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一、选择题
1. (2024·湖南)如图，在△ABC 中，D，E 分别为边 AB，AC 的中点。下列结论中，错误的是(
A.DE//BC
B.△ADE∽△ABC
C.BC = 2DE
D.$ S_{△ADE}=\frac{1}{2}S_{△ABC} $
1. (2024·湖南)如图，在△ABC 中，D，E 分别为边 AB，AC 的中点。下列结论中，错误的是(
D
)A.DE//BC
B.△ADE∽△ABC
C.BC = 2DE
D.$ S_{△ADE}=\frac{1}{2}S_{△ABC} $
答案
1.D
解析
证明：
∵D，E分别为边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，BC=2DE，故A、C正确；
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，相似比为1:2，故B正确；
∵相似比为1:2，
∴$S_{△ADE}=(\frac{1}{2})^2S_{△ABC}=\frac{1}{4}S_{△ABC}$，故D错误。
答案：D
∵D，E分别为边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，BC=2DE，故A、C正确；
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，相似比为1:2，故B正确；
∵相似比为1:2，
∴$S_{△ADE}=(\frac{1}{2})^2S_{△ABC}=\frac{1}{4}S_{△ABC}$，故D错误。
答案：D
2. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，且 $ CF=\frac{1}{4}CD $，下列结论中错误的是(
A.$ EF=\frac{1}{2}AE $
B.△ABE∽△AEF
C.△ABE∽△ECF
D.△ADF∽△ECF
D
)A.$ EF=\frac{1}{2}AE $
B.△ABE∽△AEF
C.△ABE∽△ECF
D.△ADF∽△ECF
答案
2.D
解析
设正方形$ABCD$的边长为$4a$，则$AB = BC = CD = AD = 4a$。
$\because E$是$BC$的中点，$\therefore BE=EC = 2a$。
$\because CF=\frac{1}{4}CD$，$\therefore CF = a$，$DF=4a - a=3a$。
在$Rt△ ABE$中，$AE=\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{(4a)^{2}+(2a)^{2}}=2\sqrt{5}a$。
在$Rt△ ECF$中，$EF=\sqrt{EC^{2}+CF^{2}}=\sqrt{(2a)^{2}+a^{2}}=\sqrt{5}a$，$\therefore EF=\frac{1}{2}AE$，A正确。
$\because \frac{AB}{EC}=\frac{4a}{2a}=2$，$\frac{BE}{CF}=\frac{2a}{a}=2$，且$∠ B=∠ C = 90^{\circ}$，$\therefore △ ABE∼△ ECF$，C正确。
$\because △ ABE∼△ ECF$，$\therefore ∠ BAE=∠ CEF$。
$\because ∠ BAE+∠ AEB = 90^{\circ}$，$\therefore ∠ CEF+∠ AEB=90^{\circ}$，$\therefore ∠ AEF = 90^{\circ}$。
$\because \frac{AB}{AE}=\frac{4a}{2\sqrt{5}a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{BE}{EF}=\frac{2a}{\sqrt{5}a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，且$∠ B=∠ AEF = 90^{\circ}$，$\therefore △ ABE∼△ AEF$，B正确。
在$Rt△ ADF$中，$AF=\sqrt{AD^{2}+DF^{2}}=\sqrt{(4a)^{2}+(3a)^{2}}=5a$。
$\frac{AD}{EC}=\frac{4a}{2a}=2$，$\frac{DF}{CF}=\frac{3a}{a}=3$，$\because 2≠3$，$\therefore △ ADF$与$△ ECF$不相似，D错误。
答案：D
$\because E$是$BC$的中点，$\therefore BE=EC = 2a$。
$\because CF=\frac{1}{4}CD$，$\therefore CF = a$，$DF=4a - a=3a$。
在$Rt△ ABE$中，$AE=\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{(4a)^{2}+(2a)^{2}}=2\sqrt{5}a$。
在$Rt△ ECF$中，$EF=\sqrt{EC^{2}+CF^{2}}=\sqrt{(2a)^{2}+a^{2}}=\sqrt{5}a$，$\therefore EF=\frac{1}{2}AE$，A正确。
$\because \frac{AB}{EC}=\frac{4a}{2a}=2$，$\frac{BE}{CF}=\frac{2a}{a}=2$，且$∠ B=∠ C = 90^{\circ}$，$\therefore △ ABE∼△ ECF$，C正确。
$\because △ ABE∼△ ECF$，$\therefore ∠ BAE=∠ CEF$。
$\because ∠ BAE+∠ AEB = 90^{\circ}$，$\therefore ∠ CEF+∠ AEB=90^{\circ}$，$\therefore ∠ AEF = 90^{\circ}$。
$\because \frac{AB}{AE}=\frac{4a}{2\sqrt{5}a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{BE}{EF}=\frac{2a}{\sqrt{5}a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，且$∠ B=∠ AEF = 90^{\circ}$，$\therefore △ ABE∼△ AEF$，B正确。
在$Rt△ ADF$中，$AF=\sqrt{AD^{2}+DF^{2}}=\sqrt{(4a)^{2}+(3a)^{2}}=5a$。
$\frac{AD}{EC}=\frac{4a}{2a}=2$，$\frac{DF}{CF}=\frac{3a}{a}=3$，$\because 2≠3$，$\therefore △ ADF$与$△ ECF$不相似，D错误。
答案：D
3. (2024·惠山区期末)如图，在△ABC 中，点 D 在 AC 边上，AD:DC = 1:2，O 是 BD 的中点，连接 AO 并延长交 BC 于点 E，若 BE = 1，则 EC 的长为(
A.2
B.2.5
C.3
D.4
C
)A.2
B.2.5
C.3
D.4
答案
3.C
解析
证明：过点 $ D $ 作 $ DF // AE $ 交 $ BC $ 于点 $ F $。
因为 $ O $ 是 $ BD $ 的中点，且 $ OE // DF $，所以 $ E $ 是 $ BF $ 的中点，即 $ BE = EF $。已知 $ BE = 1 $，故 $ EF = 1 $。
由于 $ AD:DC = 1:2 $，且 $ DF // AE $，根据平行线分线段成比例定理，得 $ \frac{EF}{FC} = \frac{AD}{DC} = \frac{1}{2} $。因此 $ FC = 2EF = 2 × 1 = 2 $。
所以 $ EC = EF + FC = 1 + 2 = 3 $。
答案：C
因为 $ O $ 是 $ BD $ 的中点，且 $ OE // DF $，所以 $ E $ 是 $ BF $ 的中点，即 $ BE = EF $。已知 $ BE = 1 $，故 $ EF = 1 $。
由于 $ AD:DC = 1:2 $，且 $ DF // AE $，根据平行线分线段成比例定理，得 $ \frac{EF}{FC} = \frac{AD}{DC} = \frac{1}{2} $。因此 $ FC = 2EF = 2 × 1 = 2 $。
所以 $ EC = EF + FC = 1 + 2 = 3 $。
答案：C
4. 如图，在平面直角坐标系中，已知 A(-3,-2)，B(0,-2)，C(-3,0)，M 是线段 AB 上的一个动点，连接 CM，过点 M 作 MN⊥MC 交 y 轴于点 N，若点 M，N 在直线 y = kx + b 上，则 b 的最大值是(
A.$ -\frac{7}{8} $
B.$ -\frac{3}{4} $
C.-1
D.0
A
)A.$ -\frac{7}{8} $
B.$ -\frac{3}{4} $
C.-1
D.0
答案
4.A
解析
解：设点$M$的坐标为$(m,-2)$，其中$-3 ≤ m ≤ 0$。
已知$C(-3,0)$，则直线$CM$的斜率$k_{CM}=\frac{-2 - 0}{m - (-3)}=\frac{-2}{m + 3}$。
因为$MN ⊥ MC$，所以直线$MN$的斜率$k_{MN}=-\frac{1}{k_{CM}}=\frac{m + 3}{2}$。
直线$MN$的方程为$y - (-2)=\frac{m + 3}{2}(x - m)$，即$y + 2=\frac{m + 3}{2}(x - m)$。
令$x = 0$，可得点$N$的纵坐标$y_N$：
$\begin{aligned}y_N + 2&=\frac{m + 3}{2}(0 - m)\\y_N&=-\frac{m(m + 3)}{2}-2\\&=-\frac{m^2 + 3m}{2}-2\\&=-\frac{1}{2}m^2 - \frac{3}{2}m - 2\end{aligned}$
因为点$M(m,-2)$和$N(0,y_N)$在直线$y = kx + b$上，所以$b = y_N=-\frac{1}{2}m^2 - \frac{3}{2}m - 2$。
对于二次函数$b = -\frac{1}{2}m^2 - \frac{3}{2}m - 2$，其对称轴为$m = -\frac{b}{2a}=-\frac{-\frac{3}{2}}{2×(-\frac{1}{2})}=-\frac{3}{2}$。
当$m = -\frac{3}{2}$时，$b$取得最大值：
$\begin{aligned}b&=-\frac{1}{2}×(-\frac{3}{2})^2 - \frac{3}{2}×(-\frac{3}{2}) - 2\\&=-\frac{1}{2}×\frac{9}{4} + \frac{9}{4} - 2\\&=-\frac{9}{8} + \frac{18}{8} - \frac{16}{8}\\&=-\frac{7}{8}\end{aligned}$
故$b$的最大值是$-\frac{7}{8}$。
答案：A
已知$C(-3,0)$，则直线$CM$的斜率$k_{CM}=\frac{-2 - 0}{m - (-3)}=\frac{-2}{m + 3}$。
因为$MN ⊥ MC$，所以直线$MN$的斜率$k_{MN}=-\frac{1}{k_{CM}}=\frac{m + 3}{2}$。
直线$MN$的方程为$y - (-2)=\frac{m + 3}{2}(x - m)$，即$y + 2=\frac{m + 3}{2}(x - m)$。
令$x = 0$，可得点$N$的纵坐标$y_N$：
$\begin{aligned}y_N + 2&=\frac{m + 3}{2}(0 - m)\\y_N&=-\frac{m(m + 3)}{2}-2\\&=-\frac{m^2 + 3m}{2}-2\\&=-\frac{1}{2}m^2 - \frac{3}{2}m - 2\end{aligned}$
因为点$M(m,-2)$和$N(0,y_N)$在直线$y = kx + b$上，所以$b = y_N=-\frac{1}{2}m^2 - \frac{3}{2}m - 2$。
对于二次函数$b = -\frac{1}{2}m^2 - \frac{3}{2}m - 2$，其对称轴为$m = -\frac{b}{2a}=-\frac{-\frac{3}{2}}{2×(-\frac{1}{2})}=-\frac{3}{2}$。
当$m = -\frac{3}{2}$时，$b$取得最大值：
$\begin{aligned}b&=-\frac{1}{2}×(-\frac{3}{2})^2 - \frac{3}{2}×(-\frac{3}{2}) - 2\\&=-\frac{1}{2}×\frac{9}{4} + \frac{9}{4} - 2\\&=-\frac{9}{8} + \frac{18}{8} - \frac{16}{8}\\&=-\frac{7}{8}\end{aligned}$
故$b$的最大值是$-\frac{7}{8}$。
答案：A
二、填空题
5. 我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的边长是 6，那么这个菱形的面积是
5. 我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的边长是 6，那么这个菱形的面积是
18
。答案
5.18
解析
设菱形的两条对角线长分别为$a$、$b$。
因为菱形的边长是两条对角线长度的比例中项，所以$6^2 = a · b$，即$ab = 36$。
菱形的面积$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 36 = 18$。
18
因为菱形的边长是两条对角线长度的比例中项，所以$6^2 = a · b$，即$ab = 36$。
菱形的面积$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 36 = 18$。
18
6. (2023·溧阳月考)如图，点 E 在矩形 ABCD 的 AB 边上，将△ADE 沿 DE 翻折，点 A 恰好落在 BC 边上的点 F 处，若 CD = 3BF，BE = 3，则 AD 的长为
$\frac{45}{4}$
。答案
6.$\frac{45}{4}$
解析
解：设 $ BF = x $，则 $ CD = 3x $。
因为四边形 $ ABCD $ 是矩形，所以 $ AB = CD = 3x $，$ AD = BC $，$ ∠ B = ∠ C = 90° $。
因为 $ BE = 3 $，所以 $ AE = AB - BE = 3x - 3 $。
由翻折可知，$ △ ADE ≌ △ FDE $，所以 $ DF = AD $，$ EF = AE = 3x - 3 $。
在 $ \mathrm{Rt}△ BEF $ 中，$ BE = 3 $，$ BF = x $，根据勾股定理得：$ EF^2 = BE^2 + BF^2 $，即 $ (3x - 3)^2 = 3^2 + x^2 $。
展开并整理得：$ 9x^2 - 18x + 9 = 9 + x^2 $，$ 8x^2 - 18x = 0 $，$ 2x(4x - 9) = 0 $。
解得 $ x = 0 $（舍去）或 $ x = \frac{9}{4} $。
所以 $ BF = \frac{9}{4} $，$ CD = 3x = \frac{27}{4} $，$ BC = AD = DF $，$ CF = BC - BF = AD - \frac{9}{4} $。
在 $ \mathrm{Rt}△ CDF $ 中，$ CD = \frac{27}{4} $，$ CF = AD - \frac{9}{4} $，$ DF = AD $，根据勾股定理得：$ DF^2 = CD^2 + CF^2 $，即 $ AD^2 = ( \frac{27}{4} )^2 + ( AD - \frac{9}{4} )^2 $。
展开并整理得：$ AD^2 = \frac{729}{16} + AD^2 - \frac{9}{2}AD + \frac{81}{16} $，$ 0 = \frac{810}{16} - \frac{9}{2}AD $，$ \frac{9}{2}AD = \frac{405}{8} $，解得 $ AD = \frac{45}{4} $。
$\frac{45}{4}$
因为四边形 $ ABCD $ 是矩形，所以 $ AB = CD = 3x $，$ AD = BC $，$ ∠ B = ∠ C = 90° $。
因为 $ BE = 3 $，所以 $ AE = AB - BE = 3x - 3 $。
由翻折可知，$ △ ADE ≌ △ FDE $，所以 $ DF = AD $，$ EF = AE = 3x - 3 $。
在 $ \mathrm{Rt}△ BEF $ 中，$ BE = 3 $，$ BF = x $，根据勾股定理得：$ EF^2 = BE^2 + BF^2 $，即 $ (3x - 3)^2 = 3^2 + x^2 $。
展开并整理得：$ 9x^2 - 18x + 9 = 9 + x^2 $，$ 8x^2 - 18x = 0 $，$ 2x(4x - 9) = 0 $。
解得 $ x = 0 $（舍去）或 $ x = \frac{9}{4} $。
所以 $ BF = \frac{9}{4} $，$ CD = 3x = \frac{27}{4} $，$ BC = AD = DF $，$ CF = BC - BF = AD - \frac{9}{4} $。
在 $ \mathrm{Rt}△ CDF $ 中，$ CD = \frac{27}{4} $，$ CF = AD - \frac{9}{4} $，$ DF = AD $，根据勾股定理得：$ DF^2 = CD^2 + CF^2 $，即 $ AD^2 = ( \frac{27}{4} )^2 + ( AD - \frac{9}{4} )^2 $。
展开并整理得：$ AD^2 = \frac{729}{16} + AD^2 - \frac{9}{2}AD + \frac{81}{16} $，$ 0 = \frac{810}{16} - \frac{9}{2}AD $，$ \frac{9}{2}AD = \frac{405}{8} $，解得 $ AD = \frac{45}{4} $。
$\frac{45}{4}$
7. (2024·泰安)如图，AB 是⊙O 的直径，AH 是⊙O 的切线，C 为⊙O 上任意一点，D 为 $ \overset{\frown}{AC} $ 的中点，连接 BD 交 AC 于点 E，延长 BD 与 AH 交于点 F。若 DF = 1，tanB = $ \frac{1}{2} $，则 AE 的长为
$\sqrt{5}$
。答案
7.$\sqrt{5}$
