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9. 小明把一个长、宽、高分别为8 cm、4 cm、2 cm 的长方体容器中装满水,将该容器中的水全部倒入另一个正方体容器中,恰好倒满(两容器的厚度忽略不计),求此正方体容器的棱长.
答案
解：
长方体容器内水的体积为 $ 8 × 4 × 2 = 64 \, \mathrm{cm}^3 $。
设正方体容器的棱长为$ x \, \mathrm{cm} $，根据水的体积等于正方体容器的容积，可得：
$ x^3 = 64 $
由立方根的定义，解得 $ x = \sqrt[3]{64} = 4 $。
答：此正方体容器的棱长为4 cm。
长方体容器内水的体积为 $ 8 × 4 × 2 = 64 \, \mathrm{cm}^3 $。
设正方体容器的棱长为$ x \, \mathrm{cm} $，根据水的体积等于正方体容器的容积，可得：
$ x^3 = 64 $
由立方根的定义，解得 $ x = \sqrt[3]{64} = 4 $。
答：此正方体容器的棱长为4 cm。
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住“水的体积不变”这一关键条件。第一步先计算长方体容器内装满水时水的体积，也就是长方体的容积；第二步由于水全部倒入正方体容器刚好倒满，说明正方体的容积等于水的体积，结合正方体体积=棱长³的公式，设棱长为未知数列方程，最后通过求立方根即可得到棱长。
【解析】
首先计算长方体容器内水的体积，根据长方体体积公式：体积=长×宽×高，可得水的体积为：
$ 8 × 4 × 2 = 64 \, \mathrm{cm}^3 $
设正方体容器的棱长为$ x \, \mathrm{cm} $，根据水的体积等于正方体容器的容积，可列方程：
$ x^3 = 64 $
根据立方根的定义求解，得 $ x = \sqrt[3]{64} = 4 $。
【答案】
4 cm
【知识点】
长方体体积计算、正方体体积计算、立方根的应用
【点评】
本题是立方根的实际应用基础题，解题关键是抓住水体积不变的等量关系，结合常见几何体的体积公式列式，再运用立方根的知识求解即可，侧重考察基础知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是抓住“水的体积不变”这一关键条件。第一步先计算长方体容器内装满水时水的体积，也就是长方体的容积；第二步由于水全部倒入正方体容器刚好倒满，说明正方体的容积等于水的体积，结合正方体体积=棱长³的公式，设棱长为未知数列方程，最后通过求立方根即可得到棱长。
【解析】
首先计算长方体容器内水的体积，根据长方体体积公式：体积=长×宽×高，可得水的体积为：
$ 8 × 4 × 2 = 64 \, \mathrm{cm}^3 $
设正方体容器的棱长为$ x \, \mathrm{cm} $，根据水的体积等于正方体容器的容积，可列方程：
$ x^3 = 64 $
根据立方根的定义求解，得 $ x = \sqrt[3]{64} = 4 $。
【答案】
4 cm
【知识点】
长方体体积计算、正方体体积计算、立方根的应用
【点评】
本题是立方根的实际应用基础题，解题关键是抓住水体积不变的等量关系，结合常见几何体的体积公式列式，再运用立方根的知识求解即可，侧重考察基础知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.8
10. (1)填写下表：
(2)由此你发现了什么规律？用语言叙述这个规律：。
(3)根据你发现的规律填空：
①用计算器计算$\sqrt[3]{6} \approx 1.817$，则$\sqrt[3]{6000} \approx$，$\sqrt[3]{0.006} \approx$；
②用计算器计算$\sqrt[3]{0.000456} \approx 0.07697$，则$\sqrt[3]{456} \approx$。
(2)由此你发现了什么规律？用语言叙述这个规律：。
(3)根据你发现的规律填空：
①用计算器计算$\sqrt[3]{6} \approx 1.817$，则$\sqrt[3]{6000} \approx$，$\sqrt[3]{0.006} \approx$；
②用计算器计算$\sqrt[3]{0.000456} \approx 0.07697$，则$\sqrt[3]{456} \approx$。
答案
解：
(1) 计算各立方根：
$\sqrt[3]{0.000001}=0.01$，$\sqrt[3]{0.001}=0.1$，$\sqrt[3]{1}=1$，$\sqrt[3]{1000}=10$，$\sqrt[3]{1000000}=100$
表格从左到右依次填写：$0.01$，$0.1$，$1$，$10$，$100$。
(2) 被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位。
(3) ① 由规律得：$\sqrt[3]{6000}\approx18.17$，$\sqrt[3]{0.006}\approx0.1817$；
② 由规律得：$\sqrt[3]{456}\approx7.697$。
(1) 计算各立方根：
$\sqrt[3]{0.000001}=0.01$，$\sqrt[3]{0.001}=0.1$，$\sqrt[3]{1}=1$，$\sqrt[3]{1000}=10$，$\sqrt[3]{1000000}=100$
表格从左到右依次填写：$0.01$，$0.1$，$1$，$10$，$100$。
(2) 被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位。
(3) ① 由规律得：$\sqrt[3]{6000}\approx18.17$，$\sqrt[3]{0.006}\approx0.1817$；
② 由规律得：$\sqrt[3]{456}\approx7.697$。
解析
【分析】
本题分为三小问，解题思路如下：1. 第一问求各数的立方根，根据立方根的定义：若x³=a，则x是a的立方根，找到对应立方等于被开方数的数即可填表；2. 第二问探究规律，对比表格中被开方数a的小数点移动位数和对应立方根的小数点移动位数，总结共性即可得到规律；3. 第三问是规律的应用，根据第二问得到的小数点移动规律，直接移动已知立方根的小数点就能得到结果，无需额外计算。
【解析】
(1) 根据立方根定义计算：
$\sqrt[3]{0.000001}=0.01$，因为$0.01^3=0.000001$；
$\sqrt[3]{0.001}=0.1$，因为$0.1^3=0.001$；
$\sqrt[3]{1}=1$，因为$1^3=1$；
$\sqrt[3]{1000}=10$，因为$10^3=1000$；
$\sqrt[3]{1000000}=100$，因为$100^3=1000000$；
故表格从左到右依次填：0.01，0.1，1，10，100。
(2) 观察表格数据：被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，对应的立方根的小数点就同向移动1位，据此总结规律即可。
(3) ① 已知$\sqrt[3]{6}\approx1.817$，6到6000小数点向右移动3位，所以立方根小数点右移1位，得$\sqrt[3]{6000}\approx18.17$；6到0.006小数点向左移动3位，所以立方根小数点左移1位，得$\sqrt[3]{0.006}\approx0.1817$；
② 已知$\sqrt[3]{0.000456}\approx0.07697$，0.000456到456小数点向右移动6位（即2次3位），所以立方根小数点右移2位，得$\sqrt[3]{456}\approx7.697$。
【答案】
(1) 从左到右依次为：$\boldsymbol{0.01}$，$\boldsymbol{0.1}$，$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{10}$，$\boldsymbol{100}$；
(2) 被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位；
(3) ①$\boldsymbol{18.17}$，$\boldsymbol{0.1817}$；②$\boldsymbol{7.697}$
【知识点】
立方根的定义；立方根的性质
【点评】
本题是立方根相关的基础题，通过计算、探究规律、应用规律三个环节，既考查了立方根的基础计算能力，也锻炼了归纳推理和知识迁移应用的能力，是立方根板块的典型习题。
【难度系数】
0.8
本题分为三小问，解题思路如下：1. 第一问求各数的立方根，根据立方根的定义：若x³=a，则x是a的立方根，找到对应立方等于被开方数的数即可填表；2. 第二问探究规律，对比表格中被开方数a的小数点移动位数和对应立方根的小数点移动位数，总结共性即可得到规律；3. 第三问是规律的应用，根据第二问得到的小数点移动规律，直接移动已知立方根的小数点就能得到结果，无需额外计算。
【解析】
(1) 根据立方根定义计算：
$\sqrt[3]{0.000001}=0.01$，因为$0.01^3=0.000001$；
$\sqrt[3]{0.001}=0.1$，因为$0.1^3=0.001$；
$\sqrt[3]{1}=1$，因为$1^3=1$；
$\sqrt[3]{1000}=10$，因为$10^3=1000$；
$\sqrt[3]{1000000}=100$，因为$100^3=1000000$；
故表格从左到右依次填：0.01，0.1，1，10，100。
(2) 观察表格数据：被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，对应的立方根的小数点就同向移动1位，据此总结规律即可。
(3) ① 已知$\sqrt[3]{6}\approx1.817$，6到6000小数点向右移动3位，所以立方根小数点右移1位，得$\sqrt[3]{6000}\approx18.17$；6到0.006小数点向左移动3位，所以立方根小数点左移1位，得$\sqrt[3]{0.006}\approx0.1817$；
② 已知$\sqrt[3]{0.000456}\approx0.07697$，0.000456到456小数点向右移动6位（即2次3位），所以立方根小数点右移2位，得$\sqrt[3]{456}\approx7.697$。
【答案】
(1) 从左到右依次为：$\boldsymbol{0.01}$，$\boldsymbol{0.1}$，$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{10}$，$\boldsymbol{100}$；
(2) 被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位；
(3) ①$\boldsymbol{18.17}$，$\boldsymbol{0.1817}$；②$\boldsymbol{7.697}$
【知识点】
立方根的定义；立方根的性质
【点评】
本题是立方根相关的基础题，通过计算、探究规律、应用规律三个环节，既考查了立方根的基础计算能力，也锻炼了归纳推理和知识迁移应用的能力，是立方根板块的典型习题。
【难度系数】
0.8
