠BOC的度数。
(2)看到“三等分线”，就可知OD、OE将∠BOC平均分成3个度数相等的角，先算出每个小角的度数；再看所求的∠BOE是三等分后的其中一个小角，直接可得；∠AOD由∠AOC和三等分后的∠COD组成，求和即可算出结果。
【解析】
(1)
∵ O是直线AB上一点，
∴ ∠AOB = 180°，即∠AOC + ∠BOC = 180°，
又
∵ ∠AOC = 54°，
∴ ∠BOC = 180° - ∠AOC = 180° - 54° = 126°。
(2)
∵ 射线OD、OE是∠BOC的三等分线，
∴ ∠BOE = ∠DOE = ∠COD = $\frac{1}{3}$∠BOC，
∴ ∠BOE = $\frac{1}{3}$×126° = 42°，
则∠COD = 42°，
∴ ∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 54° + 42° = 96°。
【答案】
(1)$∠BOC=126°$；
(2)$∠BOE=42°$，$∠AOD=96°$
【知识点】
平角的定义；角的三等分线；角的和差运算
【点评】
本题是角的运算的基础题，解题关键是准确识别平角特征和角三等分线的意义，理清图中各角之间的和差关系即可求解。
【难度系数】
0.85

8. 若$∠ AOB = 34°$，$∠ BOC = 18°$，则$∠ AOC$的度数是().

A.$52°$
B.$16°$
C.$52°$或$16°$
D.$52°$或$18°$

8. C

【分析】
本题考查角的运算，由于题目未给出OC的具体位置，因此需要分两种情况讨论：①OC在∠AOB的内部；②OC在∠AOB的外部，再分别根据角的和差关系计算∠AOC的度数即可。
【解析】
解：分两种情况计算：
1. 当OC在∠AOB的外部时，∠AOC为两角之和：
$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 34° + 18° = 52°$
2. 当OC在∠AOB的内部时，∠AOC为两角之差：
$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 34° - 18° = 16°$
因此∠AOC的度数是52°或16°。
【答案】
C
【知识点】
角的和差运算、分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略OC位置的不确定性，只考虑其中一种情况导致漏解，在无明确图形的角度计算问题中，要全面分析角的位置关系，避免思维定式。
【难度系数】
0.7

9.如图,已知射线OC是∠AOB的一条靠近OA边的三等分线,∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOB,且∠COD=20°,则∠AOB的度数为().


A.100°
B.110°
C.120°
D.135°

9. C

【分析】
解题时我们可以采用设未知数列方程的方法求解：首先观察题目中所有角都和∠AOB有关，因此设∠AOB的度数为x，再根据角的等分线的定义分别表示出∠AOC和∠AOD的度数，结合∠COD=∠AOD-∠AOC=20°的等量关系列出方程，解方程即可得到∠AOB的度数。
【解析】
设∠AOB的度数为x。
∵ 射线OC是∠AOB靠近OA边的三等分线
∴ $∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}x$
∵ $∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}x$
由图可知$∠ COD=∠ AOD-∠ AOC$，且$∠ COD=20°$
代入得：$\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x = 20°$
通分计算：$\frac{3}{6}x-\frac{2}{6}x=20°$，即$\frac{1}{6}x=20°$
解得：$x=20° × 6=120°$
因此∠AOB的度数为120°。
【答案】
C
【知识点】
角的和差运算；角的等分线定义；列方程求角度
【点评】
本题考查角的相关计算，解题关键是准确理解角的三等分线的含义，理清图中各个角的和差关系，采用设未知数列方程的方法可以快速理清数量关系，降低解题难度。
【难度系数】
0.7

10.如图，O是直线AB上一点，∠AOC=45°,OE是∠BOC内部的一条射线，且OF平分∠AOE.

(1)若∠COF=35°,求∠EOB的度数.
(2)若∠EOB=40°,求∠COF的度数.
(3)∠COF与∠EOB有怎样的数量关系？请说明理由.

解:(1)因为∠AOC=45°,∠COF=35°,所以∠AOF=∠AOC+∠COF=80°。
因为OF平分∠AOE，所以∠AOE=2∠AOF=160°。
所以∠EOB=180°−∠AOE=20°。
(2)因为∠EOB=40°，所以∠AOE=180°−40°=140°。
因为OF平分∠AOE，所以∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOE=70°。
所以∠COF=∠AOF−∠AOC=25°。
(3)2∠COF+∠EOB=90°.理由如下。
设∠COF=α,∠EOB=β，
则∠AOE=180°−β。
因为OF平分∠AOE，
所以2∠AOF=∠AOE=180°−β。
所以2α=2(∠AOF−∠AOC)=2∠AOF−2∠AOC=180°−β−2×45°=90°−β。
所以2α+β=90°，
即2∠COF+∠EOB=90°。

【分析】
本题围绕平角定义、角平分线的性质展开，解题思路清晰：
(1) 先通过角的和差关系，用已知的∠AOC和∠COF求出∠AOF；再结合OF平分∠AOE的性质得到∠AOE的度数；最后根据平角为180°，用180°减去∠AOE即可得到∠EOB的度数。
(2) 反向推导：先由平角定义结合已知的∠EOB求出∠AOE；再利用角平分线性质算出∠AOF；最后用∠AOF减去∠AOC就能得到∠COF的度数。
(3) 探究两角数量关系时，可设两个角为未知数，结合角平分线性质、平角定义将两个角代入等量关系中化简，即可推导出二者的数量关系。
【解析】
(1) 已知∠AOC=45°，∠COF=35°，根据角的和差可得：
$∠ AOF=∠ AOC+∠ COF=45°+35°=80°$
∵ OF平分$∠ AOE$，
∴ $∠ AOE=2∠ AOF=2×80°=160°$
∵ O是直线AB上的点，$∠ AOB$是平角为$180°$，
∴ $∠ EOB=180°-∠ AOE=180°-160°=20°$
(2) 已知$∠ EOB=40°$，由平角定义可得：
$∠ AOE=180°-∠ EOB=180°-40°=140°$
∵ OF平分$∠ AOE$，
∴ $∠ AOF=\frac{1}{2}∠ AOE=\frac{1}{2}×140°=70°$
∴ $∠ COF=∠ AOF-∠ AOC=70°-45°=25°$
(3) 数量关系为$2∠ COF+∠ EOB=90°$，理由如下：
设$∠ COF=α$，$∠ EOB=β$，
由平角定义可得$∠ AOE=180°-β$，
∵ OF平分$∠ AOE$，
∴ $2∠ AOF=∠ AOE=180°-β$，
又
∵ $∠ AOF=∠ AOC+∠ COF=45°+α$，
代入得：$2(45°+α)=180°-β$，
展开整理可得：$90°+2α=180°-β$，
移项得$2α+β=90°$，即$2∠ COF+∠ EOB=90°$。
【答案】
(1) $\boxed{20°}$
(2) $\boxed{25°}$
(3) $\boxed{2∠ COF + ∠ EOB = 90°}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的性质，角的和差运算
【点评】
本题是角的运算的典型习题，侧重考察基础概念的应用和角之间和差关系的梳理，前两问是基础的正向、反向运算，第三问需要梳理等量关系推导结论，掌握核心概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

11.操作:在一张白纸上画一条直线MN,把有一个角为$30°$的三角尺的直角顶点C放在直线MN上.
(1)如图1,当点A,B都在直线MN上方时,试判断$∠ ACM$与$∠ BCN$的度数之和是多少,并说明理由.
(2)如图2,把三角尺ABC绕点C旋转,使点A在直线MN的下方,点B仍在直线MN的上方.用测量或分析的方法完成下表,并判断$∠ ACM$与$∠ BCN$的数量关系.



$∠ ACM$的度数 | $∠ BCN$的度数 | $∠ BCN$与$∠ ACM$的差
--- | --- | ---
$20°$ | |
$40°$ | |
$70°$ | |
结论:.
(3)如图3,继续把三角尺绕点C旋转,使点A和点B都在直线MN的下方,$∠ ACM$与$∠ BCN$又有什么样的数量关系呢?

请直接写出结论:.

11. 解:(1)∠ACM+∠BCN=90°.理由如下。
因为点M,C,N在同一条直线上，
所以∠MCN=180°。
又因为∠ACB=90°，
所以∠ACM+∠BCN=∠MCN−∠ACB=180°−90°=90°。
(2)填表如下：

∠BCN−∠ACM=90°
(3)因为∠ACM=∠ACB+∠BCM=90°+∠BCM,∠BCN=180°−∠BCM，
所以∠ACM+∠BCN=90°+∠BCM+(180°−∠BCM)=270°。
故答案为:∠ACM+∠BCN=270°

【分析】
本题围绕三角尺绕直线上点C旋转的情境考查角的和差计算，解题思路如下：
(1) 共线三点M、C、N构成平角，度数为180°，已知三角尺直角∠ACB=90°，∠ACM、∠ACB、∠BCN三个角的和等于平角∠MCN，用平角度数减去直角度数即可求出∠ACM与∠BCN的和。
(2) 当点A旋转到直线MN下方时，先根据∠ACB=90°求出∠BCM的度数，再结合平角180°求出对应∠BCN的度数，计算二者的差即可总结出数量关系。
(3) 当A、B都在MN下方时，将∠ACM和∠BCN分别用公共角∠BCM表示，相加后消去公共角即可推导得到二者的数量关系。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠ACM+∠BCN=90°}$，理由如下：
∵点M、C、N在同一条直线上，
∴$∠ MCN=180°$，
又
∵三角尺的直角$∠ ACB=90°$，
∴$∠ ACM + ∠ BCN = ∠ MCN - ∠ ACB = 180° - 90° = 90°$。
(2) 根据角的和差计算：
当$∠ ACM=20°$时，$∠ BCM=90°-20°=70°$，$∠ BCN=180°-70°=110°$，二者差为$110°-20°=90°$；
当$∠ ACM=40°$时，$∠ BCM=90°-40°=50°$，$∠ BCN=180°-50°=130°$，二者差为$130°-40°=90°$；
当$∠ ACM=70°$时，$∠ BCM=90°-70°=20°$，$∠ BCN=180°-20°=160°$，二者差为$160°-70°=90°$；
综上可得出结论：$\boldsymbol{∠BCN - ∠ACM=90°}$。
(3) 推导如下：
$∠ ACM = ∠ ACB + ∠ BCM = 90° + ∠ BCM$，
$∠ BCN = 180° - ∠ BCM$，
两式相加得：$∠ ACM + ∠ BCN = 90° + ∠ BCM + 180° - ∠ BCM = 270°$。
【答案】
(1) $∠ ACM+∠ BCN=90°$，理由见解析；
(2) ，结论：$∠ BCN-∠ ACM=90°$；
(3) $∠ ACM+∠ BCN=270°$
【知识点】
平角的性质，角的和差运算，直角的性质
【点评】
本题结合三角尺旋转的动态情境考查角的运算，解题的核心是抓住平角为180°、三角尺直角为90°的固定条件，根据点的不同位置梳理角的组成关系，通过代换推导得到角的数量关系，能有效锻炼几何逻辑推理和分类讨论的能力。
【难度系数】
0.7