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1. (2026·广元)下列比-2小的实数是 ()
A.-3
B.-1
C.0
D.2
A.-3
B.-1
C.0
D.2
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要结合实数大小比较的法则逐步筛选：第一步，先利用“正数和0都大于负数”的规则，排除所有大于-2的非负数选项；第二步，对剩下的负数选项，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”的规则，分别和-2对比，即可选出符合要求的答案。
【解析】
根据实数大小比较的规则解题：
1. 正数大于所有负数，0大于所有负数，因此选项C（0）、D（2）都大于-2，直接排除；
2. 对剩余的两个负数选项，通过绝对值判断大小：
计算绝对值：$\vert -3\vert=3$，$\vert -2\vert=2$，$\vert -1\vert=1$；
因为$3＞2$，根据“两个负数比较，绝对值大的数更小”，可得$-3＜-2$；
因为$1＜2$，可得$-1＞-2$。
综上，比$-2$小的实数是$-3$。
【答案】
A
【知识点】
实数大小比较；绝对值的性质
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，解题核心是熟练掌握不同类型实数的大小关系，以及两个负数比较大小的判断方法，属于常规得分题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们需要结合实数大小比较的法则逐步筛选：第一步，先利用“正数和0都大于负数”的规则，排除所有大于-2的非负数选项；第二步，对剩下的负数选项，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”的规则，分别和-2对比，即可选出符合要求的答案。
【解析】
根据实数大小比较的规则解题：
1. 正数大于所有负数，0大于所有负数，因此选项C（0）、D（2）都大于-2，直接排除；
2. 对剩余的两个负数选项，通过绝对值判断大小：
计算绝对值：$\vert -3\vert=3$，$\vert -2\vert=2$，$\vert -1\vert=1$；
因为$3＞2$，根据“两个负数比较，绝对值大的数更小”，可得$-3＜-2$；
因为$1＜2$，可得$-1＞-2$。
综上，比$-2$小的实数是$-3$。
【答案】
A
【知识点】
实数大小比较；绝对值的性质
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，解题核心是熟练掌握不同类型实数的大小关系，以及两个负数比较大小的判断方法，属于常规得分题。
【难度系数】
0.9
2. 如图
,被阴影覆盖的可能是下面哪一个数 （）
A.$-\sqrt{3}$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{11}$
D.以上都不是
,被阴影覆盖的可能是下面哪一个数 （）A.$-\sqrt{3}$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{11}$
D.以上都不是
答案
B
解析
【分析】
解题第一步先观察数轴，确定被阴影覆盖的数的取值范围是大于1、小于3；第二步需要分别估算每个选项中无理数的大小，判断哪个数落在这个区间内即可得到答案。估算无理数大小时，我们可以通过找与被开方数相邻的两个完全平方数，来确定无理数的整数范围。
【解析】
解：由数轴可知，被阴影覆盖的数的取值范围是$1 ＜ x ＜ 3$。
对各选项逐一分析：
A. $-\sqrt{3}$是负数，即$-\sqrt{3}＜0＜1$，不在取值范围内，排除；
B. 因为$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{9}=3$，且$4＜7＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，符合$1 ＜ x ＜ 3$的范围；
C. 因为$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{16}=4$，且$9＜11＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$，不在取值范围内，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
实数与数轴；无理数大小估算
【点评】
本题解题的核心是先确定数轴上阴影区域的数值范围，再利用平方法估算无理数的大小，是对基础应用能力的考查，掌握常见无理数的估算技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题第一步先观察数轴，确定被阴影覆盖的数的取值范围是大于1、小于3；第二步需要分别估算每个选项中无理数的大小，判断哪个数落在这个区间内即可得到答案。估算无理数大小时，我们可以通过找与被开方数相邻的两个完全平方数，来确定无理数的整数范围。
【解析】
解：由数轴可知，被阴影覆盖的数的取值范围是$1 ＜ x ＜ 3$。
对各选项逐一分析：
A. $-\sqrt{3}$是负数，即$-\sqrt{3}＜0＜1$，不在取值范围内，排除；
B. 因为$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{9}=3$，且$4＜7＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，符合$1 ＜ x ＜ 3$的范围；
C. 因为$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{16}=4$，且$9＜11＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$，不在取值范围内，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
实数与数轴；无理数大小估算
【点评】
本题解题的核心是先确定数轴上阴影区域的数值范围，再利用平方法估算无理数的大小，是对基础应用能力的考查，掌握常见无理数的估算技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. (2024·日照)实数$-\dfrac{1}{3}$、0、$\sqrt{5}$、1.732中无理数是 ()
A.$-\dfrac{1}{3}$
B.0
C.$\sqrt{5}$
D.1.732
A.$-\dfrac{1}{3}$
B.0
C.$\sqrt{5}$
D.1.732
答案
C
解析
【分析】
解题的核心是明确无理数和有理数的定义，先回忆相关概念：有理数包括整数和分数，有限小数、无限循环小数都可转化为分数，属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、无限不循环小数三类。接下来逐个分析给出的4个实数的类别，即可选出正确答案。
【解析】
我们对四个选项逐一判断：
1. 选项A：$-\dfrac{1}{3}$是分数，属于有理数，不符合要求；
2. 选项B：0是整数，属于有理数，不符合要求；
3. 选项C：$\sqrt{5}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，符合要求；
4. 选项D：1.732是有限小数，可转化为分数，属于有理数，不符合要求。
综上，应选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的识别、实数的分类
【点评】
本题属于基础题，主要考查有理数和无理数的概念辨析，解题关键是牢记两类数的定义和常见特征，避免将有限小数、分数误认为无理数。
【难度系数】
0.9
解题的核心是明确无理数和有理数的定义，先回忆相关概念：有理数包括整数和分数，有限小数、无限循环小数都可转化为分数，属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、无限不循环小数三类。接下来逐个分析给出的4个实数的类别，即可选出正确答案。
【解析】
我们对四个选项逐一判断：
1. 选项A：$-\dfrac{1}{3}$是分数，属于有理数，不符合要求；
2. 选项B：0是整数，属于有理数，不符合要求；
3. 选项C：$\sqrt{5}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，符合要求；
4. 选项D：1.732是有限小数，可转化为分数，属于有理数，不符合要求。
综上，应选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的识别、实数的分类
【点评】
本题属于基础题，主要考查有理数和无理数的概念辨析，解题关键是牢记两类数的定义和常见特征，避免将有限小数、分数误认为无理数。
【难度系数】
0.9
4. (2024·西藏)下列实数中最小的是 ()
A.-2
B.0
C.$\frac{1}{2}$
D.1
A.-2
B.0
C.$\frac{1}{2}$
D.1
答案
A
解析
【分析】
要找出最小的实数，需结合实数大小比较的基本法则思考：首先明确实数分为负实数、0、正实数三类，大小关系为负实数＜0＜正实数，先对四个选项的数进行正负性分类，就能快速定位最小的数。
【解析】
根据实数大小比较的法则：
1. 负实数都小于0，正实数都大于0，正实数大于一切负实数。
2. 对各选项逐一判断：
选项A：$-2$是负实数，小于0；
选项B：0既不是正数也不是负数；
选项C：$\frac{1}{2}$是正实数，大于0；
选项D：1是正实数，大于0。
因此四个数的大小关系为：$-2＜0＜\frac{1}{2}＜1$，最小的数是$-2$。
【答案】
A
【知识点】
实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，主要考查实数大小比较规则的应用，熟练掌握不同类型实数的大小关系就能快速解题。
【难度系数】
0.9
要找出最小的实数，需结合实数大小比较的基本法则思考：首先明确实数分为负实数、0、正实数三类，大小关系为负实数＜0＜正实数，先对四个选项的数进行正负性分类，就能快速定位最小的数。
【解析】
根据实数大小比较的法则：
1. 负实数都小于0，正实数都大于0，正实数大于一切负实数。
2. 对各选项逐一判断：
选项A：$-2$是负实数，小于0；
选项B：0既不是正数也不是负数；
选项C：$\frac{1}{2}$是正实数，大于0；
选项D：1是正实数，大于0。
因此四个数的大小关系为：$-2＜0＜\frac{1}{2}＜1$，最小的数是$-2$。
【答案】
A
【知识点】
实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，主要考查实数大小比较规则的应用，熟练掌握不同类型实数的大小关系就能快速解题。
【难度系数】
0.9
5. (2024·新疆)估计$\sqrt{5}$的值在 （）
A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间
A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间
答案
A
解析
【分析】
要估计$\sqrt{5}$的取值范围，可使用“夹逼法”：先找到两个连续的正整数，使得这两个数的平方分别小于5和大于5，再根据算术平方根的大小比较规律，即可推出$\sqrt{5}$的所在范围。
【解析】
先计算相邻正整数的平方：
∵ $2^2=4$，$3^2=9$，
又
∵ $4＜5＜9$，
根据算术平方根的性质：正数越大，它的算术平方根也越大，可得：
$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，
即 $2＜\sqrt{5}＜3$，
因此$\sqrt{5}$的值在2和3之间。
【答案】
A
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是基础常考题，核心考查估算无理数大小的能力，熟练掌握“夹逼法”的运用即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要估计$\sqrt{5}$的取值范围，可使用“夹逼法”：先找到两个连续的正整数，使得这两个数的平方分别小于5和大于5，再根据算术平方根的大小比较规律，即可推出$\sqrt{5}$的所在范围。
【解析】
先计算相邻正整数的平方：
∵ $2^2=4$，$3^2=9$，
又
∵ $4＜5＜9$，
根据算术平方根的性质：正数越大，它的算术平方根也越大，可得：
$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，
即 $2＜\sqrt{5}＜3$，
因此$\sqrt{5}$的值在2和3之间。
【答案】
A
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是基础常考题，核心考查估算无理数大小的能力，熟练掌握“夹逼法”的运用即可快速解题。
【难度系数】
0.9
6.若$[x]$表示实数$x$的整数部分,例如:$[3.5]=3$,则$[\sqrt{17}]=$.
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
解题首先要明确取整符号$[x]$的含义：$[x]$是指不超过实数$x$的最大整数，因此只需要先确定$\sqrt{17}$所在的相邻整数区间，即可得到它的整数部分。解题步骤为：先找到平方后分别小于、大于17的两个相邻正整数，从而确定$\sqrt{17}$的取值范围，再结合取整的定义得出结果。
【解析】
解：先计算相邻正整数的平方：
$\because 4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜17＜25$，
$\therefore$ 根据算术平方根的性质可得：$4＜\sqrt{17}＜5$，
又$\because [x]$表示实数$x$的整数部分，即不超过$x$的最大整数，
$\therefore [\sqrt{17}]=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 取整符号的定义
【点评】
本题侧重基础概念的考察，只要掌握取整符号的含义，会通过相邻整数的平方估算无理数的大小，就能快速解答。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确取整符号$[x]$的含义：$[x]$是指不超过实数$x$的最大整数，因此只需要先确定$\sqrt{17}$所在的相邻整数区间，即可得到它的整数部分。解题步骤为：先找到平方后分别小于、大于17的两个相邻正整数，从而确定$\sqrt{17}$的取值范围，再结合取整的定义得出结果。
【解析】
解：先计算相邻正整数的平方：
$\because 4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜17＜25$，
$\therefore$ 根据算术平方根的性质可得：$4＜\sqrt{17}＜5$，
又$\because [x]$表示实数$x$的整数部分，即不超过$x$的最大整数，
$\therefore [\sqrt{17}]=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 取整符号的定义
【点评】
本题侧重基础概念的考察，只要掌握取整符号的含义，会通过相邻整数的平方估算无理数的大小，就能快速解答。
【难度系数】
0.8
7. 已知实数a在数轴上的对应点如图2所示，计算：$|a-\sqrt{3}|-|2-a|=$。
答案
$\sqrt{3}-2$
解析
【分析】
首先观察数轴获取实数a的取值范围：a在0的左侧，因此$a＜0$。要计算含绝对值的代数式，需先根据a的范围判断绝对值内两个式子的正负性，再结合绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号，最后去括号合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：由数轴可得$a＜0$，
∴ $a-\sqrt{3}＜0$，$2-a=2+(-a)＞0$，
根据绝对值的性质化简：
$|a-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-a$，$|2-a|=2-a$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{3}-a)-(2-a)\\&=\sqrt{3}-a-2+a\\&=\sqrt{3}-2\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{3}-2$
【知识点】
数轴的应用；绝对值化简；实数运算
【点评】
本题是基础类题型，重点考察结合数轴判断实数大小、绝对值性质的应用，解题的关键是准确判断绝对值内代数式的正负，去括号时要注意符号变化。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴获取实数a的取值范围：a在0的左侧，因此$a＜0$。要计算含绝对值的代数式，需先根据a的范围判断绝对值内两个式子的正负性，再结合绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号，最后去括号合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：由数轴可得$a＜0$，
∴ $a-\sqrt{3}＜0$，$2-a=2+(-a)＞0$，
根据绝对值的性质化简：
$|a-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-a$，$|2-a|=2-a$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{3}-a)-(2-a)\\&=\sqrt{3}-a-2+a\\&=\sqrt{3}-2\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{3}-2$
【知识点】
数轴的应用；绝对值化简；实数运算
【点评】
本题是基础类题型，重点考察结合数轴判断实数大小、绝对值性质的应用，解题的关键是准确判断绝对值内代数式的正负，去括号时要注意符号变化。
【难度系数】
0.7
8. 已知$\sqrt{4-x^2}$的值是整数,那么$x$的值是.(填一个$x$的值即可)
答案
$0$（答案不唯一，$x=\pm2$、$x=\pm\sqrt{3}$均符合要求）
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需满足二次根式有意义的条件，即被开方数是非负数，先确定4-x²的取值范围；再结合√(4-x²)是整数的条件，可知4-x²必须是一个非负的完全平方数，据此分类计算即可得到符合要求的x的值，任选一个填写即可。
【解析】
第一步：根据二次根式有意义的条件，被开方数≥0，可得：
$4 - x^2 ≥ 0$，即$x^2 ≤ 4$。
第二步：因为$\sqrt{4-x^2}$是整数，所以4-x²是0、1、4这类非负完全平方数：
① 当$4 - x^2 = 0$时，$x^2=4$，解得$x=\pm2$；
② 当$4 - x^2 = 1$时，$x^2=3$，解得$x=\pm\sqrt{3}$；
③ 当$4 - x^2 = 4$时，$x^2=0$，解得$x=0$。
题目要求填一个x的值，任选上述结果中的一个即可。
【答案】
$0$（答案不唯一，$x=\pm2$、$x=\pm\sqrt{3}$均符合要求）
【知识点】
二次根式有意义的条件；完全平方数；二次根式的性质
【点评】
本题主要考查二次根式的相关性质，解题时要先确定被开方数的取值范围，再结合整数的限定条件分类讨论，解题思路清晰，注意答案不唯一，写出任意一个符合要求的结果即可。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需满足二次根式有意义的条件，即被开方数是非负数，先确定4-x²的取值范围；再结合√(4-x²)是整数的条件，可知4-x²必须是一个非负的完全平方数，据此分类计算即可得到符合要求的x的值，任选一个填写即可。
【解析】
第一步：根据二次根式有意义的条件，被开方数≥0，可得：
$4 - x^2 ≥ 0$，即$x^2 ≤ 4$。
第二步：因为$\sqrt{4-x^2}$是整数，所以4-x²是0、1、4这类非负完全平方数：
① 当$4 - x^2 = 0$时，$x^2=4$，解得$x=\pm2$；
② 当$4 - x^2 = 1$时，$x^2=3$，解得$x=\pm\sqrt{3}$；
③ 当$4 - x^2 = 4$时，$x^2=0$，解得$x=0$。
题目要求填一个x的值，任选上述结果中的一个即可。
【答案】
$0$（答案不唯一，$x=\pm2$、$x=\pm\sqrt{3}$均符合要求）
【知识点】
二次根式有意义的条件；完全平方数；二次根式的性质
【点评】
本题主要考查二次根式的相关性质，解题时要先确定被开方数的取值范围，再结合整数的限定条件分类讨论，解题思路清晰，注意答案不唯一，写出任意一个符合要求的结果即可。
【难度系数】
0.8
9. 已知$3a+4$的立方根是$4$，$b+1$是$9$的算术平方根.
(1)求$a$、$b$的值.
(2)求$a+b+3$的平方根.
(1)求$a$、$b$的值.
(2)求$a+b+3$的平方根.
答案
解：
(1) ∵ 3a+4的立方根是4，
∴ $3a+4=4^3=64$，
解得 $a=20$。
∵ $b+1$是9的算术平方根，9的算术平方根为3，
∴ $b+1=3$，
解得 $b=2$。
(2) 将$a=20$，$b=2$代入$a+b+3$，得
$a+b+3=20+2+3=25$，
∵ 25的平方根是$\pm5$，
∴ $a+b+3$的平方根是$\pm5$。
(1) ∵ 3a+4的立方根是4，
∴ $3a+4=4^3=64$，
解得 $a=20$。
∵ $b+1$是9的算术平方根，9的算术平方根为3，
∴ $b+1=3$，
解得 $b=2$。
(2) 将$a=20$，$b=2$代入$a+b+3$，得
$a+b+3=20+2+3=25$，
∵ 25的平方根是$\pm5$，
∴ $a+b+3$的平方根是$\pm5$。
解析
【分析】
本题考查实数中根的相关概念应用，解题思路如下：(1)求a的值时，根据立方根的性质：若一个数的立方根是m，则这个数等于m的立方，据此列关于a的方程即可求解；求b的值时，先明确9的算术平方根是3，再根据b+1等于3列方程求解即可。(2)先将(1)中求得的a、b代入a+b+3计算出结果，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，求出结果即可，注意不要漏掉负的平方根。
【解析】
(1)
∵ $3a+4$的立方根是4，
∴ $3a+4=4^3=64$，
移项计算得$3a=60$，解得 $a=20$。
∵ $b+1$是9的算术平方根，9的算术平方根为3，
∴ $b+1=3$，
解得 $b=2$。
(2) 将$a=20$，$b=2$代入$a+b+3$，得
$a+b+3=20+2+3=25$，
∵ 25的平方根是$\pm\sqrt{25}=\pm5$，
∴ $a+b+3$的平方根是$\pm5$。
【答案】
(1)$a=20$，$b=2$；(2)$\pm5$
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义；平方根的运算
【点评】
本题属于基础概念题，解题的核心是准确区分立方根、算术平方根、平方根的定义，尤其注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免漏解，掌握相关概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题考查实数中根的相关概念应用，解题思路如下：(1)求a的值时，根据立方根的性质：若一个数的立方根是m，则这个数等于m的立方，据此列关于a的方程即可求解；求b的值时，先明确9的算术平方根是3，再根据b+1等于3列方程求解即可。(2)先将(1)中求得的a、b代入a+b+3计算出结果，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，求出结果即可，注意不要漏掉负的平方根。
【解析】
(1)
∵ $3a+4$的立方根是4，
∴ $3a+4=4^3=64$，
移项计算得$3a=60$，解得 $a=20$。
∵ $b+1$是9的算术平方根，9的算术平方根为3，
∴ $b+1=3$，
解得 $b=2$。
(2) 将$a=20$，$b=2$代入$a+b+3$，得
$a+b+3=20+2+3=25$，
∵ 25的平方根是$\pm\sqrt{25}=\pm5$，
∴ $a+b+3$的平方根是$\pm5$。
【答案】
(1)$a=20$，$b=2$；(2)$\pm5$
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义；平方根的运算
【点评】
本题属于基础概念题，解题的核心是准确区分立方根、算术平方根、平方根的定义，尤其注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免漏解，掌握相关概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
