【知识点】用三角形全等的判定方法研究尺规作图问题
如图是“过直线AB外一点C作AB的平行线CD”的尺规作图. 根据该作图方法, 可以证明$CD// AB$, 证明过程中判定$△ CMN≌△ EFG$的依据是 ()

A.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
B.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
C.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D.三边分别相等的两个三角形全等

图14.2-16

D

【分析】
首先明确该作图的本质是通过作相等的同位角证明两直线平行，核心是“作一个角等于已知角”的尺规操作。回忆作等角的步骤：第一步以点E为圆心画弧，得到线段EF、EG、FG；第二步以C为圆心、EF长为半径画弧得到CM；第三步以M为圆心、FG长为半径画弧得到交点N，可得MN=FG、CN=EG。由此可知两个三角形的三组对应边全部相等，对应全等三角形的判定定理即可确定答案。
【解析】
该作图的原理是作相等的同位角，根据尺规操作的步骤可得：$EF=CM$，$EG=CN$，$FG=MN$。
在$△ CMN$和$△ EFG$中：
$\begin{cases}CM=EF \\CN=EG \\MN=FG\end{cases}$
$\therefore △ CMN ≌ △ EFG \ (\mathrm{SSS})$，即判定依据为三边分别相等的两个三角形全等。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形全等判定；尺规作等角
【点评】
本题结合尺规作图考查三角形全等的判定，要求学生掌握作一个角等于已知角的操作原理，能从作图痕迹中提取相等的线段，属于基础题型，侧重对作图原理的理解考查。
【难度系数】
0.8

【例】角的表示、作图与计算：

(1) 已知：$∠ α$，$∠ AOB$（图2，图3）.
求作：在图3中，以OA为一边，在$∠ AOB$的内部作$∠ AOC=∠ α$.（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2) 在第（1）问的条件下，$∠ AOB=60°$，$∠ AOC=20°$，OD是$∠ AOB$的角平分线，求$∠ DOC$的度数.
【点拨】（1）利用尺规作图构造全等三角形作相等的角.（2）根据角的和差及角平分线的定义进行计算.

(1) 根据题意，以 OA 为一边，在∠AOB 的内部作∠AOC=∠α 即可，如图所示，∠AOC 就是所求的角.
(2) 如图，
∵∠AOC=20°, ∠AOB=60°,
∴∠BOC=∠AOB - ∠AOC=60°-20°=40°,
∵OD 是∠AOB 的平分线,
∴∠AOD=30°,
∴∠DOC=∠AOD-∠AOC=30°-20°=10°.

【分析】
(1) 本问考查尺规作一个角等于已知角，依据构造全等三角形作等角的原理，以O为顶点、OA为一边，在∠AOB内部作出与∠α相等的角即可，作图时保留痕迹即可，不需要写作法。
(2) 本问考查角度计算，首先根据角平分线的定义求出∠AOD的度数，再结合角的和差关系，用∠AOD减去∠AOC就能得到∠DOC的度数。
【解析】
(1) 按照尺规作相等角的操作规范，在∠AOB内部作出∠AOC=∠α，保留作图痕迹即可。
(2) 已知∠AOB=60°，OD是∠AOB的角平分线，根据角平分线的定义：
$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×60°=30°$
又已知$∠ AOC=20°$，根据角的和差关系：
$∠ DOC=∠ AOD-∠ AOC=30°-20°=10°$
【答案】
(1) 根据题意，以 OA 为一边，在∠AOB 的内部作∠AOC=∠α 即可，如图所示，∠AOC 就是所求的角.
(2) $∠ DOC=10°$
【知识点】
尺规作相等角；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，包含作图和计算两部分，既考查了尺规作图的基本操作能力，也考查了角的相关性质的应用，掌握基础作图方法和角的运算规律即可顺利解题。
【难度系数】
0.8