【知识点1】三角形三边的关系
○三角形两边的和第三边，三角形两边的差第三边.

大于 小于

【分析】
本题考查三角形三边关系的基础概念，解题时先回忆三角形三边关系的推导依据：两点之间线段最短，由此可得出两边之和与第三边的大小关系；再对“两边之和大于第三边”的不等式做移项变形，就能得到两边之差与第三边的大小关系，对应填入内容即可。
【解析】
根据两点之间线段最短的基本事实，三角形中任意两边的和一定大于第三边；对两边之和大于第三边的不等式进行移项，可推出任意两边的差小于第三边，因此两个空依次填入“大于”“小于”。
【答案】
大于 小于
【知识点】
三角形三边的关系
【点评】
本题是对基础概念的直接考查，难度较低，熟练掌握三角形三边关系是解答本题的关键，该知识点是解决三角形边长判定、边长取值范围求解等问题的核心基础。
【难度系数】
0.9

1. 下列三条线段中，不能构成三角形的是（）

A.3，4，5
B.4，6，8
C.5，5，8
D.1，2，3

1. D

【分析】
要判断三条线段能否构成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了提升解题效率，可采用简便判断方法：先将三条线段按从小到大的顺序排列，只需验证较小两条边的和是否大于最长边即可：若满足，则三条线段能构成三角形；若小于或等于最长边，则不能构成。接下来按该方法逐一验证选项即可。
【解析】
我们采用“较短两边之和与最长边比较”的方法逐一判断：
A选项：三条边为3，4，5，最长边是5，较短两边和为3+4=7，7＞5，因此可以构成三角形；
B选项：三条边为4，6，8，最长边是8，较短两边和为4+6=10，10＞8，因此可以构成三角形；
C选项：三条边为5，5，8，最长边是8，较短两边和为5+5=10，10＞8，因此可以构成三角形；
D选项：三条边为1，2，3，最长边是3，较短两边和为1+2=3，3=3，不满足“两边之和大于第三边”，因此不能构成三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础考查题，重点检验三角形三边关系的应用能力，掌握“较短两边之和大于最长边”的快速判断技巧，可大幅提升解题速度，做题时要特别注意“两边之和等于第三边”的情况也无法构成三角形。
【难度系数】
0.9

2. 已知三角形的三边长为3，7，a，则a的取值范围是.

2. 4＜a＜10

【分析】
要确定三角形第三边a的取值范围，需运用三角形三边的关系规律：已知三角形的两边长度时，第三边的长度一定大于已知两边的差，小于已知两边的和。我们可以直接代入已知的两条边长3和7，通过计算差与和得到a的取值范围。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
可得第三边a满足：
$7-3 ＜ a ＜ 7+3$
计算得：$4 ＜ a ＜ 10$
【答案】
4＜a＜10
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础考查题型，解题核心是牢记三边的大小约束规则，直接代入计算即可，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9

三角形是具有性的图形.
如图13.2-1，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（）

A.两点之间，线段最短
B.垂线段最短
C.三角形具有稳定性
D.两直线平行，内错角相等

稳定 C

【分析】
首先回忆三角形的基本性质：三角形具有稳定性，而四边形具有易变形的特点。第一空可直接根据三角形的固有性质填写；第二问结合实际场景分析：木门本身是四边形结构，容易变形，加钉一根木条后，木条和木门的边构成了三角形结构，利用三角形的对应特性即可防止木门变形，再对照选项选出符合的答案即可。
【解析】
第一空：三角形的基本性质之一是具有稳定性，因此此处填“稳定”。
第二空：在木门背面加钉木条后，木条与木门的相邻两边共同构成了三角形结构，利用三角形的稳定性可以让木门保持形状、不易变形。逐一分析选项：
A选项“两点之间，线段最短”适用于路径长度比较的场景，与本题无关；
B选项“垂线段最短”是点到直线距离的相关性质，不符合题意；
C选项“三角形具有稳定性”符合加钉木条的原理；
D选项“两直线平行，内错角相等”是平行线的性质，和本题场景无关。
因此第二问选C。
【答案】
稳定；C
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是几何性质在实际生活中的应用类基础题，重点考查对三角形稳定性这一性质的理解与识别，要求同学们能够将数学知识和生活中的常见现象结合起来，准确匹配对应的几何原理。
【难度系数】
0.9

【例1】已知△ABC的三边长均为整数，△ABC的周长为偶数。
(1) 若AC=9，BC=3，求AB的长。
(2) 若AC+BC=15，求AB的最大值。
【点拨】本题考查了三角形的三边关系，解题关键为掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。(1) 根据三角形的三边关系求出AB的取值范围，再由AB为偶数即可得出结论。(2) 根据AC+BC=15，△ABC的周长为偶数，且AB为正整数，可得AB为奇数，再根据AB＜AC+BC=15，即可得出AB的最大值。
【例2】(1) 下列图形中具有稳定性的是。(只填图形序号)
(2) 对不具有稳定性的图形，请适当地添加辅助线，使之具有稳定性。

图13.2-2
【点拨】本题主要考查三角形的稳定性。三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过添加辅助线转化为三角形。

【例1】解：(1) 由题意，可知根据三角形的三边关系，得AC-BC＜AB＜AC+BC，即9-3＜AB＜9+3，
∴6＜AB＜12. 又
∵△ABC的周长为偶数，而AC，BC皆为奇数，
∴AB为偶数，且AB为正整数，故AB=8或10.
∴AB的长为8或10.
(2)
∵AC+BC=15，△ABC的周长为偶数，
∴AB为正整数，且AB为奇数.
∵AB＜AC+BC=15，
∴AB的最大值为13.
【例2】解：(1) 具有稳定性的是①④⑥.
(2) 如答图所示。

【分析】
例1思路：
(1) 先依据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和，代入AC=9、BC=3求出AB的取值范围；再结合周长为偶数的条件：已知AC、BC均为奇数，奇数+奇数为偶数，因此AB需为偶数才能让周长（奇数+奇数+AB）为偶数，在取值范围内筛选正偶数即可得到AB的长。
(2) 已知AC+BC=15为奇数，周长为偶数，因此AB需为奇数才能让周长（奇数+AB）为偶数；再根据三边关系，AB＜AC+BC=15，找出小于15的最大正奇数即为AB的最大值。
例2思路：
(1) 三角形具有稳定性，仅当图形被全部分割为三角形时才具有稳定性。逐个判断：①、④、⑥的所有组成部分均为三角形，具有稳定性；其余图形包含四边形，不具有稳定性。
(2) 对不具有稳定性的图形，只需添加辅助线将其中的四边形分割为三角形，即可使其获得稳定性，辅助线添加方式不唯一，合理即可。
【解析】
例1解答：
(1) 根据三角形三边关系可得：
$AC-BC ＜ AB ＜ AC+BC$
代入$AC=9$，$BC=3$，得$9-3 ＜ AB ＜ 9+3$，即$6 ＜ AB ＜ 12$。
∵ △ABC周长为偶数，$AC=9$、$BC=3$均为奇数，奇数+奇数=偶数，
∴ AB必须为偶数，结合AB为正整数，可得$AB=8$或$10$。
(2)
∵ $AC+BC=15$为奇数，△ABC周长为偶数，周长$=AC+BC+AB$，
∴ AB为正奇数。
又根据三角形三边关系，$AB ＜ AC+BC=15$，
∴ 小于15的最大正奇数为13，即AB的最大值为13。
例2解答：
(1) 三角形具有稳定性，仅全部分割为三角形的图形具备稳定性：
①由2个三角形组成，具有稳定性；②由2个矩形（四边形）组成，不具有稳定性；③由1个三角形+1个矩形组成，不具有稳定性；④由3个三角形组成，具有稳定性；⑤由2个四边形组成，不具有稳定性；⑥由6个三角形组成，具有稳定性。因此具有稳定性的是①④⑥。
(2) 对不具有稳定性的②③⑤，添加辅助线将其分割为三角形即可获得稳定性，添加方式如答图所示。
【答案】
【例1】
(1) AB的长为8或10；
(2) AB的最大值为13。
【例2】
(1) $\boxed{①④⑥}$
(2)
【知识点】
三角形三边关系；三角形的稳定性；整数奇偶性应用
【点评】
本组题是三角形性质的基础应用题，例1需要注意结合周长的奇偶性对第三边的取值进行筛选，避免忽略限制条件导致多解；例2需要理解三角形稳定性的本质，掌握构造稳定多边形的方法，辅助线添加只要合理即可。
【难度系数】
0.75