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【例1】如图所示，回答下列问题.
(1)$∠ AOC$是哪两个角的和？
(2)$∠ AOB$是哪两个角的差？
解：
(1)$∠ AOC$是哪两个角的和？
(2)$∠ AOB$是哪两个角的差？
解：
答案
1. ∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和.
2. ∠AOB 是∠AOC 与∠BOC 的差，∠AOB 也是∠AOD 与∠BOD 的差.
2. ∠AOB 是∠AOC 与∠BOC 的差，∠AOB 也是∠AOD 与∠BOD 的差.
解析
【分析】
解题时首先观察图形中所有角的公共顶点为O，明确各射线的位置关系：
1. 解决第一问时，找到∠AOC的位置，查看其内部的射线，内部射线会将大角拆分为两个相邻的小角，两个小角的和即为大角；
2. 解决第二问时，找出所有包含∠AOB的更大的角，用大角减去其中不属于∠AOB的剩余部分，即可得到∠AOB作为差的对应组合，注意不要遗漏多种情况。
【解析】
(1) 观察图形，射线OB在∠AOC的内部，将∠AOC分割为两个相邻的角∠AOB和∠BOC，因此$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$。
(2) ① 射线OB在∠AOC内部，因此$∠ AOB = ∠ AOC - ∠ BOC$，即∠AOB是∠AOC与∠BOC的差；
② 射线OB、OC都在∠AOD内部，$∠ AOD = ∠ AOB + ∠ BOD$，变形可得$∠ AOB = ∠ AOD - ∠ BOD$，即∠AOB也是∠AOD与∠BOD的差。
【答案】
1. $∠AOC$是$∠AOB$与$∠BOC$的和。
2. $∠AOB$是$∠AOC$与$∠BOC$的差，$∠AOB$也是$∠AOD$与$∠BOD$的差。
【知识点】
角的和差关系，角的构成
【点评】
本题是角的和差相关的基础题，解题关键是准确识别同一顶点下角的相邻、包含关系，答题时注意不要遗漏第二问的第二种情况。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察图形中所有角的公共顶点为O，明确各射线的位置关系：
1. 解决第一问时，找到∠AOC的位置，查看其内部的射线，内部射线会将大角拆分为两个相邻的小角，两个小角的和即为大角；
2. 解决第二问时，找出所有包含∠AOB的更大的角，用大角减去其中不属于∠AOB的剩余部分，即可得到∠AOB作为差的对应组合，注意不要遗漏多种情况。
【解析】
(1) 观察图形，射线OB在∠AOC的内部，将∠AOC分割为两个相邻的角∠AOB和∠BOC，因此$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$。
(2) ① 射线OB在∠AOC内部，因此$∠ AOB = ∠ AOC - ∠ BOC$，即∠AOB是∠AOC与∠BOC的差；
② 射线OB、OC都在∠AOD内部，$∠ AOD = ∠ AOB + ∠ BOD$，变形可得$∠ AOB = ∠ AOD - ∠ BOD$，即∠AOB也是∠AOD与∠BOD的差。
【答案】
1. $∠AOC$是$∠AOB$与$∠BOC$的和。
2. $∠AOB$是$∠AOC$与$∠BOC$的差，$∠AOB$也是$∠AOD$与$∠BOD$的差。
【知识点】
角的和差关系，角的构成
【点评】
本题是角的和差相关的基础题，解题关键是准确识别同一顶点下角的相邻、包含关系，答题时注意不要遗漏第二问的第二种情况。
【难度系数】
0.9
1.如图，两个三角尺的直角顶点重合于点O处，若∠AOD=135°，则∠BOC=
45
°。答案
1. 45
解析
【分析】
首先观察图形，两个三角尺都是直角三角尺，因此它们的直角∠AOB、∠COD都等于90°。已知∠AOD的度数，我们可以先通过∠AOD与∠AOB的差求出∠BOD的度数，再结合∠COD是直角，用∠COD减去∠BOD就能得到∠BOC的度数。
【解析】
解：由题意得，两个三角尺为直角三角尺，直角顶点重合于O，因此：
$∠ AOB = ∠ COD = 90°$
已知$∠ AOD=135°$，根据角的和差关系：
$∠ BOD = ∠ AOD - ∠ AOB = 135° - 90° = 45°$
又因为$∠ BOC + ∠ BOD = ∠ COD = 90°$，所以：
$∠ BOC = 90° - ∠ BOD = 90° - 45° = 45°$
【答案】
45
【知识点】
角的和差计算；直角的定义
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是理清图中各角的和差关系，结合直角的性质逐步推导即可，主要考查学生对角度基本运算的掌握程度。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，两个三角尺都是直角三角尺，因此它们的直角∠AOB、∠COD都等于90°。已知∠AOD的度数，我们可以先通过∠AOD与∠AOB的差求出∠BOD的度数，再结合∠COD是直角，用∠COD减去∠BOD就能得到∠BOC的度数。
【解析】
解：由题意得，两个三角尺为直角三角尺，直角顶点重合于O，因此：
$∠ AOB = ∠ COD = 90°$
已知$∠ AOD=135°$，根据角的和差关系：
$∠ BOD = ∠ AOD - ∠ AOB = 135° - 90° = 45°$
又因为$∠ BOC + ∠ BOD = ∠ COD = 90°$，所以：
$∠ BOC = 90° - ∠ BOD = 90° - 45° = 45°$
【答案】
45
【知识点】
角的和差计算；直角的定义
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是理清图中各角的和差关系，结合直角的性质逐步推导即可，主要考查学生对角度基本运算的掌握程度。
【难度系数】
0.8
【例2】计算：
(1)$180° - 46°42'$； (2)$28°36' + 72°24'$；
(3)$50°24' × 3$； (4)$49°28'52'' ÷ 4$.
解:
【规律方法】
(1)角的运算一般是从低级到高级或从高级到低级逐级运算.
(2)加法、乘法运算中，分、秒满60向上一级进1；减法运算中，若需借位，注意上一级的1需乘60放入下一级；除法运算中，从高位算起，余数乘60化为下一级再运算.
(1)$180° - 46°42'$； (2)$28°36' + 72°24'$；
(3)$50°24' × 3$； (4)$49°28'52'' ÷ 4$.
解:
【规律方法】
(1)角的运算一般是从低级到高级或从高级到低级逐级运算.
(2)加法、乘法运算中，分、秒满60向上一级进1；减法运算中，若需借位，注意上一级的1需乘60放入下一级；除法运算中，从高位算起，余数乘60化为下一级再运算.
答案
(1) 133°18'.
(2) 101°.
(3) 151°12'.
(4) 12°22'13''.
(2) 101°.
(3) 151°12'.
(4) 12°22'13''.
解析
【分析】
首先明确度、分、秒为60进制，即$1°=60'$，$1'=60''$，不同运算对应不同规则：①减法：低位不够减时，从高位借1当作60再减；②加法：同单位相加，分或秒满60就向高一级进1；③乘法：分别用度、分乘乘数，结果满60进1；④除法：从最高位（度）开始除，余数乘60转为下一级单位，和下一级原有数相加后再除，依次计算到秒。按照对应规则逐个计算4个小题即可。
【解析】
(1) 计算$180° - 46°42'$：
180°的分位为0，不够减42'，先将$180°$转化为$179°60'$，再同单位相减：
$179°60' - 46°42' = (179°-46°)+(60'-42') = 133°18'$
(2) 计算$28°36' + 72°24'$：
同单位分别相加：
$28°+72°=100°$，$36'+24'=60'$，因$60'=1°$，故$100°+1°=101°$
(3) 计算$50°24' × 3$：
分别用度、分乘3：
$50°×3=150°$，$24'×3=72'$，将$72'$转化为$1°12'$，故$150°+1°12'=151°12'$
(4) 计算$49°28'52'' ÷ 4$：
从高位逐级计算：
①度位：$49°÷4=12°$，余$1°$，将余数$1°$转化为$60'$，与原有28'相加得$60'+28'=88'$；
②分位：$88'÷4=22'$，无余数；
③秒位：$52''÷4=13''$；
最终结果为$12°22'13''$
【答案】
(1) $133°18'$；(2) $101°$；(3) $151°12'$；(4) $12°22'13''$
【知识点】
1. 度分秒的进制 2. 度分秒的四则运算
【点评】
本题核心考查度分秒的60进制运算规则，解题时要注意区分不同运算的进退位、借位要求，不要和十进制运算规则混淆，逐位计算可有效降低出错率。
【难度系数】
0.7
首先明确度、分、秒为60进制，即$1°=60'$，$1'=60''$，不同运算对应不同规则：①减法：低位不够减时，从高位借1当作60再减；②加法：同单位相加，分或秒满60就向高一级进1；③乘法：分别用度、分乘乘数，结果满60进1；④除法：从最高位（度）开始除，余数乘60转为下一级单位，和下一级原有数相加后再除，依次计算到秒。按照对应规则逐个计算4个小题即可。
【解析】
(1) 计算$180° - 46°42'$：
180°的分位为0，不够减42'，先将$180°$转化为$179°60'$，再同单位相减：
$179°60' - 46°42' = (179°-46°)+(60'-42') = 133°18'$
(2) 计算$28°36' + 72°24'$：
同单位分别相加：
$28°+72°=100°$，$36'+24'=60'$，因$60'=1°$，故$100°+1°=101°$
(3) 计算$50°24' × 3$：
分别用度、分乘3：
$50°×3=150°$，$24'×3=72'$，将$72'$转化为$1°12'$，故$150°+1°12'=151°12'$
(4) 计算$49°28'52'' ÷ 4$：
从高位逐级计算：
①度位：$49°÷4=12°$，余$1°$，将余数$1°$转化为$60'$，与原有28'相加得$60'+28'=88'$；
②分位：$88'÷4=22'$，无余数；
③秒位：$52''÷4=13''$；
最终结果为$12°22'13''$
【答案】
(1) $133°18'$；(2) $101°$；(3) $151°12'$；(4) $12°22'13''$
【知识点】
1. 度分秒的进制 2. 度分秒的四则运算
【点评】
本题核心考查度分秒的60进制运算规则，解题时要注意区分不同运算的进退位、借位要求，不要和十进制运算规则混淆，逐位计算可有效降低出错率。
【难度系数】
0.7
2.计算：
(1)$14°25'+42°42'$；
(2)$180°-21°17'24''$；
(3)$20°21'×6$；
(4)$17°4'÷5$。
(1)$14°25'+42°42'$；
(2)$180°-21°17'24''$；
(3)$20°21'×6$；
(4)$17°4'÷5$。
答案
(1) 57°7'.
(2) 158°42'36''.
(3) 122°6'.
(4) 3°24'48''.
(2) 158°42'36''.
(3) 122°6'.
(4) 3°24'48''.
解析
【分析】
度分秒的运算遵循60进制规则：加法同单位相加，满60向高一级单位进1；减法不够减时，向高一级单位借1当60；乘法分别用乘数乘每一级单位，满60进位；除法从高一级单位开始除，余数转化为下一级单位继续除。
(1) 角度加法，分别将度、分对应相加，再对分的结果做进位处理即可；
(2) 角度减法，被减数180°没有分、秒，需先转化为179°59'60''，再对应单位相减即可；
(3) 角度乘法，分别将度、分乘6，再对分的结果做进位处理即可；
(4) 角度除法，从度开始除以5，每次的余数依次转化为分、秒，加上原有的对应单位后再继续除，最后合并结果即可。
【解析】
(1) $14°25'+42°42'$
$=(14°+42°)+(25'+42')$
$=56°+67'$
$=56°+1°7'$
$=57°7'$
(2) $180°-21°17'24''$
$=179°59'60''-21°17'24''$
$=(179°-21°)+(59'-17')+(60''-24'')$
$=158°+42'+36''$
$=158°42'36''$
(3) $20°21'×6$
$=20°×6+21'×6$
$=120°+126'$
$=120°+2°6'$
$=122°6'$
(4) $17°4'÷5$
先算度：$17°÷5=3°$，余$2°$，将余的$2°$转化为分：$2°=120'$，加上原有的4分得：$120'+4'=124'$
再算分：$124'÷5=24'$，余$4'$，将余的$4'$转化为秒：$4'=240''$
最后算秒：$240''÷5=48''$
合并结果为$3°24'48''$
【答案】
(1) $57°7'$
(2) $158°42'36''$
(3) $122°6'$
(4) $3°24'48''$
【知识点】
度分秒的换算、度分秒加减运算、度分秒乘除运算
【点评】
本题是角度运算的基础题型，核心是掌握度分秒之间的60进制规则，运算时注意进位、借位以及单位转换的处理，熟练掌握规则即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8
度分秒的运算遵循60进制规则：加法同单位相加，满60向高一级单位进1；减法不够减时，向高一级单位借1当60；乘法分别用乘数乘每一级单位，满60进位；除法从高一级单位开始除，余数转化为下一级单位继续除。
(1) 角度加法，分别将度、分对应相加，再对分的结果做进位处理即可；
(2) 角度减法，被减数180°没有分、秒，需先转化为179°59'60''，再对应单位相减即可；
(3) 角度乘法，分别将度、分乘6，再对分的结果做进位处理即可；
(4) 角度除法，从度开始除以5，每次的余数依次转化为分、秒，加上原有的对应单位后再继续除，最后合并结果即可。
【解析】
(1) $14°25'+42°42'$
$=(14°+42°)+(25'+42')$
$=56°+67'$
$=56°+1°7'$
$=57°7'$
(2) $180°-21°17'24''$
$=179°59'60''-21°17'24''$
$=(179°-21°)+(59'-17')+(60''-24'')$
$=158°+42'+36''$
$=158°42'36''$
(3) $20°21'×6$
$=20°×6+21'×6$
$=120°+126'$
$=120°+2°6'$
$=122°6'$
(4) $17°4'÷5$
先算度：$17°÷5=3°$，余$2°$，将余的$2°$转化为分：$2°=120'$，加上原有的4分得：$120'+4'=124'$
再算分：$124'÷5=24'$，余$4'$，将余的$4'$转化为秒：$4'=240''$
最后算秒：$240''÷5=48''$
合并结果为$3°24'48''$
【答案】
(1) $57°7'$
(2) $158°42'36''$
(3) $122°6'$
(4) $3°24'48''$
【知识点】
度分秒的换算、度分秒加减运算、度分秒乘除运算
【点评】
本题是角度运算的基础题型，核心是掌握度分秒之间的60进制规则，运算时注意进位、借位以及单位转换的处理，熟练掌握规则即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8
