1. -8 的立方根是 （）

A.4
B.2
C.-2
D.±2

C

【分析】
本题考查立方根的求解，解题思路如下：第一步先回忆立方根的定义：若一个数x的立方等于a，那么x就叫做a的立方根；第二步牢记立方根的性质：任意实数都有且只有1个立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0，据此可先排除出现两个结果的D选项；第三步逐一计算各选项的三次方，找到立方结果等于-8的选项即可。
【解析】
解：根据立方根的定义，若一个数的立方等于-8，该数就是-8的立方根。
分别计算各选项：
A选项：$4^3=4×4×4=64≠-8$，不符合要求；
B选项：$2^3=2×2×2=8≠-8$，不符合要求；
C选项：$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，符合要求；
D选项：由立方根的性质可知，负数的立方根只有1个负数，不可能是±2，不符合要求。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
立方根的定义、立方根的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是区分立方根与平方根的性质差异，牢记任意实数的立方根唯一，结合乘方的逆运算即可快速得出结果，注意不要混淆平方根的双值性错选D。
【难度系数】
0.9

2. 下列说法错误的是 （）

A.27 的立方根为 3
B.若a 的立方等于 27,则 a=3
C.$\sqrt[3]{27}=\pm3$
D.-27 的立方根是-3

C

【分析】
本题考查立方根的相关知识，解题时首先明确立方根的定义和性质：若一个数x的立方等于a，即$x^3=a$，那么x叫做a的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$；且正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，任意数的立方根都只有1个，和平方根的性质有明显区别。接下来我们逐个判断每个选项的正误，找到错误的选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：因为$3^3=3×3×3=27$，所以27的立方根为3，该选项说法正确，不符合题意；
B选项：若$a^3=27$，根据立方根的定义，a是27的立方根，27的立方根只有3，所以$a=3$，该选项说法正确，不符合题意；
C选项：$\sqrt[3]{27}$表示27的立方根，根据立方根的性质，正数的立方根只有1个正数，所以$\sqrt[3]{27}=3$，不存在$-3$的情况，该选项说法错误，符合题意；
D选项：因为$(-3)^3=(-3)×(-3)×(-3)=-27$，所以-27的立方根是-3，该选项说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
立方根的定义、立方根的性质
【点评】
本题是基础概念类考题，解题的关键是明确立方根与平方根的区别，避免混淆两者的性质，尤其要注意正数的立方根仅有一个正数，不要误记为和平方根一样有正负两个值。
【难度系数】
0.8

3. 下列各组数互为相反数的是 （）

A.$-2$与$\sqrt{(-2)^2}$
B.$-2$与$\sqrt[3]{-8}$
C.$2$与$\sqrt{4}$
D.$\sqrt[3]{64}$与$-8$

A

【分析】
解题首先要明确相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，且互为相反数的两个数和为0。解题步骤为：①先将每个选项中带根号的数根据算术平方根、立方根的运算规则化简为具体数值；②将化简后的数和同组的另一个数对比，判断是否符合相反数的定义；③排除错误选项，选出正确答案。
【解析】
首先明确相反数的判定规则：两个数绝对值相等、符号相反时，互为相反数。
逐个分析选项：
A选项：先化简$\sqrt{(-2)^2}$，先计算被开方数$(-2)^2=4$，算术平方根$\sqrt{4}=2$，$-2$和$2$绝对值相等、符号相反，互为相反数，符合要求；
B选项：化简$\sqrt[3]{-8}$，因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$，与同组的$-2$相等，不是相反数，不符合；
C选项：化简$\sqrt{4}=2$，与同组的$2$相等，不是相反数，不符合；
D选项：化简$\sqrt[3]{64}$，因为$4^3=64$，所以$\sqrt[3]{64}=4$，$4$和$-8$绝对值不相等，不是相反数，不符合。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
相反数的定义；算术平方根的化简；立方根的化简
【点评】
本题属于基础概念综合题，核心考查对算术平方根、立方根化简规则的掌握和相反数概念的理解，解题的易错点是混淆算术平方根和立方根的符号规则，只要熟练掌握基础运算就能快速判断。
【难度系数】
0.8

4. 将一块体积为$64\ \mathrm{cm}^3$的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（）

A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm

A

【分析】
解题时先理清思路：首先根据大正方体的总体积和等分的小正方体数量，求出单个小正方体的体积；再结合正方体体积与棱长的关系，通过求立方根得到小正方体的棱长即可。
【解析】
第一步：计算每个小正方体的体积。
已知大正方体体积为$64\ \mathrm{cm}^3$，锯成8块同样大小的小正方体，因此每个小正方体的体积为：
$64÷8=8\ \mathrm{cm}^3$
第二步：根据正方体体积公式求棱长。
设小正方体的棱长为$a\ \mathrm{cm}$，由正方体体积公式$V=a^3$可得：
$a^3=8$
对8开立方得$a=\sqrt[3]{8}=2$，即小正方体的棱长为2 cm。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正方体体积计算、立方根的运算
【点评】
本题是立方根在几何体计算中的基础应用，只要掌握正方体体积公式和简单的立方根运算就能顺利解题，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9

5.若$x^2=1$，则$\sqrt[3]{x}$的值为。

解：
∵ $x^2=1$，
∴ $x=\pm1$。
当$x=1$时，$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{1}=1$；
当$x=-1$时，$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{-1}=-1$。
∴ $\sqrt[3]{x}$的值为$1$或$-1$。

【分析】
解题思路分两步：第一步先根据已知条件$x^2=1$求出x的所有可能取值，因为互为相反数的两个数平方相等，所以x有两个取值，不能漏解；第二步再将x的两个取值分别代入求立方根，结合立方根的性质（正数的立方根为正数，负数的立方根为负数）计算即可。
【解析】
∵ $x^2=1$，
∴ $x=\pm1$。
当$x=1$时，$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{1}=1$；
当$x=-1$时，$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{-1}=-1$。
∴ $\sqrt[3]{x}$的值为$1$或$-1$。
【答案】
1或$-1$
【知识点】
平方根的定义，立方根的运算
【点评】
本题是基础运算题，主要考查平方根和立方根的性质，易错点是求解x时遗漏$x=-1$的情况，或是错误认为负数没有立方根导致漏解，解题时要全面考虑取值，牢记立方根的相关性质。
【难度系数】
0.8

6.若a与b互为相反数,则它们的立方根的和是.

$\boldsymbol{0}$

【分析】
解题时首先根据相反数的定义得到a和b的数量关系，再结合立方根的性质计算两者立方根的和。第一步，回忆互为相反数的性质：若a、b互为相反数，则$a=-b$（或$a+b=0$）；第二步，将两者立方根的和表示为$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$，把$a=-b$代入表达式；第三步，利用立方根的性质“负数的立方根是负数，即$\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$”化简计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵a与b互为相反数
∴$a=-b$
∴它们的立方根的和为：
$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{-b}+\sqrt[3]{b}$
根据立方根的性质可得$\sqrt[3]{-b}=-\sqrt[3]{b}$
代入得：$-\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}=0$
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
相反数的性质；立方根的性质
【点评】
本题属于基础性质应用题，将相反数的代数意义与立方根的性质结合考查，熟练掌握基础概念的性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8

7.已知$3a+1$的算术平方根是5，$4-2b$的立方根是2，求$a-b$的值.

解：
∵3a+1的算术平方根是5，
∴$3a+1 = 5^2 = 25$，
解得$a=8$。
∵4-2b的立方根是2，
∴$4-2b = 2^3 = 8$，
解得$b=-2$。
∴$a-b = 8 - (-2) = 10$。

【分析】
解题时首先回忆算术平方根和立方根的定义：若一个非负数x的平方等于y，则x是y的算术平方根；若一个数x的立方等于y，则x是y的立方根。我们可以根据定义分别列出关于a、b的一元一次方程，解出a、b的值后，代入a-b计算即可得到结果。
【解析】
∵3a+1的算术平方根是5，
∴$3a+1 = 5^2 = 25$，
解得$a=8$。
∵4-2b的立方根是2，
∴$4-2b = 2^3 = 8$，
解得$b=-2$。
∴$a-b = 8 - (-2) = 10$。
【答案】
10
【知识点】
算术平方根的定义、立方根的定义、代数式求值
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对算术平方根和立方根定义的理解运用，解题时注意计算过程中的符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8

8. 先阅读材料，再解答问题.
∵ $-\sqrt[3]{1}=-1$，$\sqrt[3]{-1}=-1$，∴ $-\sqrt[3]{1}=\sqrt[3]{-1}$.
∵ $-\sqrt[3]{8}=-2$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，∴ $-\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{-8}$.
∵ $-\sqrt[3]{27}=-3$，$\sqrt[3]{-27}=-3$，∴ $-\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{-27}$.
…
∵ $-\sqrt[3]{n^3}=\underline{①}$，$\sqrt[3]{-n^3}=\underline{②}$，
∴ $\underline{③}=\underline{④}$.
(1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为$\underline{⑤}$.
(2)计算$\sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{-8}+\sqrt[3]{-27}+\dots+\sqrt[3]{-100^3}$的值.

解：
$\because -\sqrt[3]{n^3}=-n$，$\sqrt[3]{-n^3}=-n$，
$\therefore -\sqrt[3]{n^3}=\sqrt[3]{-n^3}$。
(1) ① $\boldsymbol{-n}$；② $\boldsymbol{-n}$；③ $\boldsymbol{-\sqrt[3]{n^3}}$；④ $\boldsymbol{\sqrt[3]{-n^3}}$；
⑤ 互为相反数。
(2) 由上述规律可知$\sqrt[3]{-k^3}=-\sqrt[3]{k^3}=-k$，
$\begin{aligned}\sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{-8}+\sqrt[3]{-27}+\dots+\sqrt[3]{-100^3}&= -1 - 2 - 3 - \dots - 100 \\&= -(1+2+3+\dots+100) \\&= -\frac{(1+100)×100}{2} \\&= -5050\end{aligned}$

【分析】
首先观察给出的几组特殊等式，可发现规律：负的某正整数立方的立方根，与该正整数相反数的立方的立方根结果相等。解答(1)时，先依据立方根的运算规则分别计算$-\sqrt[3]{n^3}$和$\sqrt[3]{-n^3}$的结果，依次填出对应空项，再归纳得出互为相反数的两个数的立方根的关系。解答(2)时，直接应用(1)得到的规律，将每一项负数的立方根转化为对应正整数的相反数，再把式子转化为1到100的正整数和的相反数，用等差数列求和公式计算即可。
【解析】
(1)填空与规律猜测
根据立方根的运算性质：$\sqrt[3]{a^3}=a$，可得：
$-\sqrt[3]{n^3}=-n$，即①填$\boldsymbol{-n}$；
又$(-n)^3=-n^3$，因此$\sqrt[3]{-n^3}=-n$，即②填$\boldsymbol{-n}$；
由二者结果相等可推出$-\sqrt[3]{n^3}=\sqrt[3]{-n^3}$，因此③填$\boldsymbol{-\sqrt[3]{n^3}}$，④填$\boldsymbol{\sqrt[3]{-n^3}}$；
综上可猜测，互为相反数的两个数的立方根的关系为：互为相反数，即⑤填互为相反数。
(2)计算式子的值
由(1)的规律可得：$\sqrt[3]{-k^3}=-k$，对原式逐项转化计算：
$\begin{aligned}\sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{-8}+\sqrt[3]{-27}+\dots+\sqrt[3]{-100^3}&= \sqrt[3]{-1^3}+\sqrt[3]{-2^3}+\sqrt[3]{-3^3}+\dots+\sqrt[3]{-100^3} \\&= -1 - 2 - 3 - \dots - 100 \\&= -(1+2+3+\dots+100) \\&= -\frac{(1+100)×100}{2} \\&= -5050\end{aligned}$
【答案】
(1)①$\boldsymbol{-n}$；②$\boldsymbol{-n}$；③$\boldsymbol{-\sqrt[3]{n^3}}$；④$\boldsymbol{\sqrt[3]{-n^3}}$；⑤互为相反数
(2)$\boldsymbol{-5050}$
【知识点】
1.立方根的性质
2.有理数运算
3.归纳推理
【点评】
本题通过特殊案例引导学生归纳立方根的性质，再考查性质的实际应用，既锻炼了学生从特殊到一般的总结能力，也检验了对立方根性质的灵活运用能力，解题核心是准确总结出互为相反数的两个数的立方根的关系。
【难度系数】
0.75