1.在比例尺为1：1000000的地图上，量得甲、乙两地的距离为5cm，则甲、乙两地的实际距离是。

1. 50 km(或5000000 cm，或50000 m)

【分析】
解题时首先回忆比例尺的定义：比例尺是图上距离与实际距离的比。本题已知比例尺和图上距离，要求实际距离，可将比例尺公式变形为“实际距离=图上距离÷比例尺”，先计算出以厘米为单位的实际距离，再根据长度单位的进率换算成常用的米或千米单位即可，注意计算过程中要保证单位逻辑统一。
【解析】
根据比例尺的计算公式：
$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}$
变形可得：$\mathrm{实际距离}=\mathrm{图上距离}÷\mathrm{比例尺}$
已知图上距离为5cm，比例尺为$\frac{1}{1000000}$，代入公式计算：
实际距离$=5÷\frac{1}{1000000}=5×1000000=5000000\ \mathrm{cm}$
进行单位换算：
$5000000\ \mathrm{cm}=50000\ \mathrm{m}=50\ \mathrm{km}$
【答案】
50 km(或5000000 cm，或50000 m)
【知识点】
比例尺的应用、长度单位换算
【点评】
本题是比例尺相关的基础应用题，核心是掌握比例尺的计算公式，计算时注意先统一单位，再根据需求进行单位换算即可，易错点为单位换算时进率记错。
【难度系数】
0.9

2.一个三角形的各边之比为2:5:6，与它相似的另一个三角形的最大边的长为24 cm，则这个三角形的最小边长为.

2. 8 cm

【分析】
解题时首先根据相似三角形的性质，明确相似三角形的对应边成比例，因此和已知边比的三角形相似的三角形，其三边之比也为2:5:6。接下来在比例2:5:6中，最大边对应6份，已知所求三角形的最大边长为24cm，可先求出1份对应的长度，再乘以最小边对应的2份，即可求出最小边长。
【解析】
解：
∵两个三角形相似，相似三角形对应边成比例，
∴所求三角形的三边之比与原三角形的三边之比相同，为2:5:6。
设所求三角形的三边长分别为$2k\ \mathrm{cm}$、$5k\ \mathrm{cm}$、$6k\ \mathrm{cm}$（$k＞0$），
由题意可知该三角形的最大边长为24 cm，即$6k=24$，
解得$k=4$，
因此该三角形的最小边长为$2k=2×4=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
8 cm
【知识点】
1.相似三角形的性质 2.比例计算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是抓住相似三角形对应边成比例的特点，结合已知边长求出比例系数，再计算未知边长，解题逻辑清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8

3. 已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，$△ ABC$的中线AD长为1cm，$△ A'B'C'$的中线$A'D'$长为3cm，$△ ABC$的周长为3cm，则$△ A'B'C'$的周长为。

3. 9 cm

【分析】
拿到题目首先明确已知条件是两个三角形相似，以及它们的对应中线长度、其中一个三角形的周长，目标是求另一个三角形的周长。首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的对应线段（对应中线、对应高、对应角平分线）的比等于相似比，周长的比也等于相似比。因此解题思路为：第一步先根据对应中线的长度求出两个三角形的相似比，第二步利用周长比等于相似比的性质，代入已知周长计算出所求三角形的周长。
【解析】
解：
∵△ABC ∽ △A'B'C'，AD、A'D'分别是两个三角形的对应中线
∴两个三角形的相似比 $k = \frac{AD}{A'D'} = \frac{1\mathrm{cm}}{3\mathrm{cm}} = \frac{1}{3}$
又
∵相似三角形的周长比等于相似比，即 $\frac{C_{△ ABC}}{C_{△ A'B'C'}} = k$
已知$C_{△ ABC}=3\mathrm{cm}$，代入得：
$\frac{3\mathrm{cm}}{C_{△ A'B'C'}} = \frac{1}{3}$
解得：$C_{△ A'B'C'} = 3×3 = 9\mathrm{cm}$
【答案】
9 cm
【知识点】
相似三角形性质；相似比；周长比规律
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的关键是牢记相似三角形对应中线比、周长比均等于相似比，理清对应关系后代入数值即可快速求解，注意不要混淆相似比的前后对应关系。
【难度系数】
0.8

4. 平行四边形ABCD与平行四边形A'B'C'D'相似，已知AB = 3，其对应边A'B' = 5.若平行四边形ABCD的面积为18，则平行四边形A'B'C'D'的面积为.

4. 50

【分析】
遇到相似多边形求面积的问题，首先回忆相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方。解题时第一步先根据对应边的长度求出两个平行四边形的相似比，第二步根据相似比算出面积比，第三步结合已知的平行四边形ABCD的面积，列比例式即可求出平行四边形A'B'C'D'的面积。
【解析】
解：
∵ 平行四边形ABCD与平行四边形A'B'C'D'相似，AB=3，对应边A'B'=5
∴ 两个平行四边形的相似比 $k=\frac{AB}{A'B'}=\frac{3}{5}$
根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方
可得 $\frac{S_{平行四边形ABCD}}{S_{平行四边形A'B'C'D'}}=k^2=(\frac{3}{5})^2=\frac{9}{25}$
已知 $S_{平行四边形ABCD}=18$，代入得：
$\frac{18}{S_{平行四边形A'B'C'D'}}=\frac{9}{25}$
解得 $S_{平行四边形A'B'C'D'}=\frac{18×25}{9}=50$
【答案】
50
【知识点】
相似多边形的性质；相似比与面积比的关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似多边形的面积比与相似比的关系，解题的关键是准确确定相似比，再结合已知面积列比例式求解，掌握相似多边形的基本性质即可轻松作答。
【难度系数】
0.8

5.已知正五边形的一条对角线长为6cm，那么顺次连结正五边形各边中点所得五边形的周长是cm.

5. 15

【分析】
解题时首先回忆两个核心知识点：1. 正五边形的所有对角线长度相等；2. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。顺次连接正五边形各边中点得到的新五边形，每条边都对应原正五边形中以相邻两边为腰、对角线为底的三角形的中位线，因此可以先求出新五边形的单条边长，再计算周长。
【解析】
设原正五边形为ABCDE，顺次连接各边中点得到的新五边形为PQRST，其中P为AB中点，Q为BC中点，R为CD中点，S为DE中点，T为EA中点。
连接原正五边形的对角线AC，已知正五边形的对角线长为6cm，因此AC=6cm。
∵P是AB的中点，Q是BC的中点，
∴PQ是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：PQ = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×6 = 3cm。
同理可证，新五边形的其余四条边QR、RS、ST、TP的长度均为3cm。
因此新五边形的周长 = 5×3 = 15cm。
【答案】
15
【知识点】
三角形中位线定理，正五边形的性质
【点评】
本题将三角形中位线定理与正多边形的性质结合考查，解题的关键是准确找到中点连线与原正五边形对角线的对应关系，结合正五边形对角线相等的性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.7

6.如图6-3-1,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE//BC.若AD=2,BD=3,CE=2.4,则AE=.


图6-3-1
图6-3-2

6. 1.6

【分析】
已知DE平行于BC，且DE分别交△ABC的AB、AC边于D、E两点，首先联想到平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。据此可以列出AD与BD的比等于AE与CE的比的比例式，再将已知的AD、BD、CE的数值代入比例式，通过解比例即可求出AE的长度。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴根据平行线分线段成比例定理的推论，可得$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$，
将AD=2，BD=3，CE=2.4代入上式，得：
$\frac{2}{3}=\frac{AE}{2.4}$，
解得：$AE=\frac{2×2.4}{3}=1.6$。
【答案】
1.6
【知识点】
平行线分线段成比例，比例运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握平行线分线段成比例定理的应用，解题时需注意找准对应线段，避免因对应关系混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.8

7.在正方形ABCD中，点P在BC边上，且$BP=3CP$，Q是CD边的中点，则$∠ AQP$=度.

7. 90

【分析】
本题是正方形背景下的角度求解问题，已知线段比例关系，我们可以结合正方形四边相等、四角均为直角的性质解题：首先设正方形边长为便于计算的具体数值，将比例关系转化为明确的线段长度；观察∠AQP的位置，它与∠AQD、∠PQC共同组成平角，只要证明∠AQD+∠PQC=90°即可推出∠AQP的度数，可通过证明△ADQ和△QCP相似得到对应角相等推导角的关系，也可通过勾股定理计算△AQP三边长，用勾股定理逆定理直接判断角度。
【解析】
方法一：利用相似三角形求解
设正方形ABCD的边长为4，
∵ $BP=3CP$，$BC=4$，
∴ $CP=1$，$BP=3$，
∵ Q是CD的中点，
∴ $DQ=QC=2$。
在$△ ADQ$和$△ QCP$中：
$\frac{AD}{QC}=\frac{4}{2}=2$，$\frac{DQ}{CP}=\frac{2}{1}=2$，即$\frac{AD}{QC}=\frac{DQ}{CP}$，
又
∵ $∠ D=∠ C=90°$，
∴ $△ ADQ ∽ △ QCP$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $∠ DAQ=∠ CQP$，
∵ 在$Rt△ ADQ$中，$∠ DAQ + ∠ AQD=90°$，
∴ $∠ CQP + ∠ AQD=90°$，
∴ $∠ AQP=180° - (∠ AQD + ∠ CQP)=180° - 90°=90°$。
方法二：利用勾股定理逆定理求解
设正方形ABCD的边长为4，
同理可得：$CP=1$，$BP=3$，$DQ=QC=2$，
在$Rt△ ADQ$中，$AQ^2=AD^2+DQ^2=4^2+2^2=20$，
在$Rt△ QCP$中，$QP^2=QC^2+CP^2=2^2+1^2=5$，
在$Rt△ ABP$中，$AP^2=AB^2+BP^2=4^2+3^2=25$，
∵ $AQ^2+QP^2=20+5=25=AP^2$，
∴ $△ AQP$是直角三角形，$∠ AQP=90°$。
【答案】
90
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理逆定理
【点评】
本题是正方形与三角形结合的常考题型，解题核心是将线段比例关系转化为具体的长度参数，再结合相似或勾股定理相关知识推导角度，能够有效考察学生对几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

8. 如图 6-3-2，$△ PQR$是等边三角形，$∠ APB = 120°$.若$AQ = 4$，$BR = 9$，则$QR$等于.

8. 6

【分析】解题时先从已知的等边三角形入手，利用等边三角形内角为60°的性质得到两个120°的邻补角；再结合∠APB=120°的条件，通过角度和差推导得到两组相等的对应角，证明△AQP和△PRB相似；最后设QR的长度为未知数，根据相似三角形对应边成比例列方程求解即可。
【解析】
解：
∵△PQR是等边三角形
∴PQ=QR=PR，∠PQR=∠PRQ=∠QPR=60°
∴∠AQP=180°-∠PQR=120°，∠PRB=180°-∠PRQ=120°，即∠AQP=∠PRB
∵∠APB=120°
∴∠APQ + ∠BPR = ∠APB - ∠QPR = 120° - 60° = 60°
又
∵在△AQP中，∠A + ∠APQ = 180° - ∠AQP = 60°
∴∠A = ∠BPR
∴△AQP∽△PRB（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AQ}{PR}=\frac{PQ}{BR}$
设QR=x，则PQ=PR=x，代入AQ=4，BR=9得：
$\frac{4}{x}=\frac{x}{9}$
解得$x^2=36$，$x=6$（边长为正数，舍去负根）
【答案】6
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】本题是等边三角形与相似三角形结合的典型题型，解题的关键是通过角度推导证明三角形相似，再利用相似的比例关系建立方程求解，能较好地考查逻辑推理能力和方程思想的应用。
【难度系数】0.6

9.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$CD$是斜边$AB$上的高，$CD=4\,\mathrm{cm}$，$AD=2\,\mathrm{cm}$，则$BD=$。

9. 8 cm

【分析】
遇到直角三角形斜边上的高的模型，首先可推导得到图中三个直角三角形两两相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，即可建立已知线段和所求线段的等量关系求解；也可直接使用由该相似关系推导得到的射影定理快速计算。具体解题步骤可分为：①证明△ACD与△CBD相似；②根据相似三角形对应边成比例列出比例式；③代入已知数值计算BD的长度。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是斜边$AB$上的高
∴ $∠ ADC=∠ CDB=90°$
∵ $∠ A + ∠ ACD = 90°$，$∠ BCD + ∠ ACD = 90°$
∴ $∠ A = ∠ BCD$
∴ $△ ACD ∽ △ CBD$（两角分别相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，即 $CD^2 = AD · BD$
将$CD=4\,\mathrm{cm}$，$AD=2\,\mathrm{cm}$代入得：
$4^2 = 2 · BD$
$16 = 2BD$
解得 $BD=8\,\mathrm{cm}$
【答案】
8 cm
【知识点】
相似三角形的判定与性质；射影定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考察直角三角形斜边上的高构成的相似三角形模型的应用，熟练掌握相似三角形的性质就能快速解题，也可直接用射影定理简化计算过程。
【难度系数】
0.8

10.在矩形ABCD中，E为AD的中点，且$BE ⊥ AC$.若$AB = 1$,则$BC =$ .

10. $\sqrt{2}$

【分析】
解题时先从矩形的性质入手，得到直角和对边相等的关系；再结合BE⊥AC的条件，利用同角的余角相等推导角相等，证明两个三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质列方程，即可求出BC的长度。
【解析】
设$BC=x$，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ BAE=∠ ABC=90°$，$AD=BC=x$，
∵ E是AD的中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AD=\frac{x}{2}$，
∵ $BE⊥ AC$，
∴ $∠ BAC+∠ ABE=90°$，
又
∵ $∠ BAC+∠ ACB=90°$，
∴ $∠ ABE=∠ ACB$，
在$△ ABE$和$△ BCA$中：
$\begin{cases}∠ BAE=∠ ABC=90° \\∠ ABE=∠ ACB\end{cases}$
∴ $△ ABE ∽ △ BCA$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{AB}$，
将$AB=1$，$BC=x$，$AE=\frac{x}{2}$代入得：
$\frac{1}{x}=\frac{\frac{x}{2}}{1}$，
整理得$x^2=2$，
∵ $x$为线段长度，$x＞0$，
∴ $x=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是矩形与相似三角形结合的典型基础题，解题核心是通过垂直关系推导等角，找到相似三角形，再借助比例式构建方程求解，能有效考查学生对基础几何性质的运用能力和方程思想的掌握情况。
【难度系数】
0.7

11.已知$△ AOB$的三个顶点的坐标分别是$A(1,2),O(0,0),B(3,0)$,将$△ AOB$沿$x$轴的相反方向平移2个单位,得到$△ A'O'B'$,则点$A'$的坐标是.

11. $(-1,2)$

【分析】
解题时首先明确图形平移的性质：图形平移时，图形上所有点的平移方向、平移距离都完全相同，因此只需推导点A的平移规则即可。第一步判断平移方向：沿x轴相反方向即沿x轴负方向，也就是向左平移，平移距离为2个单位；第二步回忆坐标平移规律：横坐标遵循左减右加、纵坐标遵循上加下减的规则，因此只需将点A的横坐标减去2，纵坐标保持不变，即可得到点A'的坐标。
【解析】
解：
∵ △AOB沿x轴相反方向平移2个单位，即图形上所有点均向左平移2个单位，
根据平面直角坐标系点的平移规律：向左平移n个单位时，横坐标减n，纵坐标不变，
已知点A的坐标为(1,2)，
∴ 点A'的横坐标为$1-2=-1$，纵坐标为2，
即点A'的坐标为$(-1,2)$。
【答案】
$(-1,2)$
【知识点】
1. 点的平移坐标变化规律
2. 图形平移的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查平面直角坐标系中图形平移对应的坐标变化，只要牢记“左减右加、上加下减”的平移规则，明确平移方向对应的坐标增减即可快速求解。
【难度系数】
0.9

12.如图6-3-3,在$\mathrm{Rt}△ OAC$中,$O$为坐标原点,直角顶点$C$在$x$轴的正半轴上,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$在第一象限的图象经过$OA$的中点$B(1,a)$,交$AC$于点$D$,连结$OD$.如果$△ OCD ∽ △ ACO$,那么直线$OA$的表达式为.

图6-3-3

12. $y=2x$

【分析】
解题思路如下：第一步，先根据B是OA中点及B的坐标，推出A点坐标，得到OC、AC的长度；第二步，利用反比例函数过点B求出反比例函数的解析式，再结合D点在AC上，求出D点坐标，得到CD的长度；第三步，根据△OCD∽△ACO的相似性质，列出对应边的比例式，代入数值求解得到a的值；最后利用B点坐标求出直线OA的表达式。
【解析】
1. 求A点坐标：
∵B是OA的中点，B的坐标为$(1,a)$，
∴由中点坐标性质可得A点坐标为$(2,2a)$，
∵C在x轴正半轴上，$AC⊥ x$轴，
∴$OC=2$，$AC=2a$。
2. 求反比例函数解析式及D点坐标：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$过点$B(1,a)$，
∴代入得$k=1× a=a$，即反比例函数为$y=\frac{a}{x}$，
∵D在AC上，AC所在直线为$x=2$，
∴将$x=2$代入$y=\frac{a}{x}$，得$y=\frac{a}{2}$，即$D(2,\frac{a}{2})$，
∴$CD=\frac{a}{2}$。
3. 利用相似三角形性质求a：
∵$△OCD ∽ △ACO$，且$∠ OCD=∠ ACO=90°$，
∴对应边成比例：$\frac{OC}{AC}=\frac{CD}{OC}$，即$OC^2=AC· CD$，
代入$OC=2$，$AC=2a$，$CD=\frac{a}{2}$得：
$2^2=2a×\frac{a}{2}$，化简得$a^2=4$，
∵点在第一象限，$a＞0$，
∴$a=2$，即B点坐标为$(1,2)$。
4. 求直线OA的表达式：
设直线OA的解析式为$y=mx$（$m≠0$），将$B(1,2)$代入得$m=2$，
∴直线OA的表达式为$y=2x$。
【答案】
$y=2x$
【知识点】
相似三角形的性质，反比例函数图象的性质，一次函数解析式确定
【点评】
本题是函数与几何的综合题，解题的核心是利用中点坐标性质和相似三角形的比例关系求出参数a，需要学生具备一定的知识点综合运用能力，掌握数形结合的思想即可顺利求解。
【难度系数】
0.6

13. 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}(a,b,c,d$均为正数$)$，在①$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$，②$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$，③$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$，④$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$，⑤$\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}$，⑥$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}$中，成立的等式有………………【 】

A.6个
B.5个
C.4个
D.3个

A

【分析】
本题考查比例性质的应用，解题思路是结合已知条件$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$（a、b、c、d均为正数），利用比例的基本性质、合比性质、分比性质、等比性质，逐一验证6个等式是否成立，因所有量均为正数，无需考虑分母为0的特殊情况。
【解析】
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，且a、b、c、d均为正数，逐一验证如下：
1. 验证①：由$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$交叉相乘得$ad=bc$，两边同时除以$ac$，可得$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$，①成立；
2. 验证②：由$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$交叉相乘得$ad=bc$，两边同时除以$cd$，可得$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$，②成立；
3. 验证③：根据合比性质，$\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$，通分得$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$，③成立；
4. 验证④：根据分比性质，$\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$，通分得$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$，④成立；
5. 验证⑤：将④的结果除以③的结果，约分化简得$\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}$，⑤成立；
6. 验证⑥：设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$，则$a=bk$，$c=dk$，代入左边得$\frac{a+c}{b+d}=\frac{bk+dk}{b+d}=k=\frac{a}{b}$，⑥成立。
综上6个等式全部成立。
【答案】
A
【知识点】
比例的基本性质，合分比性质，等比性质
【点评】
本题属于比例性质的基础应用类题目，熟练掌握比例的各类常用性质，逐式验证即可快速得出结论，题干明确所有量为正数，降低了分类讨论的难度。
【难度系数】
0.8