三、解答题
8. 如图，点 P 在△ABC 的外部，连接 AP，BP，在△ABC 的外部分别作∠1 = ∠BAC，∠2 = ∠ABP，连接 PQ。
(1)求证：AC·AP = AB·AQ；
(2)判断∠PQA 与∠ACB 的数量关系，并说明理由。

8.(1)证明:
∵∠1=∠BAC,
∴∠1+∠PAC=∠BAC+∠PAC,
∴∠CAQ=∠BAP.
∵∠2=∠ABP,
∴△CAQ∽△BAP,
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AQ}{AP}$
∴AC·AP=AB·AQ.
　(2)解:∠PQA=∠ACB.
　理由:
∵AC·AP=AB·AQ,
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$.
∵∠1=∠BAC,
∴△APQ∽△ABC,
∴∠PQA=∠ACB.

9. (2023·盐城)如图，在△ABC 中，O 是 AC 上(异于点 A，C)的一点，⊙O 恰好经过点 A，B，AD⊥CB 于点 D，且 AB 平分∠CAD。
(1)判断 BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
(2)若 AC = 10，DC = 8，求⊙O 的半径长。

9.解:(1)BC与⊙O相切,理由如下:
　如答图，连接OB,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA.
∵AB平分∠CAD,
∴∠DAB=∠CAB,
∴∠DAB=∠OBA,
∴AD//OB.
∵AD⊥CB,
∴OB⊥CB.
∵OB是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切
　　　　　　　　　　　　　
　(2)
∵∠D=90°,AC=10,
　DC=8,
∴AD=$\sqrt{AC^{2}-DC^{2}}$=6.
∵AD//OB,
∴$\frac{OB}{AD}=\frac{OC}{AC}$,
∴$\frac{OB}{6}=\frac{10 - OA}{10}$.
∵OA=OB,
∴OB=$\frac{15}{4}$,
∴⊙O的半径长为$\frac{15}{4}$.

10. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为“今有直角三角形，勾(短直角边)长为 5 步，股(长直角边)长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”

10.解:如答图①,
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=ED,DE//CF.
　设ED=x,则CD=x,AD=12−x.
∵DE//CF,
∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B,
∴△ADE∽△ACB,
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$,即$\frac{x}{5}=\frac{12 - x}{12}$，解得x=$\frac{60}{17}$.
　　　　　　
　如答图②，四边形DGFE是正方形，
　过点C作CP⊥AB于点P,交DG于点Q.
　在Rt△ABC中,AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$=13.
　设ED=x,S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BC=$\frac{1}{2}$AB·CP,即12×5=13CP,解得CP=$\frac{60}{13}$.同理,得△CDG∽△CAB,
∴$\frac{DG}{AB}=\frac{CQ}{CP}$,即$\frac{x}{13}=\frac{\frac{60}{13}-x}{\frac{60}{13}}$，解得x=$\frac{780}{229}$＜$\frac{60}{17}$,
∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是$\frac{60}{17}$步.

11. (2024·启东期末)如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，∠ADE = ∠B。
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若 AB = 5，BC = 6，BD = 2，求点 E 到 BC 的距离。

11.(1)证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C;
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE,∠ADE=∠B,
∴∠BAD=∠CDE,
∴△ABD∽△DCE;
　(2)解:如答图，过点A作AH⊥BC
　于点H,过点E作EM⊥BC于点M.
∵AB=AC,AH⊥BC,
　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=3,
∴AH=$\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}$=$\sqrt{5^{2}-3^{2}}$=4.
∵BD=2,BC=6,
∴DC=4,S△ABD=$\frac{1}{2}$BD·AH=4.
∵△ABD∽△DCE,
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ DCE}}=(\frac{AB}{CD})^{2}=\frac{25}{16}$,
∴S△DCE=$\frac{64}{25}$,
∴$\frac{1}{2}$×4×EM=$\frac{64}{25}$,
∴EM=$\frac{32}{25}$,
∴点E到BC的距离为$\frac{32}{25}$.