9 已知∠α的余角是$23°17'38''$，∠β的补角是$113°17'38''$，则∠α和∠β的大小关系是∠α∠β（填“＞”“＜”或“=”）。

=

【分析】
要判断∠α和∠β的大小关系，需先分别求出两个角的度数。根据余角的定义：互为余角的两个角的和为90°，可得∠α=90°减去它的余角；根据补角的定义：互为补角的两个角的和为180°，可得∠β=180°减去它的补角。计算出两个角的度数后再比较大小即可。
【解析】
首先计算∠α的度数：
因为互为余角的两个角和为90°，所以∠α = 90° - 23°17'38''
将90°转化为89°59'60''方便计算：
∠α = 89°59'60'' - 23°17'38'' = 66°42'22''
再计算∠β的度数：
因为互为补角的两个角和为180°，所以∠β = 180° - 113°17'38''
将180°转化为179°59'60''方便计算：
∠β = 179°59'60'' - 113°17'38'' = 66°42'22''
因此∠α = ∠β
【答案】
=
【知识点】
余角的定义；补角的定义；角度的运算
【点评】
本题核心考查余角、补角定义的应用，解题的关键是牢记余角、补角的概念，角度计算时注意是60进制，避免单位换算出错。
【难度系数】
0.9

10 (1) 如图，直线a，b相交于点O. 如果$∠ 1+∠ 2=60°$，那么$∠ 3$的度数为________.
(2) 如果一个角比它补角的2倍多$30°$，那么这个角的度数为________.

(1) $150°$
(2) $130°$

【分析】
(1) 解题思路：首先根据直线相交的特征，判断∠1和∠2是对顶角，利用对顶角相等的性质，结合已知∠1+∠2=60°先求出∠1的度数；再根据邻补角和为180°的性质，即可求出∠3的度数。
(2) 解题思路：先明确补角的定义：和为180°的两个角互为补角。设这个角的度数为x，用含x的式子表示出它的补角，再根据题目给出的数量关系列一元一次方程，解方程即可得到结果。
【解析】
(1)
∵直线a，b相交于点O，
∴∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3是邻补角。
根据对顶角相等可得∠1=∠2，
已知∠1+∠2=60°，
∴2∠1=60°，解得∠1=30°。
根据邻补角和为180°，可得∠1+∠3=180°，
∴∠3=180°-∠1=180°-30°=150°。
(2) 设这个角的度数为x，则它的补角为(180°-x)。
根据题意列方程：$x=2(180°-x)+30°$，
解方程：
$x=360°-2x+30°$
$3x=390°$
$x=130°$
即这个角的度数为130°。
【答案】
(1) $\boxed{150°}$；(2) $\boxed{130°}$
【知识点】
对顶角的性质；邻补角的性质；补角的定义
【点评】
这两道题是角度计算的基础题型，第一题直接考查相交线形成的对顶角、邻补角的性质应用，第二题将补角定义和一元一次方程结合，考查角度计算的实际应用，熟练掌握相关概念和性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

11 如图,直线 AB,CD 相交于点 O,EO⊥CD,垂足为 O,OA 平分∠EOD,则∠BOD 的度数为（）

A.$120°$
B.$130°$
C.$135°$
D.$140°$

C

【分析】
解题时先从已知的垂直条件出发，首先根据垂直的定义得到∠EOD的度数，再利用角平分线的性质求出∠AOD的度数，最后根据邻补角之和为180°，即可算出∠BOD的度数。
【解析】
∵EO⊥CD，垂足为O，
∴∠EOD=90°（垂直的定义），
∵OA平分∠EOD，
∴∠AOD=$\frac{1}{2}$∠EOD=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∵点A、O、B在同一直线上，∠AOD与∠BOD互为邻补角，
∴∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠BOD=180°-45°=135°。
【答案】
C
【知识点】
垂直的定义，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题是相交线相关的基础计算题，综合考查了垂直、角平分线、邻补角的相关性质，解题的关键是理清图中各角的数量关系，逐步推导求解。
【难度系数】
0.8

12 如图,在同一平面内,线段 AB 的长为 6,点 A,B 到直线 l 的距离分别为 2 和 3,则符合条件的直线 l 共有
（）

A.1条
B.2条
C.3条
D.4条

D

【分析】
解题时先明确所求直线需要满足的条件：点A到直线的距离为2，点B到直线的距离为3。我们可以分类讨论直线的位置：第一类是A、B在直线l的同侧，第二类是A、B在直线l的两侧，分别统计两类中符合条件的直线数量，相加即可得到总数。
【解析】
我们分两类讨论直线l的位置：
1. 当点A、B在直线l的同侧时：在线段AB所在直线的上方、下方各存在1条直线，满足A到直线l的距离为2，B到直线l的距离为3，此类共有2条符合条件的直线；
2. 当点A、B在直线l的两侧时：由于AB的长度为6，大于2+3=5，因此存在2条直线，满足A到直线l的距离为2，B到直线l的距离为3，此类共有2条符合条件的直线。
将两类数量相加，总共有2+2=4条符合条件的直线l。
【答案】
D
【知识点】
点到直线的距离；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查点到直线距离的概念应用，解题关键是做到不重不漏地分类讨论，避免只考虑同侧或只考虑两侧的情况导致漏解。
【难度系数】
0.6

13 在同一平面内，有$l_1,l_2,l_3,l_4$四条直线.若$l_1⊥ l_2,l_2⊥ l_3,l_3⊥ l_4$，则$l_1$与$l_4$的位置关系是（）

A.平行
B.垂直
C.平行或垂直
D.既不平行，也不垂直

B

【分析】
解题时先回忆同一平面内平行线的判定与性质相关知识：第一步，根据已知的$l_1⊥l_2$、$l_2⊥l_3$，利用“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，先推导出$l_1$和$l_3$的位置关系是平行；第二步，结合已知的$l_3⊥l_4$，利用平行线的性质，若一条直线垂直于平行线中的其中一条，那么它也垂直于平行线的另一条，就可以得出$l_1$和$l_4$的位置关系。
【解析】
在同一平面内：
1. 已知$l_1⊥ l_2$，$l_2⊥ l_3$，根据“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$l_1 // l_3$；
2. 又已知$l_3⊥ l_4$，根据“若一条直线垂直于一组平行线中的一条，则它也垂直于这组平行线中的另一条”，可得$l_1⊥ l_4$。
因此$l_1$与$l_4$的位置关系是垂直，选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、垂直的定义
【点评】
本题侧重考察同一平面内平行与垂直关系的相互转化，解题时要紧扣平行线的判定和性质规则，注意题干给出的“同一平面内”的前提条件，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8

14 分类讨论思想 如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=70°，过点O作EO⊥CD，垂足为O，则∠BOE的度数为.

20°或160°

【分析】
解题时首先注意题目未明确射线OE的位置，需分两种情况讨论：①OE在∠BOC内部；②OE在∠AOD一侧。结合已知条件，先利用邻补角或对顶角的性质求出相关角的度数，再根据垂直的定义得到90°的角，最后通过角的和差关系计算∠BOE的度数即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当射线OE在∠BOC内部时：
∵ 直线AB、CD相交于点O，∠AOC=70°
∴ ∠BOC = 180° - ∠AOC = 180° - 70° = 110°
∵ EO⊥CD，
∴ ∠COE=90°
∴ ∠BOE = ∠BOC - ∠COE = 110° - 90° = 20°
2. 当射线OE在∠AOD一侧时：
∵ 直线AB、CD相交于点O，∠AOC=70°
∴ ∠BOD = ∠AOC = 70°（对顶角相等）
∵ EO⊥CD，
∴ ∠DOE=90°
∴ ∠BOE = ∠BOD + ∠DOE = 70° + 90° = 160°
综上，∠BOE的度数为20°或160°。
【答案】
20°或160°
【知识点】
对顶角相等，垂直的定义，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略OE位置的不确定性，只考虑其中一种情况导致漏解，解题时要结合图形的多种可能性，全面分析问题。
【难度系数】
0.6

15 [2025 扬州期末]在如图所示的方格纸中，A，B，C为3个格点，点C在直线AB外.
（1）借助格点，过点C画出AB的垂线m和平行线n；
（2）由（1）可得，直线m，n的位置关系为；
（3）连接AC和BC，若图中每个小正方形的边长为1，则$△ ABC$的面积是.

(1) 如图所示
(2) $m ⊥ n$
(3) 6

【分析】
1. 第(1)问：先观察直线AB的网格倾斜规律，AB每向右平移4格就向下平移1格，画平行线n时过点C保持该平移规律即可；画垂线m时，根据垂线与AB倾斜方向垂直的网格特征（每向右1格向上4格），过点C画线即可。
2. 第(2)问：根据平行线的性质，若一条直线垂直于一组平行线中的一条，那么它也垂直于另一条，已知m⊥AB、n//AB，即可推出m和n的位置关系。
3. 第(3)问：网格中求三角形面积用割补法，把△ABC放在包含它的矩形内，用矩形总面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
【解析】
(1) 观察AB走向：从A到B横向移动4格，纵向下降1格，过点C按相同的横、纵向移动比例画出直线n，即为AB的平行线；再依据垂直线段的网格特征，过点C画出与AB夹角为90°的直线m，即为AB的垂线，作图结果如图所示。
(2) 因为n平行于AB，m垂直于AB，根据“垂直于一组平行线中的一条直线，必垂直于另一条直线”，可得$m⊥n$。
(3) 用割补法计算：选取包含△ABC的矩形，矩形长为4、宽为3，面积为$4×3=12$；周围三个直角三角形的面积分别为$\frac{1}{2}×4×1=2$、$\frac{1}{2}×2×3=3$、$\frac{1}{2}×2×1=1$，三个三角形面积和为$2+3+1=6$，因此△ABC的面积为$12-6=6$。
【答案】
(1) 如图所示
(2) $m ⊥ n$
(3) 6
【知识点】
平行线与垂线的画法，平行线的性质，割补法求面积
【点评】
本题结合网格考查基础作图和面积计算，作图时要结合网格特征找准线段倾斜规律，面积计算用割补法更简便，是平面几何的基础常考题型。
【难度系数】
0.7

16 如图,如果$∠1=∠2$,那么$AB// CD$,其依据可以简单说成 （）

A.两直线平行,内错角相等
B.内错角相等,两直线平行
C.两直线平行,同位角相等
D.同位角相等,两直线平行

D

【分析】
解题时可按以下步骤思考：第一步先识别角的类型：观察∠1和∠2的位置，二者都在截线AC的同侧，同时在被截直线AB、CD的同一方向，属于同位角；第二步区分平行线的判定和性质：已知条件是角相等，结论是两直线平行，属于由角的关系推线的位置关系，是平行线的判定，而非已知平行推角的性质；第三步对应判定定理匹配选项即可。
【解析】
首先判断∠1与∠2的位置特征：两个角都在截线AC的右侧，且分别在被截直线AB、CD的上方，是同位角。
题目给出已知条件∠1=∠2（即同位角相等），推导结论为AB//CD（两直线平行），对应的判定依据是“同位角相等，两直线平行”。
逐一分析选项：
A选项是平行线的性质，逻辑为“两直线平行→内错角相等”，与本题推导逻辑不符，且角的类型也不是内错角，排除；
B选项中角的类型错误，∠1和∠2不是内错角，排除；
C选项是平行线的性质，逻辑为“两直线平行→同位角相等”，与本题推导逻辑相反，排除；
D选项符合推导依据，正确。
【答案】
D
【知识点】
同位角识别，平行线的判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查同位角的识别以及平行线判定和性质的区分，解题时要注意明确推导的因果关系，避免将判定和性质混淆。
【难度系数】
0.9

17 [2024包头]如图，直线$AB// CD$，点$E$在直线$AB$上，射线$EF$交直线$CD$于点$G$，则图中与$∠ AEF$互补的角有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

【分析】
解题时先明确互补角的定义：和为180°的两个角互为补角，再结合平角性质、平行线的性质、对顶角相等的性质逐一找符合条件的角。第一步先找∠AEF的邻补角，借助平角为180°的性质判断；第二步利用平行线的内错角相等，推导和邻补角相等的角，这类角也和∠AEF互补；第三步利用对顶角相等，找与上述角相等的对顶角，也属于∠AEF的补角，最后统计数量即可。
【解析】
互为补角的两个角之和为180°，按以下步骤枚举：
1. 点E在直线AB上，∠AEB为平角，因此$∠ AEF + ∠ BEF = 180°$，$∠ BEF$是$∠ AEF$的补角；
2. 已知$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ BEF = ∠ CGE$，因此$∠ AEF + ∠ CGE = 180°$，$∠ CGE$是$∠ AEF$的补角；
3. $∠ CGE$和$∠ DGF$是对顶角，根据“对顶角相等”，可得$∠ CGE = ∠ DGF$，因此$∠ AEF + ∠ DGF = 180°$，$∠ DGF$是$∠ AEF$的补角。
综上，与$∠ AEF$互补的角共有3个。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义、平行线的性质、对顶角的性质
【点评】
本题是相交线与平行线的基础题，解题时要注意有序枚举角，既不要遗漏对顶角对应的补角，也不要误把和$∠ AEF$相等的角算成补角，细心即可得分。
【难度系数】
0.7