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5. 新趋势 说理表达 “双十一”活动中，一件原价为800元的大衣外套，活动价比原价便宜了$\frac{1}{10}$，活动结束后，它的价格又上涨了$\frac{1}{10}$。红红说：“售价没有发生变化，因为下降的部分和上涨的部分同样多。”你同意她的说法吗？请说明理由。
答案
5. 不同意 理由:活动价是 $800×(1-\frac{1}{10})=720$(元),活动结束后的价格是 $720×(1+\frac{1}{10})=792$(元),$800＞792$,售价发生了变化。
解析
【分析】
要判断红红的说法是否正确，核心是明确两次价格调整对应的单位“1”不同：第一次降价$\frac{1}{10}$的单位“1”是大衣原价，第二次涨价$\frac{1}{10}$的单位“1”是降价后的活动价。我们可以先根据原价算出活动价，再根据活动价算出涨价后的最终售价，最后将最终售价与原价对比即可得出结论。
【解析】
我不同意红红的说法，理由如下：
1. 计算活动价：活动价比原价便宜$\frac{1}{10}$，把原价看作单位“1”，活动价是原价的$1-\frac{1}{10}$，
活动价：$800×(1-\frac{1}{10})=800×\frac{9}{10}=720$（元）
2. 计算活动结束后的售价：价格上涨$\frac{1}{10}$是在活动价的基础上上涨，把活动价看作单位“1”，上涨后售价是活动价的$1+\frac{1}{10}$，
上涨后售价：$720×(1+\frac{1}{10})=720×\frac{11}{10}=792$（元）
3. 对比原价和最终售价：$792＜800$，因此售价发生了变化，红红的说法错误。
【答案】
不同意。理由:活动价是 $800×(1-\frac{1}{10})=720$(元),活动结束后的价格是 $720×(1+\frac{1}{10})=792$(元),$800＞792$,售价发生了变化。
【知识点】
1. 分数乘法应用
2. 单位“1”识别
【点评】
本题结合生活中的促销场景命题，重点考查对单位“1”的理解，相同分数对应不同的基准量（单位“1”）时，代表的实际数量也不相同，解决这类问题必须先找准每次变化的基准量，再计算对比判断结果。
【难度系数】
0.6
要判断红红的说法是否正确，核心是明确两次价格调整对应的单位“1”不同：第一次降价$\frac{1}{10}$的单位“1”是大衣原价，第二次涨价$\frac{1}{10}$的单位“1”是降价后的活动价。我们可以先根据原价算出活动价，再根据活动价算出涨价后的最终售价，最后将最终售价与原价对比即可得出结论。
【解析】
我不同意红红的说法，理由如下：
1. 计算活动价：活动价比原价便宜$\frac{1}{10}$，把原价看作单位“1”，活动价是原价的$1-\frac{1}{10}$，
活动价：$800×(1-\frac{1}{10})=800×\frac{9}{10}=720$（元）
2. 计算活动结束后的售价：价格上涨$\frac{1}{10}$是在活动价的基础上上涨，把活动价看作单位“1”，上涨后售价是活动价的$1+\frac{1}{10}$，
上涨后售价：$720×(1+\frac{1}{10})=720×\frac{11}{10}=792$（元）
3. 对比原价和最终售价：$792＜800$，因此售价发生了变化，红红的说法错误。
【答案】
不同意。理由:活动价是 $800×(1-\frac{1}{10})=720$(元),活动结束后的价格是 $720×(1+\frac{1}{10})=792$(元),$800＞792$,售价发生了变化。
【知识点】
1. 分数乘法应用
2. 单位“1”识别
【点评】
本题结合生活中的促销场景命题，重点考查对单位“1”的理解，相同分数对应不同的基准量（单位“1”）时，代表的实际数量也不相同，解决这类问题必须先找准每次变化的基准量，再计算对比判断结果。
【难度系数】
0.6
6. 修一条30千米的公路，甲队单独修需要12天修完，乙队单独修需要18天修完，如果两队合修，那么多少天可以修完？列式正确的为（
① $30×(30÷\frac{1}{12}+30÷\frac{1}{18})$
② $30÷(30÷12+30÷18)$
③ $30÷(\frac{1}{12}+\frac{1}{18})$
④ $1÷(\frac{1}{12}+\frac{1}{18})$
A.①③
B.②③
C.②④
D.③④
C
）。① $30×(30÷\frac{1}{12}+30÷\frac{1}{18})$
② $30÷(30÷12+30÷18)$
③ $30÷(\frac{1}{12}+\frac{1}{18})$
④ $1÷(\frac{1}{12}+\frac{1}{18})$
A.①③
B.②③
C.②④
D.③④
答案
6. C
解析
【分析】
本题是工程问题，核心解题公式为“工作时间=工作总量÷两队工作效率之和”，有两种常规解题思路：思路一，用题干给出的具体总长度30千米计算，先分别求出甲、乙两队每天修的具体长度，相加得到两队每天一共修的长度，再用总长度除以每天共修的长度即可得到合修时间；思路二，把公路总工作量看作单位“1”，先分别求出甲、乙每天完成总工作量的几分之几（即工作效率），相加得到效率和，再用单位“1”除以效率和也可得到合修时间，对照四个式子判断正误即可。
【解析】
根据工程问题公式分类判断：
1. 用具体工作量计算：
甲队每天修路长度：$30÷12$（千米），乙队每天修路长度：$30÷18$（千米）
两队效率和：$30÷12 + 30÷18$
合修时间：$30÷(30÷12 + 30÷18)$，因此式子②正确。
2. 把总工作量看作单位“1”计算：
甲队每天完成总工程的$\frac{1}{12}$，乙队每天完成总工程的$\frac{1}{18}$
两队效率和：$\frac{1}{12}+\frac{1}{18}$
合修时间：$1÷(\frac{1}{12}+\frac{1}{18})$，因此式子④正确。
综上，②④列式正确。
【答案】
C
【知识点】
工程问题计算，工作总量效率时间关系，单位“1”的应用
【点评】
本题考查工程问题的两类基础解法，解题时要注意区分两种思路下工作效率的不同表示方法，避免混用具体量和分率的计算逻辑导致列式错误。
【难度系数】
0.7
本题是工程问题，核心解题公式为“工作时间=工作总量÷两队工作效率之和”，有两种常规解题思路：思路一，用题干给出的具体总长度30千米计算，先分别求出甲、乙两队每天修的具体长度，相加得到两队每天一共修的长度，再用总长度除以每天共修的长度即可得到合修时间；思路二，把公路总工作量看作单位“1”，先分别求出甲、乙每天完成总工作量的几分之几（即工作效率），相加得到效率和，再用单位“1”除以效率和也可得到合修时间，对照四个式子判断正误即可。
【解析】
根据工程问题公式分类判断：
1. 用具体工作量计算：
甲队每天修路长度：$30÷12$（千米），乙队每天修路长度：$30÷18$（千米）
两队效率和：$30÷12 + 30÷18$
合修时间：$30÷(30÷12 + 30÷18)$，因此式子②正确。
2. 把总工作量看作单位“1”计算：
甲队每天完成总工程的$\frac{1}{12}$，乙队每天完成总工程的$\frac{1}{18}$
两队效率和：$\frac{1}{12}+\frac{1}{18}$
合修时间：$1÷(\frac{1}{12}+\frac{1}{18})$，因此式子④正确。
综上，②④列式正确。
【答案】
C
【知识点】
工程问题计算，工作总量效率时间关系，单位“1”的应用
【点评】
本题考查工程问题的两类基础解法，解题时要注意区分两种思路下工作效率的不同表示方法，避免混用具体量和分率的计算逻辑导致列式错误。
【难度系数】
0.7
7. 新情境 生物百科 工作犬可分为探测犬、军用犬和服务犬等，它们是人们可靠的帮手。
甲、乙两只警犬接到搜寻任务，甲警犬单独完成需要3小时，乙警犬单独完成需要5小时。现安排让甲、乙两只警犬一起搜寻，合作搜寻30分钟后将甲警犬带走，剩余任务由乙警犬单独完成，那么乙警犬完成此次任务一共用了多长时间？
甲、乙两只警犬接到搜寻任务，甲警犬单独完成需要3小时，乙警犬单独完成需要5小时。现安排让甲、乙两只警犬一起搜寻，合作搜寻30分钟后将甲警犬带走，剩余任务由乙警犬单独完成，那么乙警犬完成此次任务一共用了多长时间？
答案
7. $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{8}{15}$ 30 分=$\frac{1}{2}$时 $\frac{8}{15}×\frac{1}{2}=\frac{4}{15}$
$1-\frac{4}{15}=\frac{11}{15}\ \ \frac{11}{15}÷\frac{1}{5}=\frac{11}{3}$(时) $\frac{11}{3}+\frac{1}{2}=\frac{25}{6}$(时)
答:乙警犬完成此次任务一共用了$\frac{25}{6}$小时。
$1-\frac{4}{15}=\frac{11}{15}\ \ \frac{11}{15}÷\frac{1}{5}=\frac{11}{3}$(时) $\frac{11}{3}+\frac{1}{2}=\frac{25}{6}$(时)
答:乙警犬完成此次任务一共用了$\frac{25}{6}$小时。
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题时首先把总搜寻任务看作单位“1”，根据“工作效率=工作总量÷工作时间”先分别算出甲、乙的工作效率；再统一时间单位，将30分钟换算为以小时为单位的量，计算甲乙合作半小时完成的工作量；接着用总工作量减去已完成的工作量得到剩余工作量，用剩余工作量除以乙的工作效率，算出乙后续单独完成任务的时间；最后把乙参与合作的时间和后续单独工作的时间相加，就是乙完成任务一共用的时间。
【解析】
解：把总搜寻任务看作单位“1”
甲的工作效率：$1÷3=\frac{1}{3}$
乙的工作效率：$1÷5=\frac{1}{5}$
单位换算：$30分=\frac{1}{2}时$
甲乙合作$\frac{1}{2}$小时完成的工作量：
$(\frac{1}{3}+\frac{1}{5})×\frac{1}{2}=\frac{8}{15}×\frac{1}{2}=\frac{4}{15}$
剩余工作量：$1-\frac{4}{15}=\frac{11}{15}$
乙单独完成剩余工作量的时间：
$\frac{11}{15}÷\frac{1}{5}=\frac{11}{3}$（时）
乙一共用的时间：
$\frac{11}{3}+\frac{1}{2}=\frac{25}{6}$（时）
【答案】
乙警犬完成此次任务一共用了$\frac{25}{6}$小时。
【知识点】
工程问题、分数四则运算、工作三量关系
【点评】
本题结合工作犬执行任务的生活化情境，考查工程问题的实际应用，解题核心是将总任务设为单位“1”，理清合作、单独工作两个阶段的工作量关系，计算时注意时间单位的统一，能较好地考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程问题，解题时首先把总搜寻任务看作单位“1”，根据“工作效率=工作总量÷工作时间”先分别算出甲、乙的工作效率；再统一时间单位，将30分钟换算为以小时为单位的量，计算甲乙合作半小时完成的工作量；接着用总工作量减去已完成的工作量得到剩余工作量，用剩余工作量除以乙的工作效率，算出乙后续单独完成任务的时间；最后把乙参与合作的时间和后续单独工作的时间相加，就是乙完成任务一共用的时间。
【解析】
解：把总搜寻任务看作单位“1”
甲的工作效率：$1÷3=\frac{1}{3}$
乙的工作效率：$1÷5=\frac{1}{5}$
单位换算：$30分=\frac{1}{2}时$
甲乙合作$\frac{1}{2}$小时完成的工作量：
$(\frac{1}{3}+\frac{1}{5})×\frac{1}{2}=\frac{8}{15}×\frac{1}{2}=\frac{4}{15}$
剩余工作量：$1-\frac{4}{15}=\frac{11}{15}$
乙单独完成剩余工作量的时间：
$\frac{11}{15}÷\frac{1}{5}=\frac{11}{3}$（时）
乙一共用的时间：
$\frac{11}{3}+\frac{1}{2}=\frac{25}{6}$（时）
【答案】
乙警犬完成此次任务一共用了$\frac{25}{6}$小时。
【知识点】
工程问题、分数四则运算、工作三量关系
【点评】
本题结合工作犬执行任务的生活化情境，考查工程问题的实际应用，解题核心是将总任务设为单位“1”，理清合作、单独工作两个阶段的工作量关系，计算时注意时间单位的统一，能较好地考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
素养提升
一、抓不变量解决稍复杂的分数乘法问题
8. 水果店购进苹果和脐橙一共 360 千克，其中苹果占$\frac{2}{5}$。后来又购进一些苹果，此时苹果占$\frac{7}{10}$。后来又购进多少千克苹果？
思路提示：题中的某个量是不变的，可把这个不变量看作“1”，然后求解。
一、抓不变量解决稍复杂的分数乘法问题
8. 水果店购进苹果和脐橙一共 360 千克，其中苹果占$\frac{2}{5}$。后来又购进一些苹果，此时苹果占$\frac{7}{10}$。后来又购进多少千克苹果？
思路提示：题中的某个量是不变的，可把这个不变量看作“1”，然后求解。
答案
8. $360×\frac{2}{5}=144$(千克) $360-144=216$(千克)
$216×\frac{7}{10-7}=504$(千克) $504-144=360$(千克)
答:后来又购进 360 千克苹果。 解析:根据题意可知,脐橙的质量没有变化,苹果的质量和两种水果的总质量在发生变化,根据“后来又购进一些苹果,此时苹果占$\frac{7}{10}$”,可知此时苹果是脐橙的$\frac{7}{10-7}$。这样就可以根据脐橙的质量求出后来购进苹果的质量。
$216×\frac{7}{10-7}=504$(千克) $504-144=360$(千克)
答:后来又购进 360 千克苹果。 解析:根据题意可知,脐橙的质量没有变化,苹果的质量和两种水果的总质量在发生变化,根据“后来又购进一些苹果,此时苹果占$\frac{7}{10}$”,可知此时苹果是脐橙的$\frac{7}{10-7}$。这样就可以根据脐橙的质量求出后来购进苹果的质量。
解析
【分析】
解决这道题首先要找到变化过程中的不变量，题目中只购进了苹果，因此脐橙的质量始终不变，我们就以脐橙的质量为突破口解题：第一步，先根据原来水果的总质量和苹果的占比，算出脐橙的质量；第二步，根据后来苹果的占比，得出此时苹果与脐橙的数量关系，结合脐橙的质量算出后来苹果的总质量；第三步，用后来苹果的总质量减去原来苹果的质量，就能得到新购进的苹果质量。
【解析】
1. 计算原来苹果的质量：已知苹果和脐橙总质量为360千克，苹果占$\frac{2}{5}$，因此原来苹果的质量为：
$360×\frac{2}{5}=144$（千克）
2. 计算不变的脐橙质量：
$360-144=216$（千克）
3. 计算后来苹果的总质量：后来苹果占总质量的$\frac{7}{10}$，说明总质量共10份，苹果占7份，脐橙占$10-7=3$份，即此时苹果质量是脐橙的$\frac{7}{10-7}$，结合脐橙质量可算出后来苹果总质量：
$216×\frac{7}{10-7}=504$（千克）
4. 计算后来购进的苹果质量：
$504-144=360$（千克）
【答案】
后来又购进360千克苹果。
【知识点】
抓不变量解题，分数乘除法应用
【点评】
本题是典型的分数乘除法综合应用题，解题关键是准确识别变化过程中的不变量，将其作为解题的中间桥梁，避免被变化的总量干扰，能有效锻炼逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要找到变化过程中的不变量，题目中只购进了苹果，因此脐橙的质量始终不变，我们就以脐橙的质量为突破口解题：第一步，先根据原来水果的总质量和苹果的占比，算出脐橙的质量；第二步，根据后来苹果的占比，得出此时苹果与脐橙的数量关系，结合脐橙的质量算出后来苹果的总质量；第三步，用后来苹果的总质量减去原来苹果的质量，就能得到新购进的苹果质量。
【解析】
1. 计算原来苹果的质量：已知苹果和脐橙总质量为360千克，苹果占$\frac{2}{5}$，因此原来苹果的质量为：
$360×\frac{2}{5}=144$（千克）
2. 计算不变的脐橙质量：
$360-144=216$（千克）
3. 计算后来苹果的总质量：后来苹果占总质量的$\frac{7}{10}$，说明总质量共10份，苹果占7份，脐橙占$10-7=3$份，即此时苹果质量是脐橙的$\frac{7}{10-7}$，结合脐橙质量可算出后来苹果总质量：
$216×\frac{7}{10-7}=504$（千克）
4. 计算后来购进的苹果质量：
$504-144=360$（千克）
【答案】
后来又购进360千克苹果。
【知识点】
抓不变量解题，分数乘除法应用
【点评】
本题是典型的分数乘除法综合应用题，解题关键是准确识别变化过程中的不变量，将其作为解题的中间桥梁，避免被变化的总量干扰，能有效锻炼逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
二、“1”发生变化的复杂的分数乘法问题
9. 新趋势 思维过程 在一整壶水中冲泡80克玉米粉，搅拌均匀后，喝去$\frac{1}{4}$；再加入40克玉米粉，加满水搅匀，又喝去$\frac{1}{4}$；再加入40克玉米粉，加满水搅匀，仍喝去$\frac{1}{4}$。此时壶中有多少克玉米粉？
思路提示：要注意题中3个分率对应的“1”各不相同。
9. 新趋势 思维过程 在一整壶水中冲泡80克玉米粉，搅拌均匀后，喝去$\frac{1}{4}$；再加入40克玉米粉，加满水搅匀，又喝去$\frac{1}{4}$；再加入40克玉米粉，加满水搅匀，仍喝去$\frac{1}{4}$。此时壶中有多少克玉米粉？
思路提示：要注意题中3个分率对应的“1”各不相同。
答案
9. $80×(1-\frac{1}{4})=60$(克) $(60+40)×(1-\frac{1}{4})=75$(克) $(75+40)×(1-\frac{1}{4})=86.25$(克)
答:此时壶中有 86.25 克玉米粉。
解析:根据题意可知,一整壶水中溶有 80 克玉米粉,喝去$\frac{1}{4}$,此时壶中有$80×(1-\frac{1}{4})=60$(克)玉米粉;再加入 40 克玉米粉,加满水搅匀,又喝去$\frac{1}{4}$,此时壶中有$(60+40)×(1-\frac{1}{4})=75$(克)玉米粉;再加入40 克玉米粉,加满水搅匀,仍喝去$\frac{1}{4}$,此时壶中有$(75+40)×(1-\frac{1}{4})=86.25$(克)玉米粉。
答:此时壶中有 86.25 克玉米粉。
解析:根据题意可知,一整壶水中溶有 80 克玉米粉,喝去$\frac{1}{4}$,此时壶中有$80×(1-\frac{1}{4})=60$(克)玉米粉;再加入 40 克玉米粉,加满水搅匀,又喝去$\frac{1}{4}$,此时壶中有$(60+40)×(1-\frac{1}{4})=75$(克)玉米粉;再加入40 克玉米粉,加满水搅匀,仍喝去$\frac{1}{4}$,此时壶中有$(75+40)×(1-\frac{1}{4})=86.25$(克)玉米粉。
解析
【分析】
解题时要注意每次喝去$\frac{1}{4}$对应的单位“1”都不相同，每次喝掉混合液的$\frac{1}{4}$，意味着壶中玉米粉也会剩余当前总量的$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。我们按照操作顺序逐步计算：第一步先算第一次喝完后剩余的玉米粉质量；第二步加上新加入的40克玉米粉，再算第二次喝完后剩余的质量；第三步再加上新加入的40克玉米粉，算出第三次喝完后剩余的玉米粉质量即可。
【解析】
第一次喝去$\frac{1}{4}$后剩余玉米粉：
$80×(1-\frac{1}{4})=60$（克）
加入40克玉米粉后总质量为$60+40=100$克，第二次喝去$\frac{1}{4}$后剩余：
$(60+40)×(1-\frac{1}{4})=75$（克）
再加入40克玉米粉后总质量为$75+40=115$克，第三次喝去$\frac{1}{4}$后剩余：
$(75+40)×(1-\frac{1}{4})=86.25$（克）
【答案】
86.25克
【知识点】
分数乘法应用；单位“1”识别
【点评】
本题是分数乘法的典型实践应用题，核心是准确判断每一步计算对应的单位“1”，按照操作先后顺序逐步推导就能顺利求解，能很好地考查逻辑思维的条理性。
【难度系数】
0.7
解题时要注意每次喝去$\frac{1}{4}$对应的单位“1”都不相同，每次喝掉混合液的$\frac{1}{4}$，意味着壶中玉米粉也会剩余当前总量的$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。我们按照操作顺序逐步计算：第一步先算第一次喝完后剩余的玉米粉质量；第二步加上新加入的40克玉米粉，再算第二次喝完后剩余的质量；第三步再加上新加入的40克玉米粉，算出第三次喝完后剩余的玉米粉质量即可。
【解析】
第一次喝去$\frac{1}{4}$后剩余玉米粉：
$80×(1-\frac{1}{4})=60$（克）
加入40克玉米粉后总质量为$60+40=100$克，第二次喝去$\frac{1}{4}$后剩余：
$(60+40)×(1-\frac{1}{4})=75$（克）
再加入40克玉米粉后总质量为$75+40=115$克，第三次喝去$\frac{1}{4}$后剩余：
$(75+40)×(1-\frac{1}{4})=86.25$（克）
【答案】
86.25克
【知识点】
分数乘法应用；单位“1”识别
【点评】
本题是分数乘法的典型实践应用题，核心是准确判断每一步计算对应的单位“1”，按照操作先后顺序逐步推导就能顺利求解，能很好地考查逻辑思维的条理性。
【难度系数】
0.7
