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1. 一个质数有()个因数，一个合数最少有()个因数。
答案
2；3
解析
【分析】
解题时首先回忆质数、合数的相关定义，结合因数的概念思考：①质数的定义是只有1和它本身两个因数的自然数，因此直接可以确定质数的因数个数；②合数的定义是除了1和它本身之外还有其他因数的自然数，要找合数最少的因数个数，可结合最小的合数举例验证，即可得出结果。
【解析】
1. 求质数的因数个数：根据质数的定义，一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除，因此质数只有1和它本身2个因数。
2. 求合数最少的因数个数：根据合数的定义，自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他非0自然数整除的数是合数。最小的合数是4，它的因数有1、2、4，共3个，因此一个合数最少有3个因数。
【答案】
2；3
【知识点】
质数的定义；合数的定义；因数的概念
【点评】
本题属于基础概念类题型，重点考查对质数、合数核心定义的掌握，牢记相关概念即可快速答题，是因数与倍数模块的常考基础题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆质数、合数的相关定义，结合因数的概念思考：①质数的定义是只有1和它本身两个因数的自然数，因此直接可以确定质数的因数个数；②合数的定义是除了1和它本身之外还有其他因数的自然数，要找合数最少的因数个数，可结合最小的合数举例验证，即可得出结果。
【解析】
1. 求质数的因数个数：根据质数的定义，一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除，因此质数只有1和它本身2个因数。
2. 求合数最少的因数个数：根据合数的定义，自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他非0自然数整除的数是合数。最小的合数是4，它的因数有1、2、4，共3个，因此一个合数最少有3个因数。
【答案】
2；3
【知识点】
质数的定义；合数的定义；因数的概念
【点评】
本题属于基础概念类题型，重点考查对质数、合数核心定义的掌握，牢记相关概念即可快速答题，是因数与倍数模块的常考基础题。
【难度系数】
0.9
2. 在自然数1～20中，奇数有()，偶数有()，质数有()，合数有()。
答案
奇数有(1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)，偶数有(2,4,6,8,10,12,14,16,18,20)，质数有(2,3,5,7,11,13,17,19)，合数有(4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20)。
解析
【分析】
解题前先明确四个核心概念：1.奇数：不能被2整除的自然数；2.偶数：能被2整除的自然数；3.质数：只有1和它本身两个因数的自然数，注意1既不是质数也不是合数；4.合数：除了1和它本身之外还有其他因数的自然数。我们按照这四个定义，逐个筛选1~20中的自然数，分别归类即可。
【解析】
第一步：筛选奇数：1~20中不能被2整除的数为：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19；
第二步：筛选偶数：1~20中能被2整除的数为：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20；
第三步：筛选质数：逐个判断因数个数，仅含1和自身两个因数的数为：2、3、5、7、11、13、17、19（1只有1个因数，不属于质数）；
第四步：筛选合数：排除1和质数后，剩余的数即为合数：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。
【答案】
奇数有(1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)，偶数有(2,4,6,8,10,12,14,16,18,20)，质数有(2,3,5,7,11,13,17,19)，合数有(4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20)。
【知识点】
奇数与偶数、质数与合数
【点评】
本题是基础概念考查题，核心检验对奇数、偶数、质数、合数定义的掌握程度，易错点为误将1归为质数或合数，以及遗漏2是唯一的偶质数，牢记相关定义即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
解题前先明确四个核心概念：1.奇数：不能被2整除的自然数；2.偶数：能被2整除的自然数；3.质数：只有1和它本身两个因数的自然数，注意1既不是质数也不是合数；4.合数：除了1和它本身之外还有其他因数的自然数。我们按照这四个定义，逐个筛选1~20中的自然数，分别归类即可。
【解析】
第一步：筛选奇数：1~20中不能被2整除的数为：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19；
第二步：筛选偶数：1~20中能被2整除的数为：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20；
第三步：筛选质数：逐个判断因数个数，仅含1和自身两个因数的数为：2、3、5、7、11、13、17、19（1只有1个因数，不属于质数）；
第四步：筛选合数：排除1和质数后，剩余的数即为合数：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。
【答案】
奇数有(1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)，偶数有(2,4,6,8,10,12,14,16,18,20)，质数有(2,3,5,7,11,13,17,19)，合数有(4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20)。
【知识点】
奇数与偶数、质数与合数
【点评】
本题是基础概念考查题，核心检验对奇数、偶数、质数、合数定义的掌握程度，易错点为误将1归为质数或合数，以及遗漏2是唯一的偶质数，牢记相关定义即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
3. 一个数既是12的倍数，又是12的因数，这个数是()。
答案
12
解析
【分析】
解题时我们可以先回忆因数和倍数的相关性质：一个数的因数的个数是有限的，其中最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。要找既是12的倍数又是12的因数的数，我们可以先分别列举12的因数和12的部分倍数找重合的数，也可以直接用上述性质推导：既是一个数的因数又是这个数的倍数的数，只能是这个数本身，由此就能得出结果。
【解析】
首先明确因数和倍数的特征：
1. 12的因数有1、2、3、4、6、12，最大的因数是12；
2. 12的倍数有12、24、36、48……，最小的倍数是12。
对比12的因数和倍数，同时出现在两个范围里的数只有12，所以这个数是12。
也可以直接用规律快速判断：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此既是12的因数又是12的倍数的数就是12本身。
【答案】
12
【知识点】
因数的特征、倍数的特征
【点评】
这道题是对因数和倍数基础概念的考查，属于基础类题型，掌握“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”这一规律可以快速解题，不需要复杂计算。
【难度系数】
0.9
解题时我们可以先回忆因数和倍数的相关性质：一个数的因数的个数是有限的，其中最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。要找既是12的倍数又是12的因数的数，我们可以先分别列举12的因数和12的部分倍数找重合的数，也可以直接用上述性质推导：既是一个数的因数又是这个数的倍数的数，只能是这个数本身，由此就能得出结果。
【解析】
首先明确因数和倍数的特征：
1. 12的因数有1、2、3、4、6、12，最大的因数是12；
2. 12的倍数有12、24、36、48……，最小的倍数是12。
对比12的因数和倍数，同时出现在两个范围里的数只有12，所以这个数是12。
也可以直接用规律快速判断：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此既是12的因数又是12的倍数的数就是12本身。
【答案】
12
【知识点】
因数的特征、倍数的特征
【点评】
这道题是对因数和倍数基础概念的考查，属于基础类题型，掌握“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”这一规律可以快速解题，不需要复杂计算。
【难度系数】
0.9
4. 在15,18,29,35,39,41,47,58,70,87这些数中,是偶数的有(),是奇数的有(),含因数3的有(),是5的倍数的有()。
答案
偶数：18,58,70
奇数：15,29,35,39,41,47,87
含因数3的：15,18,39,87
是5的倍数的：15,35,70
奇数：15,29,35,39,41,47,87
含因数3的：15,18,39,87
是5的倍数的：15,35,70
解析
【分析】
解题前先明确四类数的判断标准：1. 偶数是能被2整除的数，个位为0、2、4、6、8；奇数是不能被2整除的数，个位为1、3、5、7、9。2. 含因数3的数即3的倍数，判定规则是各数位上数字之和为3的倍数。3. 5的倍数的判定规则是个位为0或5。接下来将题干给出的数按以上标准逐一筛选归类即可。
【解析】
1. 找偶数：观察各数个位，18、58、70的个位符合偶数特征，为偶数；
2. 找奇数：排除上述偶数后，剩余的15、29、35、39、41、47、87都符合奇数特征，为奇数；
3. 找含因数3的数：计算各数数位和，15（1+5=6）、18（1+8=9）、39（3+9=12）、87（8+7=15）的数位和都是3的倍数，因此这四个数含因数3；
4. 找5的倍数：观察各数个位，15、35、70的个位符合5的倍数特征，为5的倍数。
【答案】
偶数：18,58,70
奇数：15,29,35,39,41,47,87
含因数3的：15,18,39,87
是5的倍数的：15,35,70
【知识点】
奇数与偶数的判定；3的倍数特征；5的倍数特征
【点评】
本题属于因数与倍数相关的基础题，主要考查对不同数的特征的记忆和应用，熟练掌握判定规则即可快速准确完成分类。
【难度系数】
0.9
解题前先明确四类数的判断标准：1. 偶数是能被2整除的数，个位为0、2、4、6、8；奇数是不能被2整除的数，个位为1、3、5、7、9。2. 含因数3的数即3的倍数，判定规则是各数位上数字之和为3的倍数。3. 5的倍数的判定规则是个位为0或5。接下来将题干给出的数按以上标准逐一筛选归类即可。
【解析】
1. 找偶数：观察各数个位，18、58、70的个位符合偶数特征，为偶数；
2. 找奇数：排除上述偶数后，剩余的15、29、35、39、41、47、87都符合奇数特征，为奇数；
3. 找含因数3的数：计算各数数位和，15（1+5=6）、18（1+8=9）、39（3+9=12）、87（8+7=15）的数位和都是3的倍数，因此这四个数含因数3；
4. 找5的倍数：观察各数个位，15、35、70的个位符合5的倍数特征，为5的倍数。
【答案】
偶数：18,58,70
奇数：15,29,35,39,41,47,87
含因数3的：15,18,39,87
是5的倍数的：15,35,70
【知识点】
奇数与偶数的判定；3的倍数特征；5的倍数特征
【点评】
本题属于因数与倍数相关的基础题，主要考查对不同数的特征的记忆和应用，熟练掌握判定规则即可快速准确完成分类。
【难度系数】
0.9
5. 既是42的因数，又是7的倍数的数有(
7,14,21,42
)。答案
5. 7,14,21,42
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分两步思考：首先明确题目要求的数需要同时满足两个条件：①是42的因数；②是7的倍数。我们可以先用列举法写出42的所有因数，再从这些因数中筛选出是7的倍数的数，就能得到结果，这种方法不容易漏数，符合现阶段的解题习惯。
【解析】
第一步：先列举出42的全部因数：
因为$1×42=42$，$2×21=42$，$3×14=42$，$6×7=42$，所以42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42。
第二步：从上述因数中筛选出7的倍数：
分别判断每个因数能否被7整除：$7÷7=1$，$14÷7=2$，$21÷7=3$，$42÷7=6$，其余数都不能被7整除。
因此符合条件的数是7、14、21、42。
【答案】
7,14,21,42
【知识点】
因数的认识；倍数的认识
【点评】
本题是因数和倍数的基础综合题，核心考查用列举法找因数、筛选倍数的能力，解题时要注意不要遗漏数字本身，一个数最大的因数和最小的倍数都是它本身。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以分两步思考：首先明确题目要求的数需要同时满足两个条件：①是42的因数；②是7的倍数。我们可以先用列举法写出42的所有因数，再从这些因数中筛选出是7的倍数的数，就能得到结果，这种方法不容易漏数，符合现阶段的解题习惯。
【解析】
第一步：先列举出42的全部因数：
因为$1×42=42$，$2×21=42$，$3×14=42$，$6×7=42$，所以42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42。
第二步：从上述因数中筛选出7的倍数：
分别判断每个因数能否被7整除：$7÷7=1$，$14÷7=2$，$21÷7=3$，$42÷7=6$，其余数都不能被7整除。
因此符合条件的数是7、14、21、42。
【答案】
7,14,21,42
【知识点】
因数的认识；倍数的认识
【点评】
本题是因数和倍数的基础综合题，核心考查用列举法找因数、筛选倍数的能力，解题时要注意不要遗漏数字本身，一个数最大的因数和最小的倍数都是它本身。
【难度系数】
0.8
6. 496是一个完全数，那么496的所有因数的和是(
992
)。(完全数的特点是这个数的最大因数等于其他因数的和，如6的所有因数是1,2,3,6，6=1+2+3，所以6是一个完全数)答案
6. 992 （496×2=992）
解析
【分析】
首先明确因数的基本性质：一个数的最大因数是它本身。再结合题目给出的完全数的特点：完全数的最大因数等于其他所有因数的和。要求完全数所有因数的和，就是将最大因数和其他所有因数相加，由于二者大小相等，因此所有因数的和就是这个完全数本身的2倍，代入496计算即可得到结果。
【解析】
1. 先明确496的最大因数：一个数的最大因数是它本身，因此496的最大因数是496。
2. 结合完全数的定义：题目说明完全数的最大因数等于其他因数的和，因此496除本身外的其他所有因数的和也是496。
3. 计算所有因数的和：所有因数的和 = 最大因数 + 其他因数的和 = 496 + 496 = 992。
【答案】
992
【知识点】
因数的意义，完全数的特征
【点评】
这道题属于信息给予类题目，解题关键是读懂题目给出的完全数定义，结合因数的基本性质就能快速求解，不需要逐一列举496的所有因数再相加，能减少计算量、避免出错。
【难度系数】
0.8
首先明确因数的基本性质：一个数的最大因数是它本身。再结合题目给出的完全数的特点：完全数的最大因数等于其他所有因数的和。要求完全数所有因数的和，就是将最大因数和其他所有因数相加，由于二者大小相等，因此所有因数的和就是这个完全数本身的2倍，代入496计算即可得到结果。
【解析】
1. 先明确496的最大因数：一个数的最大因数是它本身，因此496的最大因数是496。
2. 结合完全数的定义：题目说明完全数的最大因数等于其他因数的和，因此496除本身外的其他所有因数的和也是496。
3. 计算所有因数的和：所有因数的和 = 最大因数 + 其他因数的和 = 496 + 496 = 992。
【答案】
992
【知识点】
因数的意义，完全数的特征
【点评】
这道题属于信息给予类题目，解题关键是读懂题目给出的完全数定义，结合因数的基本性质就能快速求解，不需要逐一列举496的所有因数再相加，能减少计算量、避免出错。
【难度系数】
0.8
7. 100以内所有3的倍数的和是(
奇
)(填“奇”或“偶”)数，也是(合
)(填“合”或“质”)数。答案
7. 奇 合
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，先确定100以内3的倍数的总个数；第二步，求出这些数的总和；第三步，分别根据奇数、偶数的定义和质数、合数的定义判断总和的属性。首先100以内3的倍数最小是3，最大是99，我们可以用配对求和的方法算出总和，再看总和能不能被2整除判断奇偶，看总和除了1和它本身有没有其他因数判断是质数还是合数。
【解析】
1. 确定100以内3的倍数的个数：100以内最大的3的倍数是99，总个数为 $99÷3=33$ 个。
2. 计算这些数的和：用首项加末项乘项数除以2的配对求和法计算：
$\mathrm{和}=(3+99)×33÷2=102×33÷2=51×33=1683$
3. 判断奇偶性：1683的个位是3，不能被2整除，因此是奇数。
4. 判断质合性：1683各位数字之和为 $1+6+8+3=18$，18是3的倍数，说明1683除了1和它本身外还有因数3，因此是合数。
【答案】
奇 合
【知识点】
3的倍数特征；奇数与偶数；质数与合数
【点评】
本题综合考查了倍数求和以及奇偶性、质合数的判断，解题核心是先准确计算出100以内所有3的倍数的和，再结合对应定义逐一判断即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，先确定100以内3的倍数的总个数；第二步，求出这些数的总和；第三步，分别根据奇数、偶数的定义和质数、合数的定义判断总和的属性。首先100以内3的倍数最小是3，最大是99，我们可以用配对求和的方法算出总和，再看总和能不能被2整除判断奇偶，看总和除了1和它本身有没有其他因数判断是质数还是合数。
【解析】
1. 确定100以内3的倍数的个数：100以内最大的3的倍数是99，总个数为 $99÷3=33$ 个。
2. 计算这些数的和：用首项加末项乘项数除以2的配对求和法计算：
$\mathrm{和}=(3+99)×33÷2=102×33÷2=51×33=1683$
3. 判断奇偶性：1683的个位是3，不能被2整除，因此是奇数。
4. 判断质合性：1683各位数字之和为 $1+6+8+3=18$，18是3的倍数，说明1683除了1和它本身外还有因数3，因此是合数。
【答案】
奇 合
【知识点】
3的倍数特征；奇数与偶数；质数与合数
【点评】
本题综合考查了倍数求和以及奇偶性、质合数的判断，解题核心是先准确计算出100以内所有3的倍数的和，再结合对应定义逐一判断即可。
【难度系数】
0.7
8. $x=2× 2× 3× a$（$a$是除2,3以外的质数）,则$x$有($\quad$)个因数。
答案
8. 12 （因数表示为 1,2,3,a,2×2,2×3,2×a,3×a,2×2×3,2×2×a,2×3×a,2×2×3×a）
解析
【分析】
要计算x的因数个数，首先需要明确x的质因数构成：先把x整理为质因数相乘的形式，确定每个质因数出现的次数。本题中x已经给出分解形式，2出现2次，3出现1次，a是除2、3外的质数，也是独立的质因数，出现1次。可以用两种思路求解：一是有序枚举所有由质因数组合得到的因数，数出总个数；二是用因数个数计算规则，每个质因数的可选数量是“出现次数+1”（可以选0个到最多出现次数的该质因数），再把各质因数的可选数量相乘，就能得到总因数个数。
【解析】
方法1：枚举法
x的质因数为2、3、a，按从小到大的顺序列出所有因数：
1（不选任何质因数）、2、3、a、2×2=4、2×3=6、2×a、3×a、2×2×3=12、2×2×a、2×3×a、2×2×3×a=x，数得总共有12个因数。
方法2：公式法
先把x分解质因数：$x=2^2×3^1×a^1$，其中a是和2、3都不相同的质数。
因数个数计算规则：将每个质因数的指数加1后相乘，即：
$(2+1)×(1+1)×(1+1)=3×2×2=12$（个）
【答案】
12
【知识点】
质因数分解，因数个数计算，质数的认识
【点评】
本题核心考查质数、质因数分解和因数计数的相关知识，既可以通过有序枚举的方式数出因数个数，也可以用因数个数公式快速计算，解题时要注意a是不同于2、3的质数，避免误认为a和2、3有重复导致计数错误。
【难度系数】
0.7
要计算x的因数个数，首先需要明确x的质因数构成：先把x整理为质因数相乘的形式，确定每个质因数出现的次数。本题中x已经给出分解形式，2出现2次，3出现1次，a是除2、3外的质数，也是独立的质因数，出现1次。可以用两种思路求解：一是有序枚举所有由质因数组合得到的因数，数出总个数；二是用因数个数计算规则，每个质因数的可选数量是“出现次数+1”（可以选0个到最多出现次数的该质因数），再把各质因数的可选数量相乘，就能得到总因数个数。
【解析】
方法1：枚举法
x的质因数为2、3、a，按从小到大的顺序列出所有因数：
1（不选任何质因数）、2、3、a、2×2=4、2×3=6、2×a、3×a、2×2×3=12、2×2×a、2×3×a、2×2×3×a=x，数得总共有12个因数。
方法2：公式法
先把x分解质因数：$x=2^2×3^1×a^1$，其中a是和2、3都不相同的质数。
因数个数计算规则：将每个质因数的指数加1后相乘，即：
$(2+1)×(1+1)×(1+1)=3×2×2=12$（个）
【答案】
12
【知识点】
质因数分解，因数个数计算，质数的认识
【点评】
本题核心考查质数、质因数分解和因数计数的相关知识，既可以通过有序枚举的方式数出因数个数，也可以用因数个数公式快速计算，解题时要注意a是不同于2、3的质数，避免误认为a和2、3有重复导致计数错误。
【难度系数】
0.7
9. a 和 b 是互质数，它们的最大公因数是（
1
），最小公倍数是（ab
）。答案
9. 1 ab
解析
【分析】
解题时首先回忆互质数的定义：公因数只有1的两个非零自然数叫做互质数。第一步思考最大公因数：既然a和b的公因数只有1，那么最大的公因数自然就是1；第二步思考最小公倍数：对于互质的两个数，它们没有除1以外的公共因数，因此最小公倍数就是两个数的乘积，也就是a乘b的结果。也可以用举例法验证，比如取互质数3和5，它们的最大公因数是1，最小公倍数是15=3×5，和推导结果一致。
【解析】
根据互质数的定义，公因数只有1的两个数是互质数，因此a和b的公因数只有1，所以它们的最大公因数是1。
当两个数互质时，它们的最小公倍数等于这两个数的乘积，因此a和b的最小公倍数是a×b，写作ab。
【答案】
1；ab
【知识点】
互质数的定义；最大公因数；最小公倍数
【点评】
本题是因数与倍数模块的基础题型，核心考查互质数与最大公因数、最小公倍数的对应关系，只要牢记相关概念结论就能快速解题，是该章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆互质数的定义：公因数只有1的两个非零自然数叫做互质数。第一步思考最大公因数：既然a和b的公因数只有1，那么最大的公因数自然就是1；第二步思考最小公倍数：对于互质的两个数，它们没有除1以外的公共因数，因此最小公倍数就是两个数的乘积，也就是a乘b的结果。也可以用举例法验证，比如取互质数3和5，它们的最大公因数是1，最小公倍数是15=3×5，和推导结果一致。
【解析】
根据互质数的定义，公因数只有1的两个数是互质数，因此a和b的公因数只有1，所以它们的最大公因数是1。
当两个数互质时，它们的最小公倍数等于这两个数的乘积，因此a和b的最小公倍数是a×b，写作ab。
【答案】
1；ab
【知识点】
互质数的定义；最大公因数；最小公倍数
【点评】
本题是因数与倍数模块的基础题型，核心考查互质数与最大公因数、最小公倍数的对应关系，只要牢记相关概念结论就能快速解题，是该章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
10. 两个数的最小公倍数是180，最大公因数是30，其中一个数是90，另一个数是(
60
)。答案
10. 60 （180×30÷90=60）
解析
【分析】
解题时首先回忆两个数的最大公因数和最小公倍数的关系：两个自然数的乘积等于这两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积。已知两个数的最大公因数、最小公倍数和其中一个数，我们可以利用这个关系反向推导求出另一个数，也就是用“最大公因数×最小公倍数”的积除以已知的数，就能得到要求的数。
【解析】
我们可以利用两个数和它们的最大公因数、最小公倍数的等量关系计算：
两个数的乘积 = 最大公因数 × 最小公倍数
设另一个数为x，代入已知条件可得：
$90× x = 30×180$
$x=(30×180)÷90$
$x=5400÷90$
$x=60$
【答案】
60
【知识点】
最大公因数、最小公倍数、公因公倍数关系
【点评】
本题是因数与倍数章节的基础常考题，核心是掌握两个数的乘积等于其最大公因数和最小公倍数的乘积这一规律，掌握规律后可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆两个数的最大公因数和最小公倍数的关系：两个自然数的乘积等于这两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积。已知两个数的最大公因数、最小公倍数和其中一个数，我们可以利用这个关系反向推导求出另一个数，也就是用“最大公因数×最小公倍数”的积除以已知的数，就能得到要求的数。
【解析】
我们可以利用两个数和它们的最大公因数、最小公倍数的等量关系计算：
两个数的乘积 = 最大公因数 × 最小公倍数
设另一个数为x，代入已知条件可得：
$90× x = 30×180$
$x=(30×180)÷90$
$x=5400÷90$
$x=60$
【答案】
60
【知识点】
最大公因数、最小公倍数、公因公倍数关系
【点评】
本题是因数与倍数章节的基础常考题，核心是掌握两个数的乘积等于其最大公因数和最小公倍数的乘积这一规律，掌握规律后可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
11. 一个数分别用3,5,7除都余1,这个数最小是(
106
)。答案
11. 106 （3×5×7+1=106）
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先转化问题：如果把这个数减去1，得到的新数刚好能同时被3、5、7整除，也就是新数是3、5、7的公倍数。题目要求这个数最小是多少，所以我们只需要先求出3、5、7的最小公倍数，再加上之前减去的1，就能得到最终结果。另外3、5、7两两互质，它们的最小公倍数就是三个数的乘积，计算十分简便。
【解析】
1. 根据题意，这个数减去1后是3、5、7的公倍数，要求最小的原数，需先求3、5、7的最小公倍数。
2. 由于3、5、7两两互质，因此它们的最小公倍数为：$3×5×7=105$
3. 原数等于最小公倍数加余数1，即$105+1=106$
【答案】
106
【知识点】
最小公倍数计算，互质数特征，有余数除法性质
【点评】
这是公倍数应用的典型同余题型，解题核心是将有余数问题转化为整除问题，先求出几个除数的最小公倍数，再结合余数即可算出结果，掌握这类转化思路能快速解决同余类求最小数的问题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以先转化问题：如果把这个数减去1，得到的新数刚好能同时被3、5、7整除，也就是新数是3、5、7的公倍数。题目要求这个数最小是多少，所以我们只需要先求出3、5、7的最小公倍数，再加上之前减去的1，就能得到最终结果。另外3、5、7两两互质，它们的最小公倍数就是三个数的乘积，计算十分简便。
【解析】
1. 根据题意，这个数减去1后是3、5、7的公倍数，要求最小的原数，需先求3、5、7的最小公倍数。
2. 由于3、5、7两两互质，因此它们的最小公倍数为：$3×5×7=105$
3. 原数等于最小公倍数加余数1，即$105+1=106$
【答案】
106
【知识点】
最小公倍数计算，互质数特征，有余数除法性质
【点评】
这是公倍数应用的典型同余题型，解题核心是将有余数问题转化为整除问题，先求出几个除数的最小公倍数，再结合余数即可算出结果，掌握这类转化思路能快速解决同余类求最小数的问题。
【难度系数】
0.8
12. 在0,1,7,8这四个数字中选三个,组成一个既是3的倍数,又是5的倍数的最小三位数是(
180
)。答案
12. 180
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分步骤结合倍数特征和最小数的要求推导：首先回忆既是3的倍数又是5的倍数的数的特征，优先确定限制更严格的数位：5的倍数个位只能是0或5，题目给出的数字里没有5，所以个位必须是0；接下来满足3的倍数的要求，即三个数位的数字之和是3的倍数，因为个位是0，所以只需要百位和十位的数字之和是3的倍数即可；最后要组成最小的三位数，要让高位的数字尽可能小，先选最小的百位数字，再匹配符合条件的十位数字，就能得到结果。
【解析】
1. 先根据5的倍数特征确定个位：5的倍数的个位只能是0或5，题中给出的数字只有0、1、7、8，没有5，因此个位只能选0。
2. 再根据3的倍数特征选百位和十位：3的倍数要求各数位上的数字之和是3的倍数，个位已经选了0，所以百位和十位的数字之和必须是3的倍数。从剩下的1、7、8中选两个数字：
1+7=8，不是3的倍数，不符合要求；
1+8=9，是3的倍数，符合要求；
7+8=15，是3的倍数，符合要求。
3. 要组成最小的三位数，需优先让百位数字尽可能小：百位最小选1，对应的十位就是8，组成的数是180；若百位选7，组成的数是780，比180大。因此符合要求的最小三位数是180。
【答案】
180
【知识点】
5的倍数特征；3的倍数特征；数的大小比较
【点评】
这道题的解题关键是先确定限制条件明确的个位数字，再结合3的倍数特征筛选可选的数字组合，最后按照数的大小要求确定高位数字，即可快速得到正确答案，解题时要注意不要遗漏倍数的限制条件。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以分步骤结合倍数特征和最小数的要求推导：首先回忆既是3的倍数又是5的倍数的数的特征，优先确定限制更严格的数位：5的倍数个位只能是0或5，题目给出的数字里没有5，所以个位必须是0；接下来满足3的倍数的要求，即三个数位的数字之和是3的倍数，因为个位是0，所以只需要百位和十位的数字之和是3的倍数即可；最后要组成最小的三位数，要让高位的数字尽可能小，先选最小的百位数字，再匹配符合条件的十位数字，就能得到结果。
【解析】
1. 先根据5的倍数特征确定个位：5的倍数的个位只能是0或5，题中给出的数字只有0、1、7、8，没有5，因此个位只能选0。
2. 再根据3的倍数特征选百位和十位：3的倍数要求各数位上的数字之和是3的倍数，个位已经选了0，所以百位和十位的数字之和必须是3的倍数。从剩下的1、7、8中选两个数字：
1+7=8，不是3的倍数，不符合要求；
1+8=9，是3的倍数，符合要求；
7+8=15，是3的倍数，符合要求。
3. 要组成最小的三位数，需优先让百位数字尽可能小：百位最小选1，对应的十位就是8，组成的数是180；若百位选7，组成的数是780，比180大。因此符合要求的最小三位数是180。
【答案】
180
【知识点】
5的倍数特征；3的倍数特征；数的大小比较
【点评】
这道题的解题关键是先确定限制条件明确的个位数字，再结合3的倍数特征筛选可选的数字组合，最后按照数的大小要求确定高位数字，即可快速得到正确答案，解题时要注意不要遗漏倍数的限制条件。
【难度系数】
0.7
