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1. 如图，以点A为顶点的三角形有（
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
A
）A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
1. A
解析
【分析】
要找出以点A为顶点的三角形，首先明确三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接组成的封闭图形，因此目标三角形必须包含顶点A，且另外两个顶点不能和A共线。我们可以按顺序枚举所有符合条件的顶点组合，避免重复或遗漏：观察图形可知，点E、B在边AB上，点D、C在边AC上，我们从AB边、AC边各选1个除A外的点，和A搭配即可得到所有符合要求的三角形。
【解析】
我们按顺序枚举所有以A为顶点的三角形：
1. 选AB边上的E，AC边上的D，构成△AED；
2. 选AB边上的E，AC边上的C，构成△AEC；
3. 选AB边上的B，AC边上的D，构成△ABD；
4. 选AB边上的B，AC边上的C，构成△ABC。
综上，共有4个以点A为顶点的三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形的定义；图形计数
【点评】
本题属于基础几何题，核心是掌握三角形的基本概念，计数时按固定顺序枚举即可准确得到结果，注意不要漏数或重复数。
【难度系数】
0.9
要找出以点A为顶点的三角形，首先明确三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接组成的封闭图形，因此目标三角形必须包含顶点A，且另外两个顶点不能和A共线。我们可以按顺序枚举所有符合条件的顶点组合，避免重复或遗漏：观察图形可知，点E、B在边AB上，点D、C在边AC上，我们从AB边、AC边各选1个除A外的点，和A搭配即可得到所有符合要求的三角形。
【解析】
我们按顺序枚举所有以A为顶点的三角形：
1. 选AB边上的E，AC边上的D，构成△AED；
2. 选AB边上的E，AC边上的C，构成△AEC；
3. 选AB边上的B，AC边上的D，构成△ABD；
4. 选AB边上的B，AC边上的C，构成△ABC。
综上，共有4个以点A为顶点的三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形的定义；图形计数
【点评】
本题属于基础几何题，核心是掌握三角形的基本概念，计数时按固定顺序枚举即可准确得到结果，注意不要漏数或重复数。
【难度系数】
0.9
2. 下列说法正确的是（
①等边三角形是等腰三角形；
②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两边相等.
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
C
）①等边三角形是等腰三角形；
②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两边相等.
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
答案
2. C
解析
【分析】
本题考查三角形按边分类的相关概念，解题时需结合等腰三角形、等边三角形的定义，逐一判断3个说法的正误，最终选出正确选项。首先要明确核心定义：等腰三角形是至少有两边相等的三角形，等边三角形是三边都相等的三角形；还要注意三角形按边分类时各类别的从属关系，不能重复并列。
【解析】
我们逐个分析三个说法：
1. 分析说法①：等腰三角形的定义是至少有两边相等的三角形，等边三角形三边都相等，满足等腰三角形的定义，因此等边三角形是特殊的等腰三角形，①正确。
2. 分析说法②：三角形按边分类，应分为不等边三角形和等腰三角形两类，其中等边三角形属于等腰三角形的特殊类型，不能和等腰三角形、不等边三角形并列分类，②错误。
3. 分析说法③：根据等腰三角形的定义，等腰三角形至少有两边相等，③正确。
综上，①③正确，对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
三角形按边分类；等腰三角形的定义；等边三角形的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点在于对三角形按边分类的层级关系理解不到位，误将等边三角形作为独立类别与等腰三角形并列，只要准确掌握各类三角形的定义和从属关系就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
本题考查三角形按边分类的相关概念，解题时需结合等腰三角形、等边三角形的定义，逐一判断3个说法的正误，最终选出正确选项。首先要明确核心定义：等腰三角形是至少有两边相等的三角形，等边三角形是三边都相等的三角形；还要注意三角形按边分类时各类别的从属关系，不能重复并列。
【解析】
我们逐个分析三个说法：
1. 分析说法①：等腰三角形的定义是至少有两边相等的三角形，等边三角形三边都相等，满足等腰三角形的定义，因此等边三角形是特殊的等腰三角形，①正确。
2. 分析说法②：三角形按边分类，应分为不等边三角形和等腰三角形两类，其中等边三角形属于等腰三角形的特殊类型，不能和等腰三角形、不等边三角形并列分类，②错误。
3. 分析说法③：根据等腰三角形的定义，等腰三角形至少有两边相等，③正确。
综上，①③正确，对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
三角形按边分类；等腰三角形的定义；等边三角形的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点在于对三角形按边分类的层级关系理解不到位，误将等边三角形作为独立类别与等腰三角形并列，只要准确掌握各类三角形的定义和从属关系就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
3. 如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，在△ABC中，∠C所对的边是
A
B D C
AB
；在△ACD中，∠C所对的边是AD
。A
B D C
答案
3. AB AD
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确三角形中“角的对边”的定义：在一个三角形中，某个内角的对边是该三角形里不包含这个角顶点的边。解题时先确定要分析的角属于哪个三角形，再对应找不含该角顶点的边即可。首先分析△ABC中∠C的对边：∠C的顶点是C，找△ABC里不过C点的边；再分析△ACD中∠C的对边：同样∠C顶点是C，找△ACD里不过C点的边。
【解析】
根据三角形中角的对边的定义：三角形中一个内角的对边是该三角形内不含有此角顶点的边。
1. 在△ABC中，∠C的顶点为点C，△ABC的三条边为AB、BC、AC，其中不包含点C的边是AB，因此∠C所对的边是AB。
2. 在△ACD中，∠C的顶点仍为点C，△ACD的三条边为AC、CD、AD，其中不包含点C的边是AD，因此∠C所对的边是AD。
【答案】
AB；AD
【知识点】
三角形角与对边的对应关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记角的对边的定义，注意同一个角在不同的三角形中，对应的对边可能不同，避免因混淆所属三角形而出错。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确三角形中“角的对边”的定义：在一个三角形中，某个内角的对边是该三角形里不包含这个角顶点的边。解题时先确定要分析的角属于哪个三角形，再对应找不含该角顶点的边即可。首先分析△ABC中∠C的对边：∠C的顶点是C，找△ABC里不过C点的边；再分析△ACD中∠C的对边：同样∠C顶点是C，找△ACD里不过C点的边。
【解析】
根据三角形中角的对边的定义：三角形中一个内角的对边是该三角形内不含有此角顶点的边。
1. 在△ABC中，∠C的顶点为点C，△ABC的三条边为AB、BC、AC，其中不包含点C的边是AB，因此∠C所对的边是AB。
2. 在△ACD中，∠C的顶点仍为点C，△ACD的三条边为AC、CD、AD，其中不包含点C的边是AD，因此∠C所对的边是AD。
【答案】
AB；AD
【知识点】
三角形角与对边的对应关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记角的对边的定义，注意同一个角在不同的三角形中，对应的对边可能不同，避免因混淆所属三角形而出错。
【难度系数】
0.9
4. 如图，以AB为边的三角形的个数是
4
.答案
4. 4
解析
【分析】
要解决本题，首先明确“以AB为边的三角形”的含义：即三角形必须包含AB这条边，也就是三角形的三个顶点中一定有A、B两个点，我们只需按顺序找出所有能和A、B构成三角形的第三个顶点即可，计数时要按固定顺序查找，避免重复或遗漏。
【解析】
我们逐个列出符合条件的三角形：
1. 第三个顶点为F时，构成$△ ABF$；
2. 第三个顶点为E时，构成$△ ABE$；
3. 第三个顶点为D时，构成$△ ABD$；
4. 第三个顶点为C时，构成$△ ABC$。
因此符合条件的三角形总共有4个。
【答案】
4
【知识点】
三角形的概念；三角形的边的识别
【点评】
本题属于基础类题目，解题核心是明确计数要求，按顺序查找即可，注意避免计数混乱导致漏数或多数的问题。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先明确“以AB为边的三角形”的含义：即三角形必须包含AB这条边，也就是三角形的三个顶点中一定有A、B两个点，我们只需按顺序找出所有能和A、B构成三角形的第三个顶点即可，计数时要按固定顺序查找，避免重复或遗漏。
【解析】
我们逐个列出符合条件的三角形：
1. 第三个顶点为F时，构成$△ ABF$；
2. 第三个顶点为E时，构成$△ ABE$；
3. 第三个顶点为D时，构成$△ ABD$；
4. 第三个顶点为C时，构成$△ ABC$。
因此符合条件的三角形总共有4个。
【答案】
4
【知识点】
三角形的概念；三角形的边的识别
【点评】
本题属于基础类题目，解题核心是明确计数要求，按顺序查找即可，注意避免计数混乱导致漏数或多数的问题。
【难度系数】
0.8
5. 数一数.
共有
共有
共有
10
条线段共有
12
个三角形答案
5. 10 12
解析
【分析】
1. 数线段：采用分类计数的方法避免重复遗漏，线段上共有5个端点，固定左端点依次统计对应右端点的线段数量，再求和即可得到总线段数。
2. 数三角形：所有三角形共用最上方的公共顶点，剩余两个顶点分别在上下两条水平线段上，每条水平线段上的任意线段都能和公共顶点组成三角形，先计算单条水平线段的线段总数，再乘2即可得到总三角形个数。
【解析】
1. 线段计数：
固定左端点逐类统计：
以A为左端点的线段有AB、AC、AD、AE，共4条；
以B为左端点的线段有BC、BD、BE，共3条；
以C为左端点的线段有CD、CE，共2条；
以D为左端点的线段有DE，共1条；
总线段数：$4+3+2+1=10$（条）。
2. 三角形计数：
单条水平线段上有4个端点，线段总数为$3+2+1=6$（条），每条线段对应1个三角形；
图形共有上下2条水平线段，总三角形数：$6×2=12$（个）。
【答案】
10；12
【知识点】
线段计数方法，三角形计数方法，分类计数思想
【点评】
本题是基础的几何计数类题目，重点考查有序计数的能力，按照固定规律分类统计可以有效避免重复和遗漏，数三角形时抓住公共顶点的特征可简化计数过程。
【难度系数】
0.7
1. 数线段：采用分类计数的方法避免重复遗漏，线段上共有5个端点，固定左端点依次统计对应右端点的线段数量，再求和即可得到总线段数。
2. 数三角形：所有三角形共用最上方的公共顶点，剩余两个顶点分别在上下两条水平线段上，每条水平线段上的任意线段都能和公共顶点组成三角形，先计算单条水平线段的线段总数，再乘2即可得到总三角形个数。
【解析】
1. 线段计数：
固定左端点逐类统计：
以A为左端点的线段有AB、AC、AD、AE，共4条；
以B为左端点的线段有BC、BD、BE，共3条；
以C为左端点的线段有CD、CE，共2条；
以D为左端点的线段有DE，共1条；
总线段数：$4+3+2+1=10$（条）。
2. 三角形计数：
单条水平线段上有4个端点，线段总数为$3+2+1=6$（条），每条线段对应1个三角形；
图形共有上下2条水平线段，总三角形数：$6×2=12$（个）。
【答案】
10；12
【知识点】
线段计数方法，三角形计数方法，分类计数思想
【点评】
本题是基础的几何计数类题目，重点考查有序计数的能力，按照固定规律分类统计可以有效避免重复和遗漏，数三角形时抓住公共顶点的特征可简化计数过程。
【难度系数】
0.7
6. 过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形.
（1）其中以AB为一边可以画出
（2）其中以C为顶点可以画出
（1）其中以AB为一边可以画出
3
个三角形；（2）其中以C为顶点可以画出
6
个三角形.答案
6. (1) 3 (2) 6
解析
【分析】
（1）要构造以AB为边的三角形，根据三角形的定义，三个顶点不能在同一条直线上，因此只需找到所有和A、B不共线的点作为第三个顶点，枚举符合条件的点即可得到三角形个数。
（2）要构造以C为顶点的三角形，需要从剩余的4个点中选取2个点，保证选取的两个点和C不共线，有序枚举所有两点组合，排除三点共线的情况就能得到结果。
【解析】
（1）以AB为一边时，第三个顶点可以选C、D、E，这三个点都不与A、B共线，可画出△ABC、△ABD、△ABE，共3个三角形。
（2）以C为顶点时，另外两个顶点从A、B、D、E中选取，符合条件的两点组合为：AB、AD、AE、BD、BE、DE，所有组合对应的三点都不共线，对应可画出△ABC、△ADC、△AEC、△BCD、△BCE、△CDE，共6个三角形。
【答案】
（1）3；（2）6
【知识点】
三角形的定义；枚举计数法；三点共线判定
【点评】
本题解题核心是掌握三角形的构成条件：三点不能共线，计数时要按固定顺序枚举，避免出现重复或遗漏的问题。
【难度系数】
0.8
（1）要构造以AB为边的三角形，根据三角形的定义，三个顶点不能在同一条直线上，因此只需找到所有和A、B不共线的点作为第三个顶点，枚举符合条件的点即可得到三角形个数。
（2）要构造以C为顶点的三角形，需要从剩余的4个点中选取2个点，保证选取的两个点和C不共线，有序枚举所有两点组合，排除三点共线的情况就能得到结果。
【解析】
（1）以AB为一边时，第三个顶点可以选C、D、E，这三个点都不与A、B共线，可画出△ABC、△ABD、△ABE，共3个三角形。
（2）以C为顶点时，另外两个顶点从A、B、D、E中选取，符合条件的两点组合为：AB、AD、AE、BD、BE、DE，所有组合对应的三点都不共线，对应可画出△ABC、△ADC、△AEC、△BCD、△BCE、△CDE，共6个三角形。
【答案】
（1）3；（2）6
【知识点】
三角形的定义；枚举计数法；三点共线判定
【点评】
本题解题核心是掌握三角形的构成条件：三点不能共线，计数时要按固定顺序枚举，避免出现重复或遗漏的问题。
【难度系数】
0.8
7. 小盛在纸上画了四个点，如果把这四个点彼此连接，连成一个图形，则这个图形中会有几个三角形？请你分别画图说明。
答案
解：①当四个点中有两个点在一条直线上时，把这四个点彼此连接，会连成一个四边形，如
，四边形的两条对角线将这个四边形分成三角形的个数是4个.1和2，2和3，3和4，4和1，每两个小三角形可以组成大点的三角形的个数是4个，故这个图形中三角形的个数是4+4=8（个）。②当三个点在一条直线上时，如
，会连成一个大三角形，这个图形中一共有3个三角形。③如[图3]，把这四个点彼此连接，连成一个图形，这个图形中一共有4个三角形。
④当四个点在一条直线上时，则是一条线段，没有三角形。
答：这个图形中会有8个或3个或4个或0个三角形。
解析
【分析】
本题四个点的位置关系未明确，因此需要分类讨论四个点所有可能的位置情况，再对每种情况逐一计数三角形个数：首先考虑点共线的情况，分为四个点全部共线、三个点共线两类；再考虑没有三个点共线的情况，分为一个点在另外三个点围成的三角形内部、四个点构成凸四边形两类，计数时按“单个小三角形→组合大三角形”的顺序数，避免重复或漏数。
【解析】
我们分四种情况讨论：
1. 当四个点在同一条直线上时，所有点共线，不满足三角形三个顶点不共线的构成要求，因此三角形个数为0；
2. 当三个点在同一条直线上，第四个点不在这条直线上时，如图2，以直线外的点为公共顶点，分别和直线上任意两个点组合构成三角形，共可构成3个三角形；
3. 当四个点中没有任意三个点共线，且其中一个点在另外三个点围成的三角形内部时，如图3，连接内部点和三个顶点，共可形成4个三角形；
4. 当四个点中没有任意三个点共线，且四个点构成凸四边形时，如图1，四边形两条对角线相交，先数单个小三角形共4个，再数由两个相邻小三角形拼成的大三角形共4个，总共有4+4=8个三角形。
【答案】
解：①当四个点中有两个点在一条直线上时，把这四个点彼此连接，会连成一个四边形，如，四边形的两条对角线将这个四边形分成三角形的个数是4个.1和2，2和3，3和4，4和1，每两个小三角形可以组成大点的三角形的个数是4个，故这个图形中三角形的个数是4+4=8（个）。
②当三个点在一条直线上时，如，会连成一个大三角形，这个图形中一共有3个三角形。
③如[图3]，把这四个点彼此连接，连成一个图形，这个图形中一共有4个三角形。
④当四个点在一条直线上时，则是一条线段，没有三角形。
答：这个图形中会有8个或3个或4个或0个三角形。
【知识点】
三角形的定义，分类讨论思想，图形计数
【点评】
本题重点考查思维的严谨性，解题的核心是梳理清楚四个点所有可能的位置关系，计数时按顺序计数可避免重复或遗漏，有助于培养分类讨论的几何思维。
【难度系数】
0.6
本题四个点的位置关系未明确，因此需要分类讨论四个点所有可能的位置情况，再对每种情况逐一计数三角形个数：首先考虑点共线的情况，分为四个点全部共线、三个点共线两类；再考虑没有三个点共线的情况，分为一个点在另外三个点围成的三角形内部、四个点构成凸四边形两类，计数时按“单个小三角形→组合大三角形”的顺序数，避免重复或漏数。
【解析】
我们分四种情况讨论：
1. 当四个点在同一条直线上时，所有点共线，不满足三角形三个顶点不共线的构成要求，因此三角形个数为0；
2. 当三个点在同一条直线上，第四个点不在这条直线上时，如图2，以直线外的点为公共顶点，分别和直线上任意两个点组合构成三角形，共可构成3个三角形；
3. 当四个点中没有任意三个点共线，且其中一个点在另外三个点围成的三角形内部时，如图3，连接内部点和三个顶点，共可形成4个三角形；
4. 当四个点中没有任意三个点共线，且四个点构成凸四边形时，如图1，四边形两条对角线相交，先数单个小三角形共4个，再数由两个相邻小三角形拼成的大三角形共4个，总共有4+4=8个三角形。
【答案】
解：①当四个点中有两个点在一条直线上时，把这四个点彼此连接，会连成一个四边形，如
，四边形的两条对角线将这个四边形分成三角形的个数是4个.1和2，2和3，3和4，4和1，每两个小三角形可以组成大点的三角形的个数是4个，故这个图形中三角形的个数是4+4=8（个）。②当三个点在一条直线上时，如
，会连成一个大三角形，这个图形中一共有3个三角形。③如[图3]，把这四个点彼此连接，连成一个图形，这个图形中一共有4个三角形。
④当四个点在一条直线上时，则是一条线段，没有三角形。
答：这个图形中会有8个或3个或4个或0个三角形。
【知识点】
三角形的定义，分类讨论思想，图形计数
【点评】
本题重点考查思维的严谨性，解题的核心是梳理清楚四个点所有可能的位置关系，计数时按顺序计数可避免重复或遗漏，有助于培养分类讨论的几何思维。
【难度系数】
0.6
