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28.某种电脑病毒传播速度非常快,若一台电脑被感染,经过2轮感染后会有81台电脑被感染.请你运用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台?
答案
28. 提示:设每轮平均一台会感染x台电脑.
第一轮后共有$(1 + x)$台被感染,第二轮后共有
$(1 + x) + x(1 + x)$,即$(1 + x)^2$台被感染.
根据题意可得$(1 + x)^2 = 81$.
解得$x_1 = 8, x_2 = -10$(不合题意,舍去).
第3轮后共有$(1 + x)^3$台被感染,
$(1 + 8)^3 = 729 ＞ 700$.
第一轮后共有$(1 + x)$台被感染,第二轮后共有
$(1 + x) + x(1 + x)$,即$(1 + x)^2$台被感染.
根据题意可得$(1 + x)^2 = 81$.
解得$x_1 = 8, x_2 = -10$(不合题意,舍去).
第3轮后共有$(1 + x)^3$台被感染,
$(1 + 8)^3 = 729 ＞ 700$.
解析
【分析】
这是典型的传播类一元二次方程应用问题，解题时首先要明确每轮感染的数量变化规律：①初始有1台被感染，设每轮平均1台感染x台电脑，第一轮感染后，被感染的总电脑数是原本的1台加上它感染的x台，即$(1+x)$台；②第二轮感染时，第一轮被感染的$(1+x)$台每台都能感染x台，因此第二轮新增$x(1+x)$台被感染，总数量可整理为$(1+x)^2$台，结合两轮后共81台被感染的条件即可列方程求解。求出x后，再按照规律计算三轮感染后的总数量，和700比较即可判断是否超过。
【解析】
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑。
第一轮感染后，被感染的电脑总数为：$1 + x$ 台；
第二轮感染后，被感染的电脑总数为：$(1+x) + x(1+x) = (1+x)^2$ 台；
根据题意列方程：
$(1+x)^2 = 81$
开平方得：$1+x = ±9$
解得：$x_1 = 8$，$x_2 = -10$
因为感染台数不能为负数，所以$x_2=-10$不合题意，舍去，即每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑。
计算三轮感染后的总被感染电脑数：
第三轮后总数为$(1+x)^3 = (1+8)^3 = 729$ 台
因为$729 ＞ 700$，所以3轮感染后被感染的电脑会超过700台。
【答案】
每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；3轮感染后被感染的电脑会超过700台。
【知识点】
1. 一元二次方程应用 2. 传播问题模型 3. 实际问题根的取舍
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用类基础题型，解题核心是找准传播过程中每轮结束后的总数量变化规律，同时要注意结合实际问题的意义，对求解出的方程根进行合理性筛选，舍去不符合实际的根。
【难度系数】
0.7
这是典型的传播类一元二次方程应用问题，解题时首先要明确每轮感染的数量变化规律：①初始有1台被感染，设每轮平均1台感染x台电脑，第一轮感染后，被感染的总电脑数是原本的1台加上它感染的x台，即$(1+x)$台；②第二轮感染时，第一轮被感染的$(1+x)$台每台都能感染x台，因此第二轮新增$x(1+x)$台被感染，总数量可整理为$(1+x)^2$台，结合两轮后共81台被感染的条件即可列方程求解。求出x后，再按照规律计算三轮感染后的总数量，和700比较即可判断是否超过。
【解析】
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑。
第一轮感染后，被感染的电脑总数为：$1 + x$ 台；
第二轮感染后，被感染的电脑总数为：$(1+x) + x(1+x) = (1+x)^2$ 台；
根据题意列方程：
$(1+x)^2 = 81$
开平方得：$1+x = ±9$
解得：$x_1 = 8$，$x_2 = -10$
因为感染台数不能为负数，所以$x_2=-10$不合题意，舍去，即每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑。
计算三轮感染后的总被感染电脑数：
第三轮后总数为$(1+x)^3 = (1+8)^3 = 729$ 台
因为$729 ＞ 700$，所以3轮感染后被感染的电脑会超过700台。
【答案】
每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；3轮感染后被感染的电脑会超过700台。
【知识点】
1. 一元二次方程应用 2. 传播问题模型 3. 实际问题根的取舍
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用类基础题型，解题核心是找准传播过程中每轮结束后的总数量变化规律，同时要注意结合实际问题的意义，对求解出的方程根进行合理性筛选，舍去不符合实际的根。
【难度系数】
0.7
29.请阅读下列材料：
已知方程$x^2 + x - 1 = 0$，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为$y$，则$y = 2x$，于是可得$x = \frac{y}{2}$.
把$x = \frac{y}{2}$代入已知方程，得
$(\frac{y}{2})^2 + \frac{y}{2} - 1 = 0$.
化简、整理，得 $y^2 + 2y - 4 = 0$.
∴ 所求方程为 $y^2 + 2y - 4 = 0$.
请仿照以上方法解答下列问题：
（1）求一个一元二次方程，使它的根分别为方程$x^2 + x - 2 = 0$根的相反数.
（2）已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.
已知方程$x^2 + x - 1 = 0$，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为$y$，则$y = 2x$，于是可得$x = \frac{y}{2}$.
把$x = \frac{y}{2}$代入已知方程，得
$(\frac{y}{2})^2 + \frac{y}{2} - 1 = 0$.
化简、整理，得 $y^2 + 2y - 4 = 0$.
∴ 所求方程为 $y^2 + 2y - 4 = 0$.
请仿照以上方法解答下列问题：
（1）求一个一元二次方程，使它的根分别为方程$x^2 + x - 2 = 0$根的相反数.
（2）已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.
答案
29. 解:(1)设所求方程的根为$y$. 则
$y = -x$, 代入方程,得$(-y)^2 + (-y) - 2 = 0$.
整理,得 $y^2 - y - 2 = 0$为所求方程.
(2)设所求方程的根为$y$,则$y = \frac{1}{x}(x ≠ 0)$.
把$x = \frac{1}{y}$代入得 $a · (\frac{1}{y})^2 + b · \frac{1}{y} + c = 0$.
整理,得 $cy^2 + by + a = 0$为所求方程.
$y = -x$, 代入方程,得$(-y)^2 + (-y) - 2 = 0$.
整理,得 $y^2 - y - 2 = 0$为所求方程.
(2)设所求方程的根为$y$,则$y = \frac{1}{x}(x ≠ 0)$.
把$x = \frac{1}{y}$代入得 $a · (\frac{1}{y})^2 + b · \frac{1}{y} + c = 0$.
整理,得 $cy^2 + by + a = 0$为所求方程.
解析
【分析】
本题是阅读模仿类题型，解题核心是运用换元法进行根的代换，具体思路如下：①先设所求新方程的根为$y$，根据题目给出的根的关系，建立$y$与原方程根$x$的等量关系，将$x$用含$y$的代数式表示；②将用$y$表示的$x$代入原一元二次方程；③通过化简、整理得到关于$y$的一元二次方程，即为所求方程。第（1）问中新根是原根的相反数，因此$y=-x$，即$x=-y$；第（2）问中新根是原根的倒数，因此$y=\frac{1}{x}$（$x≠0$），即$x=\frac{1}{y}$，代入后去分母整理即可。
【解析】
（1）设所求方程的根为$y$，由题意得$y$是原方程根$x$的相反数，即$y=-x$，变形得$x=-y$。
把$x=-y$代入方程$x^2 + x - 2 = 0$，得：
$(-y)^2 + (-y) - 2 = 0$
整理得$y^2 - y - 2 = 0$。
（2）设所求方程的根为$y$，由题意得$y$是原方程根$x$的倒数，即$y=\frac{1}{x}$（已知原方程根不为0，故$x≠0$，$y≠0$），变形得$x=\frac{1}{y}$。
把$x=\frac{1}{y}$代入方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，得：
$a · (\frac{1}{y})^2 + b · \frac{1}{y} + c = 0$
方程两边同时乘$y^2$（$y≠0$，等式仍成立），得：
$a + by + cy^2 = 0$
整理得$cy^2 + by + a = 0$（原方程有两个非零实根，故$c≠0$，该方程为一元二次方程）。
【答案】
（1）$y^2 - y - 2 = 0$
（2）$cy^2 + by + a = 0$
【知识点】
一元二次方程根的定义、换元法、等式的性质
【点评】
本题属于阅读理解迁移题型，重点考察对材料方法的模仿应用能力，核心方法是根的代换，只要理清新根与原根的关系，代入原方程化简即可求解，是对一元二次方程相关知识的灵活考察。
【难度系数】
0.7
本题是阅读模仿类题型，解题核心是运用换元法进行根的代换，具体思路如下：①先设所求新方程的根为$y$，根据题目给出的根的关系，建立$y$与原方程根$x$的等量关系，将$x$用含$y$的代数式表示；②将用$y$表示的$x$代入原一元二次方程；③通过化简、整理得到关于$y$的一元二次方程，即为所求方程。第（1）问中新根是原根的相反数，因此$y=-x$，即$x=-y$；第（2）问中新根是原根的倒数，因此$y=\frac{1}{x}$（$x≠0$），即$x=\frac{1}{y}$，代入后去分母整理即可。
【解析】
（1）设所求方程的根为$y$，由题意得$y$是原方程根$x$的相反数，即$y=-x$，变形得$x=-y$。
把$x=-y$代入方程$x^2 + x - 2 = 0$，得：
$(-y)^2 + (-y) - 2 = 0$
整理得$y^2 - y - 2 = 0$。
（2）设所求方程的根为$y$，由题意得$y$是原方程根$x$的倒数，即$y=\frac{1}{x}$（已知原方程根不为0，故$x≠0$，$y≠0$），变形得$x=\frac{1}{y}$。
把$x=\frac{1}{y}$代入方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，得：
$a · (\frac{1}{y})^2 + b · \frac{1}{y} + c = 0$
方程两边同时乘$y^2$（$y≠0$，等式仍成立），得：
$a + by + cy^2 = 0$
整理得$cy^2 + by + a = 0$（原方程有两个非零实根，故$c≠0$，该方程为一元二次方程）。
【答案】
（1）$y^2 - y - 2 = 0$
（2）$cy^2 + by + a = 0$
【知识点】
一元二次方程根的定义、换元法、等式的性质
【点评】
本题属于阅读理解迁移题型，重点考察对材料方法的模仿应用能力，核心方法是根的代换，只要理清新根与原根的关系，代入原方程化简即可求解，是对一元二次方程相关知识的灵活考察。
【难度系数】
0.7
