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3.一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个
相等
的角的射线
,叫作这个角的平分线.答案
3. 相等 射线
解析
【分析】
本题考查角平分线的基础定义，属于识记类题型。解题时首先回忆角平分线的核心概念：一是它的功能是把原角分成两个大小相同的角，二是它的本质是从角的顶点出发的射线，对应两个空的要求分别填入对应的关键词即可。
【解析】
根据角平分线的定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线。因此第一个空填“相等”，第二个空填“射线”。
【答案】
相等；射线
【知识点】
角平分线的定义
【点评】
本题是基础概念考察题，难度较低，主要考查对教材核心概念的记忆掌握情况，是后续学习角的和差计算等相关知识的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查角平分线的基础定义，属于识记类题型。解题时首先回忆角平分线的核心概念：一是它的功能是把原角分成两个大小相同的角，二是它的本质是从角的顶点出发的射线，对应两个空的要求分别填入对应的关键词即可。
【解析】
根据角平分线的定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线。因此第一个空填“相等”，第二个空填“射线”。
【答案】
相等；射线
【知识点】
角平分线的定义
【点评】
本题是基础概念考察题，难度较低，主要考查对教材核心概念的记忆掌握情况，是后续学习角的和差计算等相关知识的基础。
【难度系数】
0.9
【例3】 已知OC是∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC是∠AOB的平分线的是(
A.∠AOC=∠BOC
B.∠AOB=2∠AOC
C.∠AOC+∠COB=∠AOB
D.∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB
总结 角的平分线必须满足三个条件：一是从角的顶点引出的射线，二是在角的内部，三是把已知角分成两个相等的角，不能只凭倍数来判断。
C
).A.∠AOC=∠BOC
B.∠AOB=2∠AOC
C.∠AOC+∠COB=∠AOB
D.∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB
总结 角的平分线必须满足三个条件：一是从角的顶点引出的射线，二是在角的内部，三是把已知角分成两个相等的角，不能只凭倍数来判断。
答案
【例3】 C
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的定义：从一个角的顶点出发，在角内部，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。本题已经明确OC是∠AOB内部的射线，因此只需判断各选项能否推出∠AOC=∠BOC即可，逐一分析每个选项的逻辑是否成立，就能找到不能确定的选项。
【解析】
已知OC是∠AOB内部的射线，结合角平分线的定义分析各选项：
A. 若∠AOC=∠BOC，直接符合角平分线“把角分成两个相等的角”的要求，可确定OC是∠AOB的平分线；
B. 若∠AOB=2∠AOC，由角的和差可知∠AOB=∠AOC+∠BOC，代入得2∠AOC=∠AOC+∠BOC，化简得∠AOC=∠BOC，可确定OC是∠AOB的平分线；
C. 无论OC在∠AOB内部的任意位置，都满足∠AOC+∠COB=∠AOB，这是角的和差的恒成立关系，无法推出∠AOC=∠BOC，不能确定OC是∠AOB的平分线；
D. 若∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，由角的和差可知∠AOC=∠AOB-∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，因此∠AOC=∠BOC，可确定OC是∠AOB的平分线。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 角平分线的定义 2. 角的和差运算
【点评】
本题考查角平分线的判定，解题时要注意题干给出的“OC在∠AOB内部”的前提，避免忽略前提误判选项，同时要区分角的和差通用性质和角平分线的特有性质，不要混淆恒成立关系和特殊条件。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆角平分线的定义：从一个角的顶点出发，在角内部，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。本题已经明确OC是∠AOB内部的射线，因此只需判断各选项能否推出∠AOC=∠BOC即可，逐一分析每个选项的逻辑是否成立，就能找到不能确定的选项。
【解析】
已知OC是∠AOB内部的射线，结合角平分线的定义分析各选项：
A. 若∠AOC=∠BOC，直接符合角平分线“把角分成两个相等的角”的要求，可确定OC是∠AOB的平分线；
B. 若∠AOB=2∠AOC，由角的和差可知∠AOB=∠AOC+∠BOC，代入得2∠AOC=∠AOC+∠BOC，化简得∠AOC=∠BOC，可确定OC是∠AOB的平分线；
C. 无论OC在∠AOB内部的任意位置，都满足∠AOC+∠COB=∠AOB，这是角的和差的恒成立关系，无法推出∠AOC=∠BOC，不能确定OC是∠AOB的平分线；
D. 若∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，由角的和差可知∠AOC=∠AOB-∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，因此∠AOC=∠BOC，可确定OC是∠AOB的平分线。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 角平分线的定义 2. 角的和差运算
【点评】
本题考查角平分线的判定，解题时要注意题干给出的“OC在∠AOB内部”的前提，避免忽略前提误判选项，同时要区分角的和差通用性质和角平分线的特有性质，不要混淆恒成立关系和特殊条件。
【难度系数】
0.8
● 跟踪练习3 如图,点O在直线AB上,射线OC平分∠DOB.如果∠COD=38°,那么∠AOD的度数是
104°
.答案
跟踪练习3 104°
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：①点O在直线AB上，可得∠AOB为平角，度数是180°；②射线OC平分∠DOB，结合角平分线的定义，可知∠DOB的度数是∠COD的2倍。我们可以先利用角平分线的性质求出∠DOB的度数，再根据∠AOD与∠DOB的和为180°，计算出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵ 射线OC平分∠DOB，∠COD=38°，
∴ ∠DOB = 2∠COD = 2×38° = 76°，
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB = 180°，即∠AOD + ∠DOB = 180°，
∴ ∠AOD = 180° - ∠DOB = 180° - 76° = 104°。
【答案】
104°
【知识点】
1.角平分线的定义
2.平角的定义
3.角的和差计算
【点评】
本题属于基础类角度计算题型，解题的关键是准确识别图中角的位置关系，结合角平分线、平角的性质推导角的数量关系，整体计算难度较低，是对角度运算基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.85
解题时先梳理已知条件：①点O在直线AB上，可得∠AOB为平角，度数是180°；②射线OC平分∠DOB，结合角平分线的定义，可知∠DOB的度数是∠COD的2倍。我们可以先利用角平分线的性质求出∠DOB的度数，再根据∠AOD与∠DOB的和为180°，计算出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵ 射线OC平分∠DOB，∠COD=38°，
∴ ∠DOB = 2∠COD = 2×38° = 76°，
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB = 180°，即∠AOD + ∠DOB = 180°，
∴ ∠AOD = 180° - ∠DOB = 180° - 76° = 104°。
【答案】
104°
【知识点】
1.角平分线的定义
2.平角的定义
3.角的和差计算
【点评】
本题属于基础类角度计算题型，解题的关键是准确识别图中角的位置关系，结合角平分线、平角的性质推导角的数量关系，整体计算难度较低，是对角度运算基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.85
1.用一副三角尺可以画出许多不同的角度，以下角度中，不能用三角尺画出的是（
A.$75°$
B.$60°$
C.$40°$
D.$15°$
C
）。A.$75°$
B.$60°$
C.$40°$
D.$15°$
答案
1. C
解析
【分析】
首先明确一副三角尺的固定角度分别是30°、45°、60°、90°，能用三角尺画出的角都可以通过这几个角度的和或者差得到，解题时只需要逐个验证选项中的角度是否能由上述角度加减得到即可。
【解析】
一副三角尺的固有角度为30°、45°、60°、90°，我们逐个分析选项：
A. $75°=30°+45°$，可以用30°和45°的角叠加画出；
B. $60°$是三角尺本身就有的角度，可直接画出；
C. $40°$无法通过30°、45°、60°、90°的和或差得到，不能画出；
D. $15°=45°-30°$，可以用45°角减去30°角画出。
因此符合题意的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角尺的角度特征，角的和差运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对三角尺固定角度的掌握，以及角的和差运算的应用，熟练掌握三角尺的角度是解题的关键。
【难度系数】
0.9
首先明确一副三角尺的固定角度分别是30°、45°、60°、90°，能用三角尺画出的角都可以通过这几个角度的和或者差得到，解题时只需要逐个验证选项中的角度是否能由上述角度加减得到即可。
【解析】
一副三角尺的固有角度为30°、45°、60°、90°，我们逐个分析选项：
A. $75°=30°+45°$，可以用30°和45°的角叠加画出；
B. $60°$是三角尺本身就有的角度，可直接画出；
C. $40°$无法通过30°、45°、60°、90°的和或差得到，不能画出；
D. $15°=45°-30°$，可以用45°角减去30°角画出。
因此符合题意的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角尺的角度特征，角的和差运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对三角尺固定角度的掌握，以及角的和差运算的应用，熟练掌握三角尺的角度是解题的关键。
【难度系数】
0.9
2. 如图，OB是∠AOC的平分线，∠COD = $\frac{1}{3}$∠BOD，∠COD = 16°，则∠AOD的度数是（
A.64°
B.70°
C.80°
D.85°
C
）。A.64°
B.70°
C.80°
D.85°
答案
2. C
解析
【分析】
解题时先从已知的∠COD的度数和它与∠BOD的数量关系入手，先求出∠BOD的度数；再用∠BOD减去∠COD得到∠BOC的度数；结合OB是∠AOC的平分线的性质，可求出∠AOC的度数；最后将∠AOC与∠COD相加，就能得到∠AOD的总度数。
【解析】
已知$∠ COD=\frac{1}{3}∠ BOD$，且$∠ COD=16°$，
所以$∠ BOD=3×∠ COD=3×16°=48°$，
则$∠ BOC=∠ BOD-∠ COD=48°-16°=32°$。
因为OB是$∠ AOC$的平分线，根据角平分线的定义，
所以$∠ AOC=2∠ BOC=2×32°=64°$，
因此$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=64°+16°=80°$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义，角的和差运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是梳理清楚图中各角的数量关系，结合角平分线的性质逐步推导求解，只要理清角之间的和差、倍分关系就能顺利得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的∠COD的度数和它与∠BOD的数量关系入手，先求出∠BOD的度数；再用∠BOD减去∠COD得到∠BOC的度数；结合OB是∠AOC的平分线的性质，可求出∠AOC的度数；最后将∠AOC与∠COD相加，就能得到∠AOD的总度数。
【解析】
已知$∠ COD=\frac{1}{3}∠ BOD$，且$∠ COD=16°$，
所以$∠ BOD=3×∠ COD=3×16°=48°$，
则$∠ BOC=∠ BOD-∠ COD=48°-16°=32°$。
因为OB是$∠ AOC$的平分线，根据角平分线的定义，
所以$∠ AOC=2∠ BOC=2×32°=64°$，
因此$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=64°+16°=80°$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义，角的和差运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是梳理清楚图中各角的数量关系，结合角平分线的性质逐步推导求解，只要理清角之间的和差、倍分关系就能顺利得出结果。
【难度系数】
0.8
3.如图，直线AB，CD相交于点O，OE是$∠ BOC$的平分线，且$∠ BOE = 48°$，则$∠ AOC=(\quad)$。
A.$84°$
B.$95°$
C.$105°$
D.$125°$
A.$84°$
B.$95°$
C.$105°$
D.$125°$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：1. 根据角平分线的定义，角平分线会把一个角分成两个相等的小角，由此可以先计算出∠BOC的度数；2. 直线AB和CD相交于点O，∠AOC和∠BOC组成平角，互为邻补角，二者之和为180°，用180°减去已经求出的∠BOC的度数，就能得到∠AOC的大小。
【解析】
解：
∵OE是∠BOC的平分线，∠BOE=48°
∴∠BOC = 2∠BOE = 2×48° = 96°
∵直线AB、CD相交于点O，∠AOC与∠BOC互为邻补角
∴∠AOC + ∠BOC = 180°
∴∠AOC = 180° - ∠BOC = 180° - 96° = 84°
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；邻补角的性质；角的运算
【点评】
本题属于基础题，重点考查角的基本概念和运算，解题的关键是准确识别角平分线对应的数量关系，以及相交线形成的邻补角的和为180°的性质，理清角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件入手：1. 根据角平分线的定义，角平分线会把一个角分成两个相等的小角，由此可以先计算出∠BOC的度数；2. 直线AB和CD相交于点O，∠AOC和∠BOC组成平角，互为邻补角，二者之和为180°，用180°减去已经求出的∠BOC的度数，就能得到∠AOC的大小。
【解析】
解：
∵OE是∠BOC的平分线，∠BOE=48°
∴∠BOC = 2∠BOE = 2×48° = 96°
∵直线AB、CD相交于点O，∠AOC与∠BOC互为邻补角
∴∠AOC + ∠BOC = 180°
∴∠AOC = 180° - ∠BOC = 180° - 96° = 84°
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；邻补角的性质；角的运算
【点评】
本题属于基础题，重点考查角的基本概念和运算，解题的关键是准确识别角平分线对应的数量关系，以及相交线形成的邻补角的和为180°的性质，理清角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.如图,将一张长方形纸按照图中所示的方法对折,两条虚线m,n为折痕,则这两条折痕构成的角的度数是(
A.$90°$
B.$75°$
C.$45°$
D.$30°$
A
).A.$90°$
B.$75°$
C.$45°$
D.$30°$
答案
4. A
解析
【分析】
解题时首先结合折叠的性质思考：折叠后折痕两侧重合的角大小相等。观察图形可知，两条折痕的公共顶点处原本是长方形的边对应的平角，度数为180°，折痕m、n分别平分了平角被折叠分成的两个角，因此两条折痕的夹角就是平角度数的一半，据此即可求出角度。
【解析】
根据折叠的性质可得：折痕m平分其左侧折叠对应的两个重合角，折痕n平分其右侧折叠对应的两个重合角。
两条折痕的公共顶点处的原始角为平角，度数为180°，因此两条折痕构成的角的度数为$180°÷2=90°$。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质，平角的定义，角的运算
【点评】
本题属于基础题，核心是利用折叠前后对应角相等的性质，结合平角的特征进行角的和差计算，掌握折叠的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合折叠的性质思考：折叠后折痕两侧重合的角大小相等。观察图形可知，两条折痕的公共顶点处原本是长方形的边对应的平角，度数为180°，折痕m、n分别平分了平角被折叠分成的两个角，因此两条折痕的夹角就是平角度数的一半，据此即可求出角度。
【解析】
根据折叠的性质可得：折痕m平分其左侧折叠对应的两个重合角，折痕n平分其右侧折叠对应的两个重合角。
两条折痕的公共顶点处的原始角为平角，度数为180°，因此两条折痕构成的角的度数为$180°÷2=90°$。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质，平角的定义，角的运算
【点评】
本题属于基础题，核心是利用折叠前后对应角相等的性质，结合平角的特征进行角的和差计算，掌握折叠的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
5.如图，OE是∠AOD的平分线，OC是∠BOD的平分线。如果∠AOE＝45°，∠BOD＝40°，那么∠COE＝
65
°，∠BOE＝85
°。答案
5. 65 85
解析
【分析】
解题时先利用角平分线的性质，由已知的角平分线和对应角的度数，先求出平分线分出的小角的度数，再结合图形中角的组成关系，通过角的和差运算分别求出∠COE和∠BOE的度数：①首先根据OE是∠AOD的平分线，可得∠EOD=∠AOE=45°；②再根据OC是∠BOD的平分线，可求出∠COD的度数；③∠COE由∠EOD和∠COD组成，求和即可；④∠BOE由∠EOD和∠BOD组成，求和即可。
【解析】
解：
∵OE是∠AOD的平分线，∠AOE＝45°
∴∠EOD＝∠AOE＝45°
∵OC是∠BOD的平分线，∠BOD＝40°
∴∠COD＝$\frac{1}{2}$∠BOD＝$\frac{1}{2}$×40°＝20°
（1）计算∠COE：
∠COE＝∠EOD + ∠COD＝45° + 20°＝65°
（2）计算∠BOE：
∠BOE＝∠EOD + ∠BOD＝45° + 40°＝85°
【答案】
65；85
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题属于基础的角度计算问题，核心是结合图形准确判断各角之间的位置关系，熟练运用角平分线的性质进行角度转化，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时先利用角平分线的性质，由已知的角平分线和对应角的度数，先求出平分线分出的小角的度数，再结合图形中角的组成关系，通过角的和差运算分别求出∠COE和∠BOE的度数：①首先根据OE是∠AOD的平分线，可得∠EOD=∠AOE=45°；②再根据OC是∠BOD的平分线，可求出∠COD的度数；③∠COE由∠EOD和∠COD组成，求和即可；④∠BOE由∠EOD和∠BOD组成，求和即可。
【解析】
解：
∵OE是∠AOD的平分线，∠AOE＝45°
∴∠EOD＝∠AOE＝45°
∵OC是∠BOD的平分线，∠BOD＝40°
∴∠COD＝$\frac{1}{2}$∠BOD＝$\frac{1}{2}$×40°＝20°
（1）计算∠COE：
∠COE＝∠EOD + ∠COD＝45° + 20°＝65°
（2）计算∠BOE：
∠BOE＝∠EOD + ∠BOD＝45° + 40°＝85°
【答案】
65；85
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题属于基础的角度计算问题，核心是结合图形准确判断各角之间的位置关系，熟练运用角平分线的性质进行角度转化，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
6.计算：
(1)$154°19'42'' + 27°40'28'' =$
(2)$180° - 43°27'14'' =$
(3)$33°15'16'' ×5 =$
(4)$37°15' ÷3 =$
(1)$154°19'42'' + 27°40'28'' =$
182°10''
；(2)$180° - 43°27'14'' =$
136°32'46''
；(3)$33°15'16'' ×5 =$
166°16'20''
；(4)$37°15' ÷3 =$
12°25'
。答案
6.(1) 182°10''
(2) 136°32'46''
(3) 166°16'20''
(4) 12°25'
(2) 136°32'46''
(3) 166°16'20''
(4) 12°25'
解析
【分析】
角度的度、分、秒为60进制，即$1°=60'$，$1'=60''$，运算时按以下思路进行：1. 加减法：同单位分别相加减，秒满60向分进1，分满60向度进1；不够减时从高一级单位借1当60再减。2. 乘法：分别用乘数乘度、分、秒，再按60进制从低位到高位依次进位。3. 除法：从最高单位度开始除，余数乘60转化为下一级单位，和原有下一级单位相加后再除，依次计算即可。
【解析】
(1) 同单位分别相加：
度：$154°+27°=181°$
分：$19'+40'=59'$
秒：$42''+28''=70''=1'10''$
将秒进位的$1'$加入分：$59'+1'=60'=1°$
再将分进位的$1°$加入度：$181°+1°=182°$，剩余$10''$，结果为$182°10''$。
(2) 把$180°$转化为$179°59'60''$（借$1°$当$60'$，再借$1'$当$60''$），再同单位相减：
度：$179°-43°=136°$
分：$59'-27'=32'$
秒：$60''-14''=46''$
结果为$136°32'46''$。
(3) 分别用5乘度、分、秒：
度：$33°×5=165°$
分：$15'×5=75'$
秒：$16''×5=80''=1'20''$
将秒进位的$1'$加入分：$75'+1'=76'=1°16'$
再将分进位的$1°$加入度：$165°+1°=166°$，剩余$16'20''$，结果为$166°16'20''$。
(4) 从度开始计算除法：
$37°÷3=12°\dots\dots$余$1°$，将$1°$转化为$60'$，和原有$15'$相加得$60'+15'=75'$
$75'÷3=25'$，结果为$12°25'$。
【答案】
(1)$182°10''$；(2)$136°32'46''$；(3)$166°16'20''$；(4)$12°25'$
【知识点】
度分秒换算、角度加减运算、角度乘除运算
【点评】
本题是角度运算的基础题型，核心考查度分秒的60进制运算规则，熟练掌握“满60进1、借1当60”的原则，按单位分步计算即可准确求解，是后续复杂角度计算的基础。
【难度系数】
0.7
角度的度、分、秒为60进制，即$1°=60'$，$1'=60''$，运算时按以下思路进行：1. 加减法：同单位分别相加减，秒满60向分进1，分满60向度进1；不够减时从高一级单位借1当60再减。2. 乘法：分别用乘数乘度、分、秒，再按60进制从低位到高位依次进位。3. 除法：从最高单位度开始除，余数乘60转化为下一级单位，和原有下一级单位相加后再除，依次计算即可。
【解析】
(1) 同单位分别相加：
度：$154°+27°=181°$
分：$19'+40'=59'$
秒：$42''+28''=70''=1'10''$
将秒进位的$1'$加入分：$59'+1'=60'=1°$
再将分进位的$1°$加入度：$181°+1°=182°$，剩余$10''$，结果为$182°10''$。
(2) 把$180°$转化为$179°59'60''$（借$1°$当$60'$，再借$1'$当$60''$），再同单位相减：
度：$179°-43°=136°$
分：$59'-27'=32'$
秒：$60''-14''=46''$
结果为$136°32'46''$。
(3) 分别用5乘度、分、秒：
度：$33°×5=165°$
分：$15'×5=75'$
秒：$16''×5=80''=1'20''$
将秒进位的$1'$加入分：$75'+1'=76'=1°16'$
再将分进位的$1°$加入度：$165°+1°=166°$，剩余$16'20''$，结果为$166°16'20''$。
(4) 从度开始计算除法：
$37°÷3=12°\dots\dots$余$1°$，将$1°$转化为$60'$，和原有$15'$相加得$60'+15'=75'$
$75'÷3=25'$，结果为$12°25'$。
【答案】
(1)$182°10''$；(2)$136°32'46''$；(3)$166°16'20''$；(4)$12°25'$
【知识点】
度分秒换算、角度加减运算、角度乘除运算
【点评】
本题是角度运算的基础题型，核心考查度分秒的60进制运算规则，熟练掌握“满60进1、借1当60”的原则，按单位分步计算即可准确求解，是后续复杂角度计算的基础。
【难度系数】
0.7
