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1.若一个长方形的一边长是$a+2b$,另一边比它长$a+b$,则这个长方形的周长是.
答案
$\boldsymbol{6a+10b}$
解析
解：
先求长方形的另一边长：
$(a+2b)+(a+b)=2a+3b$
再计算长方形的周长：
$2×[(a+2b)+(2a+3b)]$
$=2×(3a+5b)$
$=6a+10b$
最终
先求长方形的另一边长：
$(a+2b)+(a+b)=2a+3b$
再计算长方形的周长：
$2×[(a+2b)+(2a+3b)]$
$=2×(3a+5b)$
$=6a+10b$
最终
2. 计算：$(\dfrac{1}{3})^{2021} × 9^{1010} =$ .
答案
$\dfrac{1}{3}$
解析
解：
原式$=(\dfrac{1}{3})^{2021} × (3^2)^{1010}$
$=(\dfrac{1}{3})^{2021} × 3^{2020}$
$=\dfrac{1}{3} × (\dfrac{1}{3})^{2020} × 3^{2020}$
$=\dfrac{1}{3} × (\dfrac{1}{3} × 3)^{2020}$
$=\dfrac{1}{3} × 1^{2020}$
$=\dfrac{1}{3}$
最终
原式$=(\dfrac{1}{3})^{2021} × (3^2)^{1010}$
$=(\dfrac{1}{3})^{2021} × 3^{2020}$
$=\dfrac{1}{3} × (\dfrac{1}{3})^{2020} × 3^{2020}$
$=\dfrac{1}{3} × (\dfrac{1}{3} × 3)^{2020}$
$=\dfrac{1}{3} × 1^{2020}$
$=\dfrac{1}{3}$
最终
3.填空：$(2023 - 1)^0 =$ ，$(-3)^{-2} =$ 。
答案
解：
根据零指数幂的性质：非零实数的0次幂等于1，
因为$2023-1=2022≠0$，所以$(2023 - 1)^0 = 1$；
根据负整数指数幂的性质：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），
可得$(-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac{1}{9}$。
答案依次为$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{\frac{1}{9}}$。
根据零指数幂的性质：非零实数的0次幂等于1，
因为$2023-1=2022≠0$，所以$(2023 - 1)^0 = 1$；
根据负整数指数幂的性质：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），
可得$(-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac{1}{9}$。
答案依次为$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{\frac{1}{9}}$。
4.填空：$(x-y)^2 =$ ，$(x+y)^2 =$ 。
答案
解：
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$，
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$。
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$，
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$。
5. 多项式 $9 - 5x + x^2$ 与 $4x^2 - 9x + 1$ 的差为 .
答案
$\boldsymbol{-3x^2 + 4x + 8}$
解析
解：
$(9 - 5x + x^2) - (4x^2 - 9x + 1)$
$=9 - 5x + x^2 - 4x^2 + 9x - 1$
$=(1-4)x^2 + (-5+9)x + (9-1)$
$=-3x^2 + 4x + 8$
最终
$(9 - 5x + x^2) - (4x^2 - 9x + 1)$
$=9 - 5x + x^2 - 4x^2 + 9x - 1$
$=(1-4)x^2 + (-5+9)x + (9-1)$
$=-3x^2 + 4x + 8$
最终
6.若一个长方体的箱子紧靠墙角摆放，它的长、宽、高分别为$a,b,c$，则这个箱子露在外面的表面积是.
答案
解：长方体紧靠墙角摆放时，有3个相邻的面分别被墙面和地面完全遮挡，露在外面的3个面的面积分别为$ab$、$bc$、$ac$，
因此露在外面的表面积是$ab+bc+ac$。
因此露在外面的表面积是$ab+bc+ac$。
7.若$(-a)^3 · a^{2x} = -a^7$，则$x=$.
答案
解：
$(-a)^3 = -a^3$，
因此$(-a)^3 · a^{2x} = -a^3 · a^{2x} = -a^{3+2x}$，
由$-a^{3+2x}=-a^7$，可得对应指数相等：
$3 + 2x = 7$，
解得$x=2$。
$(-a)^3 = -a^3$，
因此$(-a)^3 · a^{2x} = -a^3 · a^{2x} = -a^{3+2x}$，
由$-a^{3+2x}=-a^7$，可得对应指数相等：
$3 + 2x = 7$，
解得$x=2$。
8.若$10^x = 0.001$，则$x = \_\_\_\_\_\_$
答案
解：
因为$0.001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$，
又$10^x = 0.001$，
所以$10^x = 10^{-3}$，
得$x=-3$。
因为$0.001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$，
又$10^x = 0.001$，
所以$10^x = 10^{-3}$，
得$x=-3$。
9. $(2a - 3b)$ $= 4a^2 - 9b^2$,
$(2a - 3b)(3b - 2a) =$.
$(2a - 3b)(3b - 2a) =$.
答案
解：
根据平方差公式$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$，可得：
$(2a-3b)(2a+3b)=(2a)^2-(3b)^2=4a^2-9b^2$，第一空为$2a+3b$；
$\begin{aligned}(2a-3b)(3b-2a)&=-(2a-3b)(2a-3b)\\&=-(2a-3b)^2\\&=-(4a^2-12ab+9b^2)\\&=-4a^2+12ab-9b^2\end{aligned}$
第二空为$-4a^2+12ab-9b^2$。
根据平方差公式$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$，可得：
$(2a-3b)(2a+3b)=(2a)^2-(3b)^2=4a^2-9b^2$，第一空为$2a+3b$；
$\begin{aligned}(2a-3b)(3b-2a)&=-(2a-3b)(2a-3b)\\&=-(2a-3b)^2\\&=-(4a^2-12ab+9b^2)\\&=-4a^2+12ab-9b^2\end{aligned}$
第二空为$-4a^2+12ab-9b^2$。
10. 观察下列各式，你发现了什么规律？
1×3 + 1 = 4 = 2²，
2×4 + 1 = 9 = 3²，
3×5 + 1 = 16 = 4²，
……
将你猜想的规律用含1个字母x的式子表示出来：。
1×3 + 1 = 4 = 2²，
2×4 + 1 = 9 = 3²，
3×5 + 1 = 16 = 4²，
……
将你猜想的规律用含1个字母x的式子表示出来：。
答案
解：
观察各式可得规律：
$x(x+2)+1=(x+1)^2$（$x$为正整数）
观察各式可得规律：
$x(x+2)+1=(x+1)^2$（$x$为正整数）
11.若$a + b = 5$，$ab = 3$，则代数式$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3 =$.
答案
$\boldsymbol{75}$
解析
解：
对代数式因式分解：
$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$
$=ab(a^2 + 2ab + b^2)$
$=ab(a+b)^2$
将$a+b=5$，$ab=3$代入得：
原式$=3×5^2=3×25=75$
对代数式因式分解：
$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$
$=ab(a^2 + 2ab + b^2)$
$=ab(a+b)^2$
将$a+b=5$，$ab=3$代入得：
原式$=3×5^2=3×25=75$
12. 在等式 $ x^2 · x · (\quad) = x^{10} $ 中，括号里面的代数式应当是().
A.$ x^5 $
B.$ x^6 $
C.$ x^7 $
D.$ x^8 $
A.$ x^5 $
B.$ x^6 $
C.$ x^7 $
D.$ x^8 $
答案
C
解析
根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。先计算已知项的乘积：$x^2 · x = x^{2+1}=x^3$。设括号内的代数式为$x^a$，则$x^3 · x^a = x^{3+a}=x^{10}$，可得$3+a=10$，解得$a=7$，因此括号内的代数式是$x^7$。
13. 下列运算正确的是().
A.$(2y - x)(2y - x) = 4y^2 - x^2$
B.$(-2y + x)(2y - x) = -4y^2 - x^2$
C.$(2y + x)(2y - x) = -4y^2 - x^2$
D.$(-2y - x)(-2y + x) = 4y^2 - x^2$
A.$(2y - x)(2y - x) = 4y^2 - x^2$
B.$(-2y + x)(2y - x) = -4y^2 - x^2$
C.$(2y + x)(2y - x) = -4y^2 - x^2$
D.$(-2y - x)(-2y + x) = 4y^2 - x^2$
答案
D
解析
我们逐个验证选项：
1. 验证A选项：$(2y-x)(2y-x)=(2y-x)^2=4y^2-4xy+x^2≠4y^2-x^2$，运算错误。
2. 验证B选项：$(-2y+x)(2y-x)=-(2y-x)^2=-4y^2+4xy-x^2≠-4y^2-x^2$，运算错误。
3. 验证C选项：由平方差公式，$(2y+x)(2y-x)=(2y)^2-x^2=4y^2-x^2≠-4y^2-x^2$，运算错误。
4. 验证D选项：由平方差公式，$(-2y-x)(-2y+x)=(-2y)^2-x^2=4y^2-x^2$，运算正确。
1. 验证A选项：$(2y-x)(2y-x)=(2y-x)^2=4y^2-4xy+x^2≠4y^2-x^2$，运算错误。
2. 验证B选项：$(-2y+x)(2y-x)=-(2y-x)^2=-4y^2+4xy-x^2≠-4y^2-x^2$，运算错误。
3. 验证C选项：由平方差公式，$(2y+x)(2y-x)=(2y)^2-x^2=4y^2-x^2≠-4y^2-x^2$，运算错误。
4. 验证D选项：由平方差公式，$(-2y-x)(-2y+x)=(-2y)^2-x^2=4y^2-x^2$，运算正确。
14. 声音的强弱用分贝表示.通常讲话时的声音为50分贝,它表示声音的强度是$10^5$;摩托车发出的声音是110分贝,它表示声音的强度为$10^{11}$;喷气式飞机发出的声音是150分贝,它表示声音的强度是$10^{15}$.那么,喷气式飞机发出的声音的强度是摩托车声音的()倍.
A.$10^3$
B.$10^4$
C.$10^5$
D.$10^6$
A.$10^3$
B.$10^4$
C.$10^5$
D.$10^6$
答案
B
解析
求喷气式飞机声音强度是摩托车声音强度的倍数，用喷气式飞机的声音强度除以摩托车的声音强度，代入已知数据：$10^{15} ÷ 10^{11} = 10^{15-11} = 10^4$。
