9. 已知$P$是半径为4的$\odot O$上一点,平面上一点$Q$到点$P$的距离为2,则线段$OQ$的长度$a$的取值范围为.

9.$2≤ a≤ 6$

10.(2025·盐城一模)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90^{ \circ }$,$BC=3$,$AC=4$,$D$为$AB$的中点.以$A$为圆心,$r$为半径作$\odot A$,若$B$,$C$,$D$三点中只有一点在$\odot A$内,则$\odot A$的半径$r$的取值范围是.

10.$2.5＜r≤ 4$

11. 在平面直角坐标系中,$O$为原点,点$A$的坐标为$(5.5,4)$,$\odot A$的半径为2.过点$A$作直线$l$平行于$x$轴,点$P$在直线$l$上运动.当点$P$在$\odot A$上时,点$P$的坐标为.

11.$(3.5,4)$或$(7.5,4)$

12. (2025·泰州模拟)如图,在平面直角坐标系中,点A在$y$轴上,$OA=8$,点B在$x$轴上,$OB=6$.$M$是平面内的一点,$AM=6$.将线段$AM$绕点$A$按顺时针方向旋转一周,连接$BM$.取$BM$的中点$N$,连接$ON$,则线段$ON$长的最大值为.

12.8

13. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ BAD$为钝角,$AE⊥ BC,AF⊥ CD$.
(1)求证:$A,E,C,F$四点在同一个圆上;
(2)设线段$BD$与(1)中的圆交于点$M,N$,求证:$BM=DN$.
$O$ $B$ $x$

13.证明:(1)如答图,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 EO,FO.
$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形,$\therefore O$ 为 AC 的中点.
$\because AE⊥ BC,AF⊥ CD,\therefore ∠ AEC=∠ AFC=90°,$
$\therefore AO=EO=CO=FO=\frac{1}{2}AC,$
$\therefore A,E,C,F$ 四点在以点 O 为圆心,$\frac{1}{2}AC$ 的长为半径的同一个圆上.

(2)由(1)可知,点 O 为圆心,如答图,当 $BM＜BO$ 时,
$\because OM=ON,OB=OD,$
$\therefore OB-OM=OD-ON,\therefore BM=DN.$
当 $BM＞BO$ 时,$\because OM=ON,OB=OD,$
$\therefore OB+OM=ON+OD,\therefore BM=DN.$

14. 如图,矩形纸片 $ABCD$ 的一边 $BC$ 过圆心 $O$,若 $AB=4\ \mathrm{cm},BE=3\ \mathrm{cm},AF=5\ \mathrm{cm}$,求 $\odot O$ 的半径.

14.解:如答图,过点 F 作 $FH⊥ BC$ 于点 H,连接 OF,则四边形 ABHF 是矩形,$AF=BH=5\ \mathrm{cm},AB=FH=4\ \mathrm{cm}.$
$\because BE=3\ \mathrm{cm},\therefore EH=2\ \mathrm{cm}.$
设 $\odot O$ 的半径为 $x\ \mathrm{cm}$,则 $OF=x\ \mathrm{cm},OH=(x-2)\mathrm{cm}.$
在 $\mathrm{Rt}△ OFH$ 中,由勾股定理,得
$(x-2)^2+4^2=x^2$,解得 $x=5$,故 $\odot O$ 的半径为 $5\ \mathrm{cm}.$