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13.将连续的偶数2,4,6,8,…如图排列，并用一个十字形框架框住其中的五个数.
请你仔细观察十字形框架中数的规律，并回答下列问题：
(1)图中十字形框架中的五个数的和与中间的数16有什么关系？
(2)设中间的数为x，用式子表示十字形框架中的五个数的和.
请你仔细观察十字形框架中数的规律，并回答下列问题：
(1)图中十字形框架中的五个数的和与中间的数16有什么关系？
(2)设中间的数为x，用式子表示十字形框架中的五个数的和.
答案
13. 解:(1)$6+14+16+18+26=80=16×5$，
所以十字形框架中的五个数的和是中间的数16的5倍.
(2)十字形框架中的五个数的和为$(x-10)+(x+10)+(x-2)+(x+2)+x=5x$.
所以十字形框架中的五个数的和是中间的数16的5倍.
(2)十字形框架中的五个数的和为$(x-10)+(x+10)+(x-2)+(x+2)+x=5x$.
解析
【分析】
（1）要探究五个数的和与中间数16的关系，只需先算出十字框内五个数的总和，再对比总和与16的倍数关系即可得出结论。
（2）要表示五个数的和，先观察排列规律：每行有5个连续偶数，同一行相邻数相差2，同一列上下相邻数相差10（一行5个数，每个数差2，5个数共差10）。若中间数为x，可分别用含x的式子表示出上、下、左、右的四个数，再将五个数相加化简，就能得到总和的表达式。
【解析】
(1) 先计算十字形框架中五个数的和：
$6+14+16+18+26=80$
再验证和与16的关系：$80=16×5$，因此五个数的和是中间数16的5倍。
(2) 设中间的数为x，根据数的排列规律：
上方的数比x小10，为$x-10$；下方的数比x大10，为$x+10$；
左边的数比x小2，为$x-2$；右边的数比x大2，为$x+2$。
五个数的和为：
$\begin{aligned}&(x-10)+(x+10)+(x-2)+(x+2)+x\\=&x-10+x+10+x-2+x+2+x\\=&5x\end{aligned}$
【答案】
(1) 十字形框架中的五个数的和是中间的数16的5倍；
(2) 十字形框架中的五个数的和为$\boldsymbol{5x}$。
【知识点】
数字规律探究、列代数式、整式的加减
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题的关键是先观察得到同行、同列相邻数的差值规律，再用中间数表示其余四个数，通过整式加减运算得到结论，能够有效锻炼观察能力和代数表达能力。
【难度系数】
0.8
（1）要探究五个数的和与中间数16的关系，只需先算出十字框内五个数的总和，再对比总和与16的倍数关系即可得出结论。
（2）要表示五个数的和，先观察排列规律：每行有5个连续偶数，同一行相邻数相差2，同一列上下相邻数相差10（一行5个数，每个数差2，5个数共差10）。若中间数为x，可分别用含x的式子表示出上、下、左、右的四个数，再将五个数相加化简，就能得到总和的表达式。
【解析】
(1) 先计算十字形框架中五个数的和：
$6+14+16+18+26=80$
再验证和与16的关系：$80=16×5$，因此五个数的和是中间数16的5倍。
(2) 设中间的数为x，根据数的排列规律：
上方的数比x小10，为$x-10$；下方的数比x大10，为$x+10$；
左边的数比x小2，为$x-2$；右边的数比x大2，为$x+2$。
五个数的和为：
$\begin{aligned}&(x-10)+(x+10)+(x-2)+(x+2)+x\\=&x-10+x+10+x-2+x+2+x\\=&5x\end{aligned}$
【答案】
(1) 十字形框架中的五个数的和是中间的数16的5倍；
(2) 十字形框架中的五个数的和为$\boldsymbol{5x}$。
【知识点】
数字规律探究、列代数式、整式的加减
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题的关键是先观察得到同行、同列相邻数的差值规律，再用中间数表示其余四个数，通过整式加减运算得到结论，能够有效锻炼观察能力和代数表达能力。
【难度系数】
0.8
14.一个三位数，如果它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数为“和谐数”.最小的“和谐数”是多少？最大的“和谐数”是多少？
答案
14. 解:设“和谐数”的个位数字为$x$($x$大于或等于0),百位数字为$y$($y＞0$)，
则十位数字为$x+y$，
所以“和谐数”为$100y +10(x+y)+x=110y +11x$.
当$x=0,y=1$时,有最小的“和谐数”,是110；
当$x=0,y=9$时,有最大的“和谐数”,是990.
则十位数字为$x+y$，
所以“和谐数”为$100y +10(x+y)+x=110y +11x$.
当$x=0,y=1$时,有最小的“和谐数”,是110；
当$x=0,y=9$时,有最大的“和谐数”,是990.
解析
【分析】
解决本题首先要明确两个核心条件：一是三位数的数位取值规则，百位数字只能是1~9的正整数，个位、十位数字是0~9的整数；二是“和谐数”的定义：十位数字=个位数字+百位数字，因此十位数字最大为9，即个位数字与百位数字的和不能超过9。求最小和谐数时，遵循高位优先最小的原则，先让百位取最小的1，再让个位取最小的0，即可得到最小的符合要求的和谐数；求最大和谐数时，遵循高位优先最大的原则，先让百位取最大的9，再根据十位最大为9的限制，得个位只能取0，即可得到最大的和谐数。
【解析】
设“和谐数”的个位数字为$x$（$x$为大于或等于0的整数），百位数字为$y$（$y$为大于0的整数），根据“和谐数”的定义可得十位数字为$x+y$，且满足$x+y≤9$（数位上的数字最大为9）。
则这个“和谐数”可表示为：
$\begin{aligned}100y +10(x+y)+x&=100y+10x+10y+x\\&=110y +11x\end{aligned}$
求最小“和谐数”：要让三位数最小，优先让百位$y$取最小值1，再让个位$x$取最小值0，此时十位数字为$1+0=1$，符合数位要求，代入得和谐数为$110×1 +11×0=110$。
求最大“和谐数”：要让三位数最大，优先让百位$y$取最大值9，结合$x+y≤9$可得$x≤0$，又$x≥0$，故$x=0$，此时十位数字为$9+0=9$，符合数位要求，代入得和谐数为$110×9 +11×0=990$。
【答案】
最小的“和谐数”是110，最大的“和谐数”是990。
【知识点】
新定义问题，列代数式，整数最值分析
【点评】
本题结合新定义考查了数的表示和最值求解，解题的关键是明确各数位的取值限制，求最值时按照高位优先的规则推导即可，解题思路清晰，难度不高。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确两个核心条件：一是三位数的数位取值规则，百位数字只能是1~9的正整数，个位、十位数字是0~9的整数；二是“和谐数”的定义：十位数字=个位数字+百位数字，因此十位数字最大为9，即个位数字与百位数字的和不能超过9。求最小和谐数时，遵循高位优先最小的原则，先让百位取最小的1，再让个位取最小的0，即可得到最小的符合要求的和谐数；求最大和谐数时，遵循高位优先最大的原则，先让百位取最大的9，再根据十位最大为9的限制，得个位只能取0，即可得到最大的和谐数。
【解析】
设“和谐数”的个位数字为$x$（$x$为大于或等于0的整数），百位数字为$y$（$y$为大于0的整数），根据“和谐数”的定义可得十位数字为$x+y$，且满足$x+y≤9$（数位上的数字最大为9）。
则这个“和谐数”可表示为：
$\begin{aligned}100y +10(x+y)+x&=100y+10x+10y+x\\&=110y +11x\end{aligned}$
求最小“和谐数”：要让三位数最小，优先让百位$y$取最小值1，再让个位$x$取最小值0，此时十位数字为$1+0=1$，符合数位要求，代入得和谐数为$110×1 +11×0=110$。
求最大“和谐数”：要让三位数最大，优先让百位$y$取最大值9，结合$x+y≤9$可得$x≤0$，又$x≥0$，故$x=0$，此时十位数字为$9+0=9$，符合数位要求，代入得和谐数为$110×9 +11×0=990$。
【答案】
最小的“和谐数”是110，最大的“和谐数”是990。
【知识点】
新定义问题，列代数式，整数最值分析
【点评】
本题结合新定义考查了数的表示和最值求解，解题的关键是明确各数位的取值限制，求最值时按照高位优先的规则推导即可，解题思路清晰，难度不高。
【难度系数】
0.8
15.我们规定:若两个多项式相减的结果等于第三个多项式,则称这三个多项式为“友好多项式”.如:$A=5x+1,B=4-2x,C=7x-3,A-B=5x+1-(4-2x)=7x-3=C$,那么多项式A,B,C被称为“友好多项式”.
如图,现有甲、乙、丙、丁四张卡片.
(1)试判断甲、乙、丙三张卡片上的多项式是不是“友好多项式”,并说明理由.
(2)若丁卡片上的多项式与甲、乙两张卡片上的多项式是“友好多项式”,求丁卡片上的多项式$ax^2+bx+c$.
如图,现有甲、乙、丙、丁四张卡片.
(1)试判断甲、乙、丙三张卡片上的多项式是不是“友好多项式”,并说明理由.
(2)若丁卡片上的多项式与甲、乙两张卡片上的多项式是“友好多项式”,求丁卡片上的多项式$ax^2+bx+c$.
答案
15. 解:(1)甲、乙、丙三张卡片上的多项式是“友好多项式”.理由如下.
因为$(3x^2 -x +1)-(2x^2 -3x -2)$
$=3x^2 -x +1 -2x^2 +3x +2$
$=x^2 +2x +3$,
所以甲、乙、丙三张卡片上的多项式是“友好多项式”.
(2)由题意,得
①$ax^2 +bx +c$
$=(x^2 +2x +3)-(2x^2 -3x -2)$
$=x^2 +2x +3 -2x^2 +3x +2$
$=-x^2 +5x +5$；
②$ax^2 +bx +c$
$=(2x^2 -3x -2)-(x^2 +2x +3)$
$=2x^2 -3x -2 -x^2 -2x -3$
$=x^2 -5x -5$；
③$ax^2 +bx +c$
$=(x^2 +2x +3)+(2x^2 -3x -2)$
$=x^2 +2x +3 +2x^2 -3x -2$
$=3x^2 -x +1$.
所以丁卡片上的多项式为$-x^2 +5x +5$或$x^2 -5x -5$或$3x^2 -x +1$.
因为$(3x^2 -x +1)-(2x^2 -3x -2)$
$=3x^2 -x +1 -2x^2 +3x +2$
$=x^2 +2x +3$,
所以甲、乙、丙三张卡片上的多项式是“友好多项式”.
(2)由题意,得
①$ax^2 +bx +c$
$=(x^2 +2x +3)-(2x^2 -3x -2)$
$=x^2 +2x +3 -2x^2 +3x +2$
$=-x^2 +5x +5$；
②$ax^2 +bx +c$
$=(2x^2 -3x -2)-(x^2 +2x +3)$
$=2x^2 -3x -2 -x^2 -2x -3$
$=x^2 -5x -5$；
③$ax^2 +bx +c$
$=(x^2 +2x +3)+(2x^2 -3x -2)$
$=x^2 +2x +3 +2x^2 -3x -2$
$=3x^2 -x +1$.
所以丁卡片上的多项式为$-x^2 +5x +5$或$x^2 -5x -5$或$3x^2 -x +1$.
解析
【分析】
(1) 要判断甲、乙、丙是否为“友好多项式”，需紧扣定义：验证其中两个多项式相减的结果是否等于第三个多项式，可通过计算丙减乙，判断结果是否等于甲完成验证。
(2) 已知丁和甲、乙是“友好多项式”，需分三种情况讨论：①甲-乙=丁；②乙-甲=丁；③丁是被减数，即丁=甲+乙，分别计算三种情况的结果即可得到丁的所有可能表达式。
【解析】
(1) 甲、乙、丙三张卡片上的多项式是“友好多项式”，理由如下：
计算丙与乙的差：
$\begin{aligned}&(3x^2 -x +1)-(2x^2 -3x -2)\\=&3x^2 -x +1 -2x^2 +3x +2\\=&x^2 +2x +3\end{aligned}$
计算结果恰好等于甲卡片的多项式，符合“友好多项式”的定义，因此甲、乙、丙是“友好多项式”。
(2) 分三种情况计算丁卡片的多项式：
① 当丁=甲-乙时：
$\begin{aligned}ax^2+bx+c&=(x^2 +2x +3)-(2x^2 -3x -2)\\&=x^2 +2x +3 -2x^2 +3x +2\\&=-x^2 +5x +5\end{aligned}$
② 当丁=乙-甲时：
$\begin{aligned}ax^2+bx+c&=(2x^2 -3x -2)-(x^2 +2x +3)\\&=2x^2 -3x -2 -x^2 -2x -3\\&=x^2 -5x -5\end{aligned}$
③ 当丁=甲+乙时：
$\begin{aligned}ax^2+bx+c&=(x^2 +2x +3)+(2x^2 -3x -2)\\&=x^2 +2x +3 +2x^2 -3x -2\\&=3x^2 -x +1\end{aligned}$
【答案】
(1) 甲、乙、丙三张卡片上的多项式是“友好多项式”，理由见解析；
(2) 丁卡片上的多项式为$-x^2 +5x +5$或$x^2 -5x -5$或$3x^2 -x +1$。
【知识点】
新定义运算，整式的加减，合并同类项
【点评】
本题以新定义为载体考查整式加减运算，解题核心是紧扣新定义规则，注意分类讨论时做到不重不漏，运算过程中要特别关注去括号的符号变化，合并同类项时要保证同类项系数计算准确。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断甲、乙、丙是否为“友好多项式”，需紧扣定义：验证其中两个多项式相减的结果是否等于第三个多项式，可通过计算丙减乙，判断结果是否等于甲完成验证。
(2) 已知丁和甲、乙是“友好多项式”，需分三种情况讨论：①甲-乙=丁；②乙-甲=丁；③丁是被减数，即丁=甲+乙，分别计算三种情况的结果即可得到丁的所有可能表达式。
【解析】
(1) 甲、乙、丙三张卡片上的多项式是“友好多项式”，理由如下：
计算丙与乙的差：
$\begin{aligned}&(3x^2 -x +1)-(2x^2 -3x -2)\\=&3x^2 -x +1 -2x^2 +3x +2\\=&x^2 +2x +3\end{aligned}$
计算结果恰好等于甲卡片的多项式，符合“友好多项式”的定义，因此甲、乙、丙是“友好多项式”。
(2) 分三种情况计算丁卡片的多项式：
① 当丁=甲-乙时：
$\begin{aligned}ax^2+bx+c&=(x^2 +2x +3)-(2x^2 -3x -2)\\&=x^2 +2x +3 -2x^2 +3x +2\\&=-x^2 +5x +5\end{aligned}$
② 当丁=乙-甲时：
$\begin{aligned}ax^2+bx+c&=(2x^2 -3x -2)-(x^2 +2x +3)\\&=2x^2 -3x -2 -x^2 -2x -3\\&=x^2 -5x -5\end{aligned}$
③ 当丁=甲+乙时：
$\begin{aligned}ax^2+bx+c&=(x^2 +2x +3)+(2x^2 -3x -2)\\&=x^2 +2x +3 +2x^2 -3x -2\\&=3x^2 -x +1\end{aligned}$
【答案】
(1) 甲、乙、丙三张卡片上的多项式是“友好多项式”，理由见解析；
(2) 丁卡片上的多项式为$-x^2 +5x +5$或$x^2 -5x -5$或$3x^2 -x +1$。
【知识点】
新定义运算，整式的加减，合并同类项
【点评】
本题以新定义为载体考查整式加减运算，解题核心是紧扣新定义规则，注意分类讨论时做到不重不漏，运算过程中要特别关注去括号的符号变化，合并同类项时要保证同类项系数计算准确。
【难度系数】
0.7
