15. 一根绳子弯曲成如图1所示的形状. 当用剪刀像图2那样沿虚线a把绳子剪断时,绳子被剪为5段;当用剪刀像图3那样沿虚线b(b//a)把绳子再剪一次时,绳子就被剪为9段. 若用剪刀在虚线a,b之间把绳子再剪(n-2)次(剪刀的方向与a平行),则一共剪n次时绳子的段数是().


A.$4n + 1$
B.$4n + 2$
C.$4n + 3$
D.$4n + 5$

A

根据题意，剪1次时绳子段数为5，剪2次时绳子段数为9，可发现每多剪1次（剪刀方向与a平行），绳子段数增加4。该数列是首项为5、公差为4的等差数列，推导得剪n次时的段数为：$5+4(n-1)=4n+1$。

16. 计算下列各题.
(1) $(-a^3)^2 + (-a^2)^3 - a^3a^2$
(2) $( \frac{3}{4}ab^2 - ab + \frac{2}{3}b ) ( -\frac{1}{2}ab )$
(3) $(3 × 10^5)^2 ÷ ( \frac{1}{3} × 10^3 )$
(4) $(2x - 3)(x - 2)$
(5) $(4a^3b - 6a^2b^2 + 12ab^3) ÷ 2ab$
(6) $10^3 ÷ 10^{-2} × 10^0 × ( \frac{1}{10} )^2$
(7) $2(x + 3)^2 - (x - 3)(x + 3)$
(8) $(a + 1)^2(a - 1)^2(a^2 + 1)^2$
(9) $(3mn + 1)(1 - 3mn) - 8m^2n^2$
(10) $(3x^2y^2 + 4)(3x^2y^2 - 4) - 9x^4y^4$
(11) $(a + b)^2 - 2(a + b)(a - b) + (a - b)^2$

解：
(1)
原式$=a^6 - a^6 - a^{3+2}$
$= -a^5$
(2)
原式$=\frac{3}{4}ab^2 · (-\frac{1}{2}ab) - ab · (-\frac{1}{2}ab) + \frac{2}{3}b · (-\frac{1}{2}ab)$
$= -\frac{3}{8}a^2b^3 + \frac{1}{2}a^2b^2 - \frac{1}{3}ab^2$
(3)
原式$= 9×10^{10} ÷ (\frac{1}{3}×10^3)$
$= 9×3×10^{10-3}$
$= 27×10^7$
$= 2.7×10^8$
(4)
原式$=2x· x - 2x·2 - 3· x + 3×2$
$=2x^2 -4x -3x +6$
$=2x^2 -7x +6$
(5)
原式$=4a^3b÷2ab -6a^2b^2÷2ab +12ab^3÷2ab$
$=2a^2 -3ab +6b^2$
(6)
原式$=10^{3-(-2)} ×1 × 10^{-2}$
$=10^5 ×10^{-2}$
$=10^3$
$=1000$
(7)
原式$=2(x^2+6x+9) - (x^2-9)$
$=2x^2+12x+18 -x^2 +9$
$=x^2+12x+27$
(8)
原式$=[(a+1)(a-1)(a^2+1)]^2$
$=[(a^2-1)(a^2+1)]^2$
$=(a^4-1)^2$
$=a^8 -2a^4 +1$
(9)
原式$=1^2 - (3mn)^2 -8m^2n^2$
$=1 -9m^2n^2 -8m^2n^2$
$=1 -17m^2n^2$
(10)
原式$=(3x^2y^2)^2 -4^2 -9x^4y^4$
$=9x^4y^4 -16 -9x^4y^4$
$=-16$
(11)
原式$=[(a+b)-(a-b)]^2$
$=(2b)^2$
$=4b^2$