4. 在$□ ABCD$中，对角线AC，BD相交于点O，OA = 2，要使$□ ABCD$为矩形，则OB的长应为()。

A.4
B.3
C.2
D.1

4. C

【分析】
解题时首先回忆平行四边形的基本性质：平行四边形对角线互相平分，因此对角线AC=2OA，BD=2OB。再结合矩形的核心性质：矩形的对角线相等，因此当平行四边形ABCD为矩形时，AC=BD，由此可推导得出OB与OA的等量关系，代入OA的长度即可求出OB的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O
∴AC = 2OA，BD = 2OB（平行四边形对角线互相平分）
若平行四边形ABCD为矩形，则矩形的对角线相等，即AC = BD
∴2OA = 2OB，即OB = OA
已知OA = 2，因此OB = 2
故选C
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；矩形的性质
【点评】
本题是基础类几何题，重点考察平行四边形与矩形对角线性质的应用，熟记特殊四边形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9

5. 如图,在$□ ABCD$中,点M,N是BD上两点,$BM = DN$,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件可以是()。

A.$OM=\frac{1}{2}AC$
B.$MB = MO$
C.$BD⊥ AC$
D.$∠ AMB=∠ CND$

5. A

【分析】
首先利用平行四边形的性质推导四边形AMCN的形状：平行四边形ABCD对角线互相平分，可得$OA=OC$，$OB=OD$，结合已知$BM=DN$，可推出$OM=ON$，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，得出四边形AMCN是平行四边形。要使平行四边形AMCN为矩形，只需满足矩形的判定条件：要么有一个内角是直角，要么对角线相等，再逐一分析选项即可找到符合要求的条件。
【解析】
1. 先证四边形AMCN是平行四边形：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OA=OC$，$OB=OD$（平行四边形对角线互相平分），
又
∵$BM=DN$，
∴$OB-BM=OD-DN$，即$OM=ON$，
∴四边形$AMCN$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
2. 分析各选项：
选项A：若$OM=\frac{1}{2}AC$，
∵平行四边形$AMCN$中$MN=2OM$，
∴$MN=AC$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定$AMCN$是矩形，符合要求；
选项B：$MB=MO$，无法推导$AMCN$的内角为直角或对角线相等，不能判定为矩形，不符合；
选项C：若$BD⊥AC$，即$MN⊥AC$，则平行四边形$AMCN$是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形），不是矩形，不符合；
选项D：由$AB// CD$得$∠ABM=∠CDN$，结合$AB=CD$，$BM=DN$，可证$△ ABM≌△ CDN$，天然满足$∠AMB=∠CND$，该条件是已成立的结论，无法判定为矩形，不符合。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【点评】
本题解题核心是先确定四边形AMCN已为平行四边形，再结合矩形的判定条件筛选选项，需要熟练掌握特殊四边形的判定定理。
【难度系数】
0.7

1. 如图，将△ABC绕AC的中点O按顺时针方向旋转180°得到△CDA，添加一个条件：，可使四边形ABCD为矩形。

1. ∠B = 90°(答案不唯一)

【分析】
首先从已知旋转条件入手：△ABC绕AC中点O旋转180°得到△CDA，根据旋转的性质可推出△ABC和△CDA全等，进而得到四边形ABCD的两组对边分别相等，可判定四边形ABCD是平行四边形。接下来回忆矩形的判定规则：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，因此只需添加符合上述判定的条件即可。
【解析】
解：
∵将△ABC绕AC的中点O按顺时针方向旋转180°得到△CDA，
∴△ABC≌△CDA，
∴AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形。
根据矩形的判定定理，当添加条件∠B=90°时，有一个角是直角的平行四边形是矩形，此时平行四边形ABCD为矩形。
（注：也可添加∠BAD=90°、AC=BD等条件，均满足要求）
【答案】
∠B = 90°(答案不唯一)
【知识点】
旋转的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题属于开放性基础题，解题的核心是先结合旋转性质确定四边形的形状为平行四边形，再根据矩形的判定条件添加对应条件即可，需要熟练掌握特殊四边形的判定方法。
【难度系数】
0.8

2. 如图，在$□ ABCD$中，E为边BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使$CG=CE$，连接DG，DE，FG。
(1) 求证：$△ ABE ≌ △ FCE$；
(2) 若$AD=2AB$，求证：四边形DEFG是矩形。

(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB//CD。
∴ ∠EAB = ∠EFC。
∵ E为边BC的中点,
∴ EC = EB。在△ABE和△FCE中,∠EAB = ∠EFC, ∠BEA = ∠CEF, EB = EC,
∴ △ABE≌△FCE(AAS)
(2)
∵ △ABE≌△FCE,
∴ AB = CF。
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB = DC,
∴ DC = CF。又
∵ CE = CG,
∴ 四边形DEFG是平行四边形。
∵ E为边BC的中点,CE = CG,
∴ BC = EG。又
∵ AD = BC = 2AB, DF = CD + CF = 2CD = 2AB,
∴ DF = EG。
∴ 四边形DEFG是矩形

【分析】
(1) 要证明△ABE ≌ △FCE，首先利用平行四边形对边平行的性质得到一组内错角相等，结合E是BC中点得到一组等边，再搭配对顶角相等，即可用AAS判定全等。
(2) 要证明四边形DEFG是矩形，第一步先判定它是平行四边形：由(1)的全等结果和平行四边形对边相等的性质，可得DC=CF，结合已知CG=CE，可知四边形对角线互相平分，即可判定为平行四边形；第二步再证明该平行四边形对角线相等：结合AD=2AB的条件，推导得出DF=EG，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可完成证明。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ $AB// CD$，
∴ $∠EAB = ∠EFC$。
∵ E为边BC的中点,
∴ $EC = EB$。
在△ABE和△FCE中,
$\{\begin{array}{l}∠EAB = ∠EFC\\∠BEA = ∠CEF\\EB = EC\end{array} $
∴ $△ ABE≌△ FCE(\mathrm{AAS})$。
(2)
∵ $△ ABE≌△ FCE$,
∴ $AB = CF$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ $AB = DC$，
∴ $DC = CF$。
又
∵ $CE = CG$,
∴ 四边形DEFG是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵ E为边BC的中点,$CE = CG$,
∴ $BC = EG$。
又
∵ $AD = BC = 2AB$, $DF = CD + CF = 2CD = 2AB$,
∴ $DF = EG$。
∴ 平行四边形DEFG是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
【答案】
(1) $△ ABE ≌ △ FCE$，得证；
(2) 四边形DEFG是矩形，得证。
【知识点】
全等三角形的判定、平行四边形的性质与判定、矩形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查特殊四边形的性质、判定及全等三角形的证明，解题时需按照从全等到平行四边形再到矩形的逻辑逐步推导，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7

3. 如图,在$□ ABCD$中,对角线AC与BD相交于点O,E,F分别是OB,OD的中点,延长AE至点G,使$EG=AE$,连接CG。
(1)求证:$△ ABE≌△ CDF$。
(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由。

(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB = CD, AB//CD,OB = OD。
∴ ∠ABE = ∠CDF。
∵ E,F分别是OB,OD的中点,
∴ BE = $\frac{1}{2}OB$, DF = $\frac{1}{2}OD$。
∴ BE = DF。
∴ △ABE≌△CDF(SAS)
(2) 当AC = 2AB时,四边形EGCF是矩形。理由如下:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AC = 2OA。
∵ AC = 2AB,
∴ AB = OA。
∵ E是OB的中点,
∴ AE ⊥ OB。
∴ ∠AEO = 90°。同理∠CFO = 90°。
∴ EG//CF。由(1)知,△ABE≌△CDF,
∴ AE = CF。
∵ AE = EG,
∴ EG = CF。
∴ 四边形EGCF是平行四边形。
∵ ∠CFO = 90°,
∴ 四边形EGCF是矩形

【分析】
(1) 要证明△ABE≌△CDF，首先从平行四边形的性质入手：平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分，可得到AB=CD、∠ABE=∠CDF；再结合E、F是OB、OD的中点，可推出BE=DF，刚好满足SAS全等的判定条件，即可完成证明。
(2) 探究四边形EGCF为矩形的条件，需结合矩形的判定规则：有一个角是直角的平行四边形是矩形。首先先推导四边形EGCF是平行四边形：由(1)的全等可得AE=CF，结合EG=AE可推出EG=CF，再由AE、CF均垂直于BD可推出EG//CF，即可得到平行四边形；接下来需要找直角的成立条件，若AC=2AB，结合平行四边形对角线互相平分可得OA=AB，等腰△OAB中E是OB中点，由三线合一可得AE⊥OB，即∠GEF=90°，即可推出平行四边形是矩形，因此得到AC=2AB的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD，AB//CD，OB = OD，
∴ ∠ABE = ∠CDF，
∵ E，F分别是OB，OD的中点，
∴ BE = $\frac{1}{2}OB$，DF = $\frac{1}{2}OD$，
∴ BE = DF，
在△ABE和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}AB=CD\\ ∠ ABE=∠ CDF\\ BE=DF\end{array} $
∴ △ABE≌△CDF(SAS)。
(2) 解：当AC = 2AB时，四边形EGCF是矩形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AC = 2OA，
∵ AC = 2AB，
∴ AB = OA，
∵ E是OB的中点，
∴ AE ⊥ OB，
∴ ∠AEO = 90°，同理可得∠CFO = 90°，
∴ EG//CF，
由(1)知△ABE≌△CDF，
∴ AE = CF，
∵ AE = EG，
∴ EG = CF，
∴ 四边形EGCF是平行四边形，
又
∵ ∠CFO = 90°，
∴ 四边形EGCF是矩形。
【答案】
(1) △ABE≌△CDF得证；
(2) 当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形，理由见上述解析。
【知识点】
平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定、矩形的判定
【点评】
本题属于几何综合基础题，既考查了全等三角形、平行四边形的基础性质和判定，也结合等腰三角形三线合一的性质考查矩形的判定，能够有效锻炼几何逻辑推导能力，对基础知识的灵活运用要求较高。
【难度系数】
0.7