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【例3】如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，∠AOB=130°.
(1)求∠COE的度数.
(2)如果∠COD=20°，求∠BOE的度数.
解:
【规律方法】
求角的度数时常用到的两种思想方法
(1)数形结合思想:借助图形寻找角与角之间的和差关系.
(2)方程思想:先找出能够沟通题目中所有数量关系的关键量，将其设为未知数，再用未知数表示所涉及的量，列出方程，求出未知量.
(1)求∠COE的度数.
(2)如果∠COD=20°，求∠BOE的度数.
解:
【规律方法】
求角的度数时常用到的两种思想方法
(1)数形结合思想:借助图形寻找角与角之间的和差关系.
(2)方程思想:先找出能够沟通题目中所有数量关系的关键量，将其设为未知数，再用未知数表示所涉及的量，列出方程，求出未知量.
答案
(1) ∠COE=65°.
(2) ∠BOE=45°.
(2) ∠BOE=45°.
解析
【分析】
(1) 求∠COE的度数时，先结合角平分线的性质，将∠COE拆分为∠COD与∠DOE的和，再把两个角分别转化为对应大角的一半，即可发现∠COE是∠AOB的一半，代入已知∠AOB的度数就能求解。
(2) 求∠BOE的度数时，先根据∠COD的度数和OC是角平分线的条件，求出∠AOD的度数，再用∠AOB减去∠AOD得到∠BOD的度数，最后利用OE是角平分线的性质，求出∠BOE的度数即可。
【解析】
(1) 已知OC是∠AOD的平分线，根据角平分线的定义可得：$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOD$。
已知OE是∠BOD的平分线，根据角平分线的定义可得：$∠ DOE=\frac{1}{2}∠ BOD$。
因此$∠ COE=∠ COD+∠ DOE=\frac{1}{2}∠ AOD+\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}(∠ AOD+∠ BOD)$。
观察图形可知$∠ AOD+∠ BOD=∠ AOB=130°$，代入得：$∠ COE=\frac{1}{2}×130°=65°$。
(2) 已知OC平分∠AOD，$∠ COD=20°$，因此$∠ AOD=2∠ COD=2×20°=40°$。
可得$∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=130°-40°=90°$。
又因为OE平分∠BOD，所以$∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
(1) $∠ COE=65°$；(2) $∠ BOE=45°$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题解题核心是结合图形梳理角与角的和差关系，再灵活运用角平分线的性质转化角的数量关系，是角度计算的基础题型，掌握角平分线定义和角的和差运算规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 求∠COE的度数时，先结合角平分线的性质，将∠COE拆分为∠COD与∠DOE的和，再把两个角分别转化为对应大角的一半，即可发现∠COE是∠AOB的一半，代入已知∠AOB的度数就能求解。
(2) 求∠BOE的度数时，先根据∠COD的度数和OC是角平分线的条件，求出∠AOD的度数，再用∠AOB减去∠AOD得到∠BOD的度数，最后利用OE是角平分线的性质，求出∠BOE的度数即可。
【解析】
(1) 已知OC是∠AOD的平分线，根据角平分线的定义可得：$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOD$。
已知OE是∠BOD的平分线，根据角平分线的定义可得：$∠ DOE=\frac{1}{2}∠ BOD$。
因此$∠ COE=∠ COD+∠ DOE=\frac{1}{2}∠ AOD+\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}(∠ AOD+∠ BOD)$。
观察图形可知$∠ AOD+∠ BOD=∠ AOB=130°$，代入得：$∠ COE=\frac{1}{2}×130°=65°$。
(2) 已知OC平分∠AOD，$∠ COD=20°$，因此$∠ AOD=2∠ COD=2×20°=40°$。
可得$∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=130°-40°=90°$。
又因为OE平分∠BOD，所以$∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
(1) $∠ COE=65°$；(2) $∠ BOE=45°$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题解题核心是结合图形梳理角与角的和差关系，再灵活运用角平分线的性质转化角的数量关系，是角度计算的基础题型，掌握角平分线定义和角的和差运算规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3.如图,已知$∠ AOD=60°,∠ BOC$是直角,OC平分$∠ AOD$,求$∠ BOD$的度数.
答案
解:∠BOD=60°
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先利用角平分线的定义求出∠COD的度数，再结合∠BOC是直角的条件，观察图形可知∠BOD等于∠BOC减去∠COD，代入对应数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵OC平分∠AOD，∠AOD=60°
∴$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×60°=30°$
又
∵∠BOC是直角
∴$∠ BOC=90°$
∴$∠ BOD=∠ BOC-∠ COD=90°-30°=60°$
【答案】
$∠ BOD=60°$
【知识点】
角平分线的定义；直角的定义；角度和差计算
【点评】
本题属于基础角度运算题，解题的核心是准确识别图形中各角的数量关系，熟练运用角平分线和直角的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，首先利用角平分线的定义求出∠COD的度数，再结合∠BOC是直角的条件，观察图形可知∠BOD等于∠BOC减去∠COD，代入对应数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵OC平分∠AOD，∠AOD=60°
∴$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×60°=30°$
又
∵∠BOC是直角
∴$∠ BOC=90°$
∴$∠ BOD=∠ BOC-∠ COD=90°-30°=60°$
【答案】
$∠ BOD=60°$
【知识点】
角平分线的定义；直角的定义；角度和差计算
【点评】
本题属于基础角度运算题，解题的核心是准确识别图形中各角的数量关系，熟练运用角平分线和直角的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
1.如图,用三角尺比较$∠ AOB$与$∠ COD$的大小,下面结论正确的是 (
A.$∠ AOB＞∠ COD$
B.$∠ AOB＜∠ COD$
C.$∠ AOB=∠ COD$
D.不能确定
B
)A.$∠ AOB＞∠ COD$
B.$∠ AOB＜∠ COD$
C.$∠ AOB=∠ COD$
D.不能确定
答案
1. B
解析
【分析】
比较两个角的大小可采用叠合法，本题可以借助相同三角尺的固定锐角作为中间参照量来比较。首先明确所用是等腰直角三角尺，它的锐角大小固定为45°：第一步判断∠AOB和45°的大小，将∠AOB的顶点与三角尺锐角顶点O重合，边OB和三角尺底边重合，可发现OA落在三角尺45°角的内部，说明∠AOB比45°小；第二步判断∠COD和45°的大小，将∠COD的顶点与三角尺锐角顶点O重合，边OD和三角尺底边重合，OC和三角尺的另一条锐角边重合，说明∠COD等于45°；第三步对比两个角和45°的大小关系，就能得出两个角的大小结论。
【解析】
我们借助三角尺的固定45°锐角，用叠合法比较两个角的大小：
1. 观察左图：∠AOB的顶点与三角尺锐角顶点O重合，边OB与三角尺底边重合，另一边OA在三角尺45°角的内部，因此$∠ AOB ＜ 45°$；
2. 观察右图：∠COD的顶点与三角尺锐角顶点O重合，边OD与三角尺底边重合，另一边OC与三角尺的另一条锐角边重合，因此$∠ COD = 45°$；
3. 综上可得$∠ AOB ＜ ∠ COD$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
角的大小比较，叠合法
【点评】
本题是角的大小比较的基础题型，核心是借助公共参照角，利用叠合法判断角的大小，解题时注意叠合角的时候要对齐顶点和其中一条边，再根据另一条边的位置判断大小即可。
【难度系数】
0.9
比较两个角的大小可采用叠合法，本题可以借助相同三角尺的固定锐角作为中间参照量来比较。首先明确所用是等腰直角三角尺，它的锐角大小固定为45°：第一步判断∠AOB和45°的大小，将∠AOB的顶点与三角尺锐角顶点O重合，边OB和三角尺底边重合，可发现OA落在三角尺45°角的内部，说明∠AOB比45°小；第二步判断∠COD和45°的大小，将∠COD的顶点与三角尺锐角顶点O重合，边OD和三角尺底边重合，OC和三角尺的另一条锐角边重合，说明∠COD等于45°；第三步对比两个角和45°的大小关系，就能得出两个角的大小结论。
【解析】
我们借助三角尺的固定45°锐角，用叠合法比较两个角的大小：
1. 观察左图：∠AOB的顶点与三角尺锐角顶点O重合，边OB与三角尺底边重合，另一边OA在三角尺45°角的内部，因此$∠ AOB ＜ 45°$；
2. 观察右图：∠COD的顶点与三角尺锐角顶点O重合，边OD与三角尺底边重合，另一边OC与三角尺的另一条锐角边重合，因此$∠ COD = 45°$；
3. 综上可得$∠ AOB ＜ ∠ COD$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
角的大小比较，叠合法
【点评】
本题是角的大小比较的基础题型，核心是借助公共参照角，利用叠合法判断角的大小，解题时注意叠合角的时候要对齐顶点和其中一条边，再根据另一条边的位置判断大小即可。
【难度系数】
0.9
2.如图，$∠ BOC = 40°$，OD平分$∠ AOC$，$∠ AOD=25°$，那么$∠ AOB$等于（
A.$65°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$90°$
D
）A.$65°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$90°$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时先从已知条件“OD平分∠AOC”入手，结合角平分线的定义，可先求出∠AOC的度数；再观察图形可知∠AOB是由∠BOC和∠AOC组成的，将两个角的度数相加即可得到∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵OD平分∠AOC，∠AOD=25°
∴∠AOC=2∠AOD=2×25°=50°
又
∵∠BOC=40°
∴∠AOB=∠BOC+∠AOC=40°+50°=90°
故选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题关键是准确识别图形中各角的位置关系，熟练运用角平分线的性质和角的和差规则计算即可。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件“OD平分∠AOC”入手，结合角平分线的定义，可先求出∠AOC的度数；再观察图形可知∠AOB是由∠BOC和∠AOC组成的，将两个角的度数相加即可得到∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵OD平分∠AOC，∠AOD=25°
∴∠AOC=2∠AOD=2×25°=50°
又
∵∠BOC=40°
∴∠AOB=∠BOC+∠AOC=40°+50°=90°
故选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题关键是准确识别图形中各角的位置关系，熟练运用角平分线的性质和角的和差规则计算即可。
【难度系数】
0.9
