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18 用一张等宽的纸条折成如图所示的图案.若∠1=20°,则∠2的度数为
140°
.答案
140°
解析
【分析】
解题时先明确等宽纸条的对边互相平行，折叠后重合的角大小相等。第一步根据平行线的内错角相等，得到折叠后与∠1相等的角，再观察到∠2与这两个等于∠1的角共同组成平角（180°），代入数值即可算出∠2的度数。
【解析】
∵ 等宽纸条的对边互相平行，根据两直线平行、内错角相等，结合折叠的性质，可得折叠后重叠部分的角与∠1相等，均为20°。
又
∵ ∠2 + 2∠1 = 180°（平角的定义），
将∠1=20°代入得：
∠2 = 180° - 2×20° = 180° - 40° = 140°。
【答案】
140°
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，平角的定义
【点评】
本题结合折纸场景考查角度计算，解题关键是找到折叠后相等的角，以及角之间的和差关系，只要熟悉相关性质就能轻松解答。
【难度系数】
0.7
解题时先明确等宽纸条的对边互相平行，折叠后重合的角大小相等。第一步根据平行线的内错角相等，得到折叠后与∠1相等的角，再观察到∠2与这两个等于∠1的角共同组成平角（180°），代入数值即可算出∠2的度数。
【解析】
∵ 等宽纸条的对边互相平行，根据两直线平行、内错角相等，结合折叠的性质，可得折叠后重叠部分的角与∠1相等，均为20°。
又
∵ ∠2 + 2∠1 = 180°（平角的定义），
将∠1=20°代入得：
∠2 = 180° - 2×20° = 180° - 40° = 140°。
【答案】
140°
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，平角的定义
【点评】
本题结合折纸场景考查角度计算，解题关键是找到折叠后相等的角，以及角之间的和差关系，只要熟悉相关性质就能轻松解答。
【难度系数】
0.7
19 如图，$∠ 1=∠ 2,∠ A=60°$，则$∠ ADC$的度数为________.
答案
120°
解析
【分析】
首先观察角的位置：∠1和∠2是直线AB、CD被直线BD所截形成的内错角，已知∠1=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”可判定AB//CD；再根据平行线的性质，两直线平行时同旁内角互补，可得∠A与∠ADC的和为180°，代入已知的∠A的度数即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵∠1=∠2（已知），
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠A + ∠ADC = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵∠A=60°（已知），
∴∠ADC=180°-60°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角度计算
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的基础应用，解题的关键是准确识别截线和被截线形成的内错角、同旁内角，结合角的数量关系判断直线平行，再利用平行线的性质求解未知角，是几何入门阶段的常规题型。
【难度系数】
0.8
首先观察角的位置：∠1和∠2是直线AB、CD被直线BD所截形成的内错角，已知∠1=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”可判定AB//CD；再根据平行线的性质，两直线平行时同旁内角互补，可得∠A与∠ADC的和为180°，代入已知的∠A的度数即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵∠1=∠2（已知），
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠A + ∠ADC = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵∠A=60°（已知），
∴∠ADC=180°-60°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角度计算
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的基础应用，解题的关键是准确识别截线和被截线形成的内错角、同旁内角，结合角的数量关系判断直线平行，再利用平行线的性质求解未知角，是几何入门阶段的常规题型。
【难度系数】
0.8
20 [2025 扬州期末]如图，$∠ 1=132°$，$∠ ACB=48°$，$∠ 2=∠ 3$，$FH⊥ AB$ 于点 $H$. 试判断 $AB$ 与 $CD$ 的位置关系，并说明理由.
答案
$AB ⊥ CD$ 理由:因为$∠1=132°$,$∠ACB=48°$,所以$∠1+∠ACB=180°$. 所以$DE// BC$. 所以$∠2=∠DCB$. 又因为$∠2=∠3$,所以$∠3=∠DCB$. 所以$HF// CD$. 所以$∠BHF=∠BDC$. 又因为$FH⊥ AB$,所以$∠BDC=∠BHF=90°$. 所以$AB⊥ CD$.
解析
【分析】
要判断AB与CD的位置关系，可从已知角的数量关系入手推导平行线，再结合垂直条件推导夹角大小：首先计算∠1与∠ACB的和，发现两角互补，可判定DE//BC，由平行线性质得∠2=∠DCB；再结合∠2=∠3的条件，等量代换得到∠3=∠DCB，可判定HF//CD；最后根据FH⊥AB，利用平行线的性质可得CD与AB的夹角为90°，即可得出两者的位置关系。
【解析】
解：AB⊥CD，理由如下：
∵∠1=132°，∠ACB=48°，
∴∠1+∠ACB=180°，
∴DE//BC，
∴∠2=∠DCB，
又
∵∠2=∠3，
∴∠3=∠DCB，
∴HF//CD，
∴∠BHF=∠BDC，
∵FH⊥AB，
∴∠BHF=90°，
∴∠BDC=90°，
∴AB⊥CD。
【答案】
AB⊥CD
【知识点】
平行线的判定与性质；垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何综合题，侧重考查平行线判定、性质的综合运用能力，解题时需按照“角的关系→平行线→新的角的关系”的逻辑逐步推导，保证每一步推理都有依据，避免逻辑跳步。
【难度系数】
0.7
要判断AB与CD的位置关系，可从已知角的数量关系入手推导平行线，再结合垂直条件推导夹角大小：首先计算∠1与∠ACB的和，发现两角互补，可判定DE//BC，由平行线性质得∠2=∠DCB；再结合∠2=∠3的条件，等量代换得到∠3=∠DCB，可判定HF//CD；最后根据FH⊥AB，利用平行线的性质可得CD与AB的夹角为90°，即可得出两者的位置关系。
【解析】
解：AB⊥CD，理由如下：
∵∠1=132°，∠ACB=48°，
∴∠1+∠ACB=180°，
∴DE//BC，
∴∠2=∠DCB，
又
∵∠2=∠3，
∴∠3=∠DCB，
∴HF//CD，
∴∠BHF=∠BDC，
∵FH⊥AB，
∴∠BHF=90°，
∴∠BDC=90°，
∴AB⊥CD。
【答案】
AB⊥CD
【知识点】
平行线的判定与性质；垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何综合题，侧重考查平行线判定、性质的综合运用能力，解题时需按照“角的关系→平行线→新的角的关系”的逻辑逐步推导，保证每一步推理都有依据，避免逻辑跳步。
【难度系数】
0.7
21 若一个多边形截去一个角后,变成四边形,则原来的多边形的边数可能为 (
A.4或5
B.3或4
C.3或4或5
D.4或5或6
C
)A.4或5
B.3或4
C.3或4或5
D.4或5或6
答案
C
解析
【分析】
解决本题的核心是明确多边形截去一个角时，根据截线经过顶点的数量不同，边数会出现三种变化规律。已知截去角后得到四边形，我们可以反向结合三种边数变化情况，分别计算原多边形的边数即可。
【解析】
多边形截去一个角共有三种不同的截法，对应三种边数变化：
1. 截线不经过原多边形的任何顶点：截完后边数比原多边形多1，此时原多边形边数为$4-1=3$；
2. 截线经过原多边形的1个顶点：截完后边数和原多边形相等，此时原多边形边数为$4$；
3. 截线经过原多边形的2个顶点：截完后边数比原多边形少1，此时原多边形边数为$4+1=5$。
因此原多边形的边数可能为3、4或5。
【答案】
C
【知识点】
多边形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易遗漏截角的不同情况，仅考虑1-2种截法导致漏解，解题时要全面梳理所有可能的截法，才能得到完整的结果。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是明确多边形截去一个角时，根据截线经过顶点的数量不同，边数会出现三种变化规律。已知截去角后得到四边形，我们可以反向结合三种边数变化情况，分别计算原多边形的边数即可。
【解析】
多边形截去一个角共有三种不同的截法，对应三种边数变化：
1. 截线不经过原多边形的任何顶点：截完后边数比原多边形多1，此时原多边形边数为$4-1=3$；
2. 截线经过原多边形的1个顶点：截完后边数和原多边形相等，此时原多边形边数为$4$；
3. 截线经过原多边形的2个顶点：截完后边数比原多边形少1，此时原多边形边数为$4+1=5$。
因此原多边形的边数可能为3、4或5。
【答案】
C
【知识点】
多边形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易遗漏截角的不同情况，仅考虑1-2种截法导致漏解，解题时要全面梳理所有可能的截法，才能得到完整的结果。
【难度系数】
0.6
22 如图,从一个多边形的某个顶点出发,分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点,可以把这个多边形分割成若干个三角形.
（1）根据上述多边形的边数与分割成三角形的个数之间的规律,猜测$n(n≥4)$边形可以分割成
（2）若一个多边形按上述方法可分割成 120 个三角形,则这个多边形的边数为
（1）根据上述多边形的边数与分割成三角形的个数之间的规律,猜测$n(n≥4)$边形可以分割成
$(n-2)$
个三角形；（2）若一个多边形按上述方法可分割成 120 个三角形,则这个多边形的边数为
122
.答案
(1) $(n-2)$
(2) 122
(2) 122
解析
【分析】
首先观察给出的几个多边形的分割情况：四边形从一个顶点出发连接不相邻顶点，分割得到2个三角形；五边形分割得到3个三角形；六边形分割得到4个三角形。可以发现分割得到的三角形个数比多边形的边数少2，由此可归纳出n边形的分割规律。第二问直接利用第一问得到的规律列等式计算即可得到多边形的边数。
【解析】
（1）观察图形可知：
当多边形是4边形时，分割成的三角形个数为$2=4-2$；
当多边形是5边形时，分割成的三角形个数为$3=5-2$；
当多边形是6边形时，分割成的三角形个数为$4=6-2$；
由此可猜测，$n(n≥4)$边形可以分割成$(n-2)$个三角形。
（2）根据（1）中的规律可得：$n-2=120$，
解得$n=120+2=122$，即这个多边形的边数为122。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(n-2)}$；（2）$\boldsymbol{122}$
【知识点】
多边形的对角线，图形规律探究，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的关键是从特殊图形的分割结果中总结出三角形个数与多边形边数的一般关系，再利用规律解决相关计算问题。
【难度系数】
0.85
首先观察给出的几个多边形的分割情况：四边形从一个顶点出发连接不相邻顶点，分割得到2个三角形；五边形分割得到3个三角形；六边形分割得到4个三角形。可以发现分割得到的三角形个数比多边形的边数少2，由此可归纳出n边形的分割规律。第二问直接利用第一问得到的规律列等式计算即可得到多边形的边数。
【解析】
（1）观察图形可知：
当多边形是4边形时，分割成的三角形个数为$2=4-2$；
当多边形是5边形时，分割成的三角形个数为$3=5-2$；
当多边形是6边形时，分割成的三角形个数为$4=6-2$；
由此可猜测，$n(n≥4)$边形可以分割成$(n-2)$个三角形。
（2）根据（1）中的规律可得：$n-2=120$，
解得$n=120+2=122$，即这个多边形的边数为122。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(n-2)}$；（2）$\boldsymbol{122}$
【知识点】
多边形的对角线，图形规律探究，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的关键是从特殊图形的分割结果中总结出三角形个数与多边形边数的一般关系，再利用规律解决相关计算问题。
【难度系数】
0.85
23 如图所示为由边长为1的小正方形组成的网格,小正方形的顶点叫作格点,以格点为顶点的多边形叫作格点多边形.小明研究发现,内部含有3个格点的四边形的面积与该四边形边上的格点数有某种关系,请你观察图中的4个格点四边形,并继续探索.如果四边形内部含有3个格点,该四边形各边上格点的个数之和为$ m $,那么该四边形的面积为________ (用含$ m $的代数式表示).
答案
$\frac{1}{2}m+2$
解析
【分析】
解题时我们采用从特殊到一般的探究思路：第一步，先明确要统计的两个量：每个四边形边上的格点总数$m$、四边形的面积$S$；第二步，用数格子（不满1格按半格计算）或割补法算出4个给定四边形的面积；第三步，逐个统计4个四边形边上的格点总数，注意相邻边共用的顶点不要重复计数；第四步，将得到的四组$m$和$S$的对应值列出来，观察二者的变化规律，推导通用代数式；最后用多组数据验证规律是否正确即可。
【解析】
我们逐个统计4个内部含3个格点的四边形的对应数据：
1. 第一个四边形：数得边上格点总和$m=4$，面积$S=4$，可得$4=\frac{1}{2}×4+2$；
2. 第二个四边形：数得边上格点总和$m=6$，面积$S=5$，可得$5=\frac{1}{2}×6+2$；
3. 第三个四边形：数得边上格点总和$m=8$，面积$S=6$，可得$6=\frac{1}{2}×8+2$；
4. 第四个四边形：数得边上格点总和$m=10$，面积$S=7$，可得$7=\frac{1}{2}×10+2$。
观察四组数据可发现，面积随$m$的变化规律为：$m$每增加2，面积增加1，代入验证可得通用关系为$S=\frac{1}{2}m+2$。
【答案】
$\frac{1}{2}m+2$
【知识点】
规律探究；格点面积计算；列代数式
【点评】
本题考查从具体实例中归纳规律的能力，解题关键是准确统计格点数量、正确计算格点图形面积，通过多组数据对比即可找到变量间的关系，也可额外绘制符合要求的格点四边形验证规律的正确性。
【难度系数】
0.7
解题时我们采用从特殊到一般的探究思路：第一步，先明确要统计的两个量：每个四边形边上的格点总数$m$、四边形的面积$S$；第二步，用数格子（不满1格按半格计算）或割补法算出4个给定四边形的面积；第三步，逐个统计4个四边形边上的格点总数，注意相邻边共用的顶点不要重复计数；第四步，将得到的四组$m$和$S$的对应值列出来，观察二者的变化规律，推导通用代数式；最后用多组数据验证规律是否正确即可。
【解析】
我们逐个统计4个内部含3个格点的四边形的对应数据：
1. 第一个四边形：数得边上格点总和$m=4$，面积$S=4$，可得$4=\frac{1}{2}×4+2$；
2. 第二个四边形：数得边上格点总和$m=6$，面积$S=5$，可得$5=\frac{1}{2}×6+2$；
3. 第三个四边形：数得边上格点总和$m=8$，面积$S=6$，可得$6=\frac{1}{2}×8+2$；
4. 第四个四边形：数得边上格点总和$m=10$，面积$S=7$，可得$7=\frac{1}{2}×10+2$。
观察四组数据可发现，面积随$m$的变化规律为：$m$每增加2，面积增加1，代入验证可得通用关系为$S=\frac{1}{2}m+2$。
【答案】
$\frac{1}{2}m+2$
【知识点】
规律探究；格点面积计算；列代数式
【点评】
本题考查从具体实例中归纳规律的能力，解题关键是准确统计格点数量、正确计算格点图形面积，通过多组数据对比即可找到变量间的关系，也可额外绘制符合要求的格点四边形验证规律的正确性。
【难度系数】
0.7
24 如图，C 是 AB 的中点，点 D，E 分别在 AC，BC 上，且 $ AD + BE = 5 $，$ AE + BD = 9 $，则 CB 的长为 ______。
答案
$\frac{7}{2}$ 【解析】设$DE=x$. 因为$AE+BD=9$,$AE=AD+DE$,$BD=DE+BE$,所以$AD+x+x+BE=9$. 因为$AD+BE=5$,所以$2x=4$,解得$x=2$. 所以$DE=2$. 所以$AB=AD+DE+BE=7$. 因为$C$是$AB$的中点,所以$CB=\frac{1}{2}AB=\frac{7}{2}$.
解析
【分析】
要求CB的长，已知C是AB的中点，因此只需先求出AB的长，再取其一半即可。观察已知条件，给出了$AD+BE$的和与$AE+BD$的和，我们可以把AE拆分为$AD+DE$，BD拆分为$BE+DE$，代入$AE+BD=9$的式子中，就能结合$AD+BE=5$先求出DE的长度；而AB的长度等于$AD+DE+BE$，代入数值即可求出AB，最后利用中点性质计算CB即可。
【解析】
设$DE=x$。
因为$AE=AD+DE$，$BD=DE+BE$，
所以$AE+BD=AD+DE+DE+BE=(AD+BE)+2DE$。
已知$AE+BD=9$，$AD+BE=5$，代入得：
$5+2x=9$，
解得$x=2$，即$DE=2$。
所以$AB=AD+DE+BE=(AD+BE)+DE=5+2=7$。
又因为C是AB的中点，根据线段中点的定义，$CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×7=\frac{7}{2}$。
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的性质
【点评】
本题属于线段计算的基础综合题，解题核心是通过线段的拆分，将已知的线段和关系进行转化，先求出未知线段DE的长度，再结合中点性质求解，计算时注意不要混淆各段线段的和差关系即可。
【难度系数】
0.7
要求CB的长，已知C是AB的中点，因此只需先求出AB的长，再取其一半即可。观察已知条件，给出了$AD+BE$的和与$AE+BD$的和，我们可以把AE拆分为$AD+DE$，BD拆分为$BE+DE$，代入$AE+BD=9$的式子中，就能结合$AD+BE=5$先求出DE的长度；而AB的长度等于$AD+DE+BE$，代入数值即可求出AB，最后利用中点性质计算CB即可。
【解析】
设$DE=x$。
因为$AE=AD+DE$，$BD=DE+BE$，
所以$AE+BD=AD+DE+DE+BE=(AD+BE)+2DE$。
已知$AE+BD=9$，$AD+BE=5$，代入得：
$5+2x=9$，
解得$x=2$，即$DE=2$。
所以$AB=AD+DE+BE=(AD+BE)+DE=5+2=7$。
又因为C是AB的中点，根据线段中点的定义，$CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×7=\frac{7}{2}$。
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的性质
【点评】
本题属于线段计算的基础综合题，解题核心是通过线段的拆分，将已知的线段和关系进行转化，先求出未知线段DE的长度，再结合中点性质求解，计算时注意不要混淆各段线段的和差关系即可。
【难度系数】
0.7
