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4. 如图，在$△ ABC$中，$BD$是$AC$边上的中线.
(1) 尺规作图：过点$A$作$AE//BC$交$BD$的延长线于点$E$.（保留作图痕迹，不写作法）
(2) 图中一定与$AE$相等的线段为
5. 如图，$AC$，$BD$相交于点$O$，且$AB=DC$，$AC=DB$. 求证：$∠ ABO=∠ DCO$.
(1) 尺规作图：过点$A$作$AE//BC$交$BD$的延长线于点$E$.（保留作图痕迹，不写作法）
(2) 图中一定与$AE$相等的线段为
CB=AE
.5. 如图，$AC$，$BD$相交于点$O$，且$AB=DC$，$AC=DB$. 求证：$∠ ABO=∠ DCO$.
答案
4. (1) 作图见
(2) CB=AE.
5. 证明：连接BC，在△ABC和△DCB中，$\begin{cases} AB=DC, \\ AC=DB, \\ BC=CB, \end{cases}$
∴△ABC≌△DCB（SSS）.
∴∠A = ∠D.
∵∠AOB=∠DOC，
∴∠ABO=∠DCO. 作图见
解析
第4题
【分析】
(1) 要作过点A且平行于BC的直线AE，可依据“内错角相等，两直线平行”的原理，尺规构造∠EAC=∠ACB，角的另一边与BD延长线的交点即为E，保留作图痕迹即可。
(2) 先梳理已知条件：BD是AC中线可得AD=CD，AE//BC可得∠EAD=∠BCD，结合对顶角∠ADE=∠CDB，可证明△ADE与△CDB全等，根据全等三角形对应边相等即可得到与AE相等的线段。
【解析】
(1) 按尺规作平行线的要求完成作图，保留作图弧线痕迹即可。
(2)
∵BD是AC边上的中线，
∴AD=CD。
∵AE//BC，
∴∠EAD=∠BCD（两直线平行，内错角相等）。
又
∵∠ADE=∠CDB（对顶角相等），
∴△ADE≌△CDB（ASA），
∴AE=CB。
【答案】
(1) 作图见
(2) BC（或CB）
【知识点】
尺规作图、平行线性质、全等三角形判定与性质
【点评】
本题将尺规作图和全等三角形的知识结合考查，属于基础题，解题的关键是通过平行线得到等角，结合中线得到等边，证明三角形全等得到对应边相等。
【难度系数】
0.8
---
第5题
【分析】
要证明∠ABO=∠DCO，已知AB=DC、AC=DB，可先连接公共边BC，利用SSS判定证明△ABC和△DCB全等，得到对应角∠A=∠D，再结合对顶角∠AOB=∠DOC，根据三角形内角和即可推出待证的两个角相等。
【解析】
证明：连接BC，
在△ABC和△DCB中，
$\begin{cases}AB=DC \\AC=DB \\BC=CB（公共边相等）\end{cases}$
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠A=∠D。
∵∠AOB=∠DOC（对顶角相等），
∴$180°-∠ A-∠ AOB=180°-∠ D-∠ DOC$，即$∠ ABO=∠ DCO$。
【答案】
证明过程如上，辅助线作图见
【知识点】
全等三角形判定、对顶角性质、三角形内角和
【点评】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是合理添加辅助线构造全等三角形，公共边是构造全等时常用的隐含条件，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
【分析】
(1) 要作过点A且平行于BC的直线AE，可依据“内错角相等，两直线平行”的原理，尺规构造∠EAC=∠ACB，角的另一边与BD延长线的交点即为E，保留作图痕迹即可。
(2) 先梳理已知条件：BD是AC中线可得AD=CD，AE//BC可得∠EAD=∠BCD，结合对顶角∠ADE=∠CDB，可证明△ADE与△CDB全等，根据全等三角形对应边相等即可得到与AE相等的线段。
【解析】
(1) 按尺规作平行线的要求完成作图，保留作图弧线痕迹即可。
(2)
∵BD是AC边上的中线，
∴AD=CD。
∵AE//BC，
∴∠EAD=∠BCD（两直线平行，内错角相等）。
又
∵∠ADE=∠CDB（对顶角相等），
∴△ADE≌△CDB（ASA），
∴AE=CB。
【答案】
(1) 作图见
(2) BC（或CB）
【知识点】
尺规作图、平行线性质、全等三角形判定与性质
【点评】
本题将尺规作图和全等三角形的知识结合考查，属于基础题，解题的关键是通过平行线得到等角，结合中线得到等边，证明三角形全等得到对应边相等。
【难度系数】
0.8
---
第5题
【分析】
要证明∠ABO=∠DCO，已知AB=DC、AC=DB，可先连接公共边BC，利用SSS判定证明△ABC和△DCB全等，得到对应角∠A=∠D，再结合对顶角∠AOB=∠DOC，根据三角形内角和即可推出待证的两个角相等。
【解析】
证明：连接BC，
在△ABC和△DCB中，
$\begin{cases}AB=DC \\AC=DB \\BC=CB（公共边相等）\end{cases}$
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠A=∠D。
∵∠AOB=∠DOC（对顶角相等），
∴$180°-∠ A-∠ AOB=180°-∠ D-∠ DOC$，即$∠ ABO=∠ DCO$。
【答案】
证明过程如上，辅助线作图见
【知识点】
全等三角形判定、对顶角性质、三角形内角和
【点评】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是合理添加辅助线构造全等三角形，公共边是构造全等时常用的隐含条件，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
6. 如图，D是BC上一点，AB=AD，BC=DE.
(1) 在条件①∠C=∠E，②AC=AE中，选择②可得
(2) 在(1)的条件下，求证：∠CDE=∠BAD.
(1) 在条件①∠C=∠E，②AC=AE中，选择②可得
△ABC≌△ADE（SSS）
.(2) 在(1)的条件下，求证：∠CDE=∠BAD.
答案
6. (1) 解：
∵在△ABC和△ADE中，$\begin{cases} BC=DE, \\ AB=AD, \\ AC=AE, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADE（SSS）.
(2) 证明：
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC.
∴∠BAD=∠EAC.
∵△ABC≌△ADE，
∴∠E=∠C.
∵∠AOE=∠DOC，∠E+∠AOE+∠EAC=180°，∠C+∠DOC+∠CDE=180°，
∴∠CDE=∠EAC.
∵∠BAD=∠EAC，
∴∠CDE=∠BAD.
∵在△ABC和△ADE中，$\begin{cases} BC=DE, \\ AB=AD, \\ AC=AE, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADE（SSS）.
(2) 证明：
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC.
∴∠BAD=∠EAC.
∵△ABC≌△ADE，
∴∠E=∠C.
∵∠AOE=∠DOC，∠E+∠AOE+∠EAC=180°，∠C+∠DOC+∠CDE=180°，
∴∠CDE=∠EAC.
∵∠BAD=∠EAC，
∴∠CDE=∠BAD.
解析
【分析】
(1) 第一问已知AB=AD、BC=DE，选择条件②AC=AE后，△ABC和△ADE的三组对应边全部相等，可直接根据SSS判定定理证明两个三角形全等。
(2) 第二问先借助全等三角形对应角相等的性质，得到∠BAC=∠DAE、∠C=∠E，通过角的和差关系推出∠BAD=∠EAC；再结合对顶角相等、三角形内角和为180°，推导得到∠CDE=∠EAC，最后等量代换即可证明结论。
【解析】
(1) 解：在△ABC和△ADE中：
$\begin{cases} AB=AD \\ BC=DE \\ AC=AE \end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ ADE$（SSS）。
(2) 证明：
∵$△ ABC ≌ △ ADE$，
∴$∠ BAC = ∠ DAE$，
∴$∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，即$∠ BAD = ∠ EAC$。
又
∵$△ ABC ≌ △ ADE$，
∴$∠ E = ∠ C$。
∵$∠ AOE$和$∠ DOC$是对顶角，
∴$∠ AOE = ∠ DOC$。
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ E + ∠ AOE + ∠ EAC = 180°$，$∠ C + ∠ DOC + ∠ CDE = 180°$，
∴$∠ CDE = ∠ EAC$。
又
∵$∠ BAD = ∠ EAC$，
∴$∠ CDE = ∠ BAD$。
【答案】
(1) $△ ABC ≌ △ ADE$（SSS）
(2) $∠ CDE = ∠ BAD$，证明成立。
【知识点】
三角形全等的判定；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形的基础综合题，重点考查学生对全等判定、全等性质的掌握程度，以及几何逻辑推理能力，解题时要注意挖掘图中隐含的对顶角相等、公共角等条件。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问已知AB=AD、BC=DE，选择条件②AC=AE后，△ABC和△ADE的三组对应边全部相等，可直接根据SSS判定定理证明两个三角形全等。
(2) 第二问先借助全等三角形对应角相等的性质，得到∠BAC=∠DAE、∠C=∠E，通过角的和差关系推出∠BAD=∠EAC；再结合对顶角相等、三角形内角和为180°，推导得到∠CDE=∠EAC，最后等量代换即可证明结论。
【解析】
(1) 解：在△ABC和△ADE中：
$\begin{cases} AB=AD \\ BC=DE \\ AC=AE \end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ ADE$（SSS）。
(2) 证明：
∵$△ ABC ≌ △ ADE$，
∴$∠ BAC = ∠ DAE$，
∴$∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，即$∠ BAD = ∠ EAC$。
又
∵$△ ABC ≌ △ ADE$，
∴$∠ E = ∠ C$。
∵$∠ AOE$和$∠ DOC$是对顶角，
∴$∠ AOE = ∠ DOC$。
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ E + ∠ AOE + ∠ EAC = 180°$，$∠ C + ∠ DOC + ∠ CDE = 180°$，
∴$∠ CDE = ∠ EAC$。
又
∵$∠ BAD = ∠ EAC$，
∴$∠ CDE = ∠ BAD$。
【答案】
(1) $△ ABC ≌ △ ADE$（SSS）
(2) $∠ CDE = ∠ BAD$，证明成立。
【知识点】
三角形全等的判定；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形的基础综合题，重点考查学生对全等判定、全等性质的掌握程度，以及几何逻辑推理能力，解题时要注意挖掘图中隐含的对顶角相等、公共角等条件。
【难度系数】
0.7
7. (2025·西藏) 如图，已知AB=DC，AC=DB. 求证：△ABC≌△DCB. 
第7题图
第7题图答案
7. 证明：如题图，在△ABC与△DCB中，$\begin{cases} AB=DC, \\ AC=BD, \\ BC=BC, \end{cases}$
∴△ABC≌△DCB（SSS）.
∴△ABC≌△DCB（SSS）.
解析
【分析】
要证明△ABC≌△DCB，首先回忆三角形全等的判定定理，题目已给出两组对应边相等：AB=DC、AC=DB；再观察图形可知△ABC和△DCB有公共边BC，公共边对应相等，由此可得两个三角形三边对应相等，可通过SSS判定定理完成全等证明。
【解析】
证明：如题图，在△ABC与△DCB中，
$\begin{cases}AB=DC, \\AC=BD, \\BC=BC,\end{cases}$
∴△ABC≌△DCB（SSS）。
【答案】
证明：如题图，在△ABC与△DCB中，
$\begin{cases}AB=DC, \\AC=BD, \\BC=BC,\end{cases}$
∴△ABC≌△DCB（SSS）。
【知识点】
全等三角形SSS判定，公共边的性质
【点评】
本题是三角形全等判定的基础题，解题的核心是挖掘出图形中隐含的公共边相等的条件，结合已知的边相等条件即可快速运用SSS判定定理完成证明。
【难度系数】
0.9
要证明△ABC≌△DCB，首先回忆三角形全等的判定定理，题目已给出两组对应边相等：AB=DC、AC=DB；再观察图形可知△ABC和△DCB有公共边BC，公共边对应相等，由此可得两个三角形三边对应相等，可通过SSS判定定理完成全等证明。
【解析】
证明：如题图，在△ABC与△DCB中，
$\begin{cases}AB=DC, \\AC=BD, \\BC=BC,\end{cases}$
∴△ABC≌△DCB（SSS）。
【答案】
证明：如题图，在△ABC与△DCB中，
$\begin{cases}AB=DC, \\AC=BD, \\BC=BC,\end{cases}$
∴△ABC≌△DCB（SSS）。
【知识点】
全等三角形SSS判定，公共边的性质
【点评】
本题是三角形全等判定的基础题，解题的核心是挖掘出图形中隐含的公共边相等的条件，结合已知的边相等条件即可快速运用SSS判定定理完成证明。
【难度系数】
0.9
