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11.如图所示,点 E 是$□ ABCD$的边 CD 的中点,连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F,$AD=5$.
(1)求证:$△ ADE≌△ FCE$;
(2)求 BF 的长.
(1)求证:$△ ADE≌△ FCE$;
(2)求 BF 的长.
答案
11.(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD,BC=AD=5.
∴∠D=∠FCE.
∵E是CD的中点，
∴DE=CE.
在△ADE和△FCE中，
$\begin{cases}∠D=∠FCE,\\DE=CE,\\∠AED=∠FEC,\end{cases}$
∴△ADE≌△FCE(ASA).
(2)解:由(1)知△ADE≌△FCE，
∴FC=AD=5.
∴BF=BC+FC=5+5=10.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD,BC=AD=5.
∴∠D=∠FCE.
∵E是CD的中点，
∴DE=CE.
在△ADE和△FCE中，
$\begin{cases}∠D=∠FCE,\\DE=CE,\\∠AED=∠FEC,\end{cases}$
∴△ADE≌△FCE(ASA).
(2)解:由(1)知△ADE≌△FCE，
∴FC=AD=5.
∴BF=BC+FC=5+5=10.
解析
【分析】
(1)要证明$△ ADE≌△ FCE$，先结合平行四边形对边平行的性质，可推出一组内错角相等；再由E是CD中点得到一组边相等，结合对顶角相等的隐含条件，即可用ASA判定定理证明两三角形全等。
(2)求BF的长时，先利用全等三角形对应边相等得到$FC=AD$，再结合平行四边形对边相等的性质得到$BC=AD$，最后将BF拆分为$BC+FC$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$BC// AD$，$BC=AD=5$，
∴$∠ D=∠ FCE$。
∵E是CD的中点，
∴$DE=CE$。
在$△ ADE$和$△ FCE$中，
$\begin{cases}∠ D=∠ FCE,\\DE=CE,\\∠ AED=∠ FEC,\end{cases}$
∴$△ ADE≌△ FCE(\mathrm{ASA})$。
(2)解：由(1)知$△ ADE≌△ FCE$，
∴$FC=AD=5$，
∴$BF=BC+FC=5+5=10$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$\boxed{10}$
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，综合考查了平行四边形和全等三角形的相关知识，解题的关键是从平行四边形性质中挖掘全等的判定条件，再通过全等转化线段长度求解。
【难度系数】
0.8
(1)要证明$△ ADE≌△ FCE$，先结合平行四边形对边平行的性质，可推出一组内错角相等；再由E是CD中点得到一组边相等，结合对顶角相等的隐含条件，即可用ASA判定定理证明两三角形全等。
(2)求BF的长时，先利用全等三角形对应边相等得到$FC=AD$，再结合平行四边形对边相等的性质得到$BC=AD$，最后将BF拆分为$BC+FC$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$BC// AD$，$BC=AD=5$，
∴$∠ D=∠ FCE$。
∵E是CD的中点，
∴$DE=CE$。
在$△ ADE$和$△ FCE$中，
$\begin{cases}∠ D=∠ FCE,\\DE=CE,\\∠ AED=∠ FEC,\end{cases}$
∴$△ ADE≌△ FCE(\mathrm{ASA})$。
(2)解：由(1)知$△ ADE≌△ FCE$，
∴$FC=AD=5$，
∴$BF=BC+FC=5+5=10$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$\boxed{10}$
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，综合考查了平行四边形和全等三角形的相关知识，解题的关键是从平行四边形性质中挖掘全等的判定条件，再通过全等转化线段长度求解。
【难度系数】
0.8
12.数学文化《九章算术》中有这样一个问题:今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何? 这道题的意思是:(如图所示)有一个正方形的池塘,边长为10尺,有一棵芦苇生长在池塘的正中央,并且芦苇高出水面部分有1尺,如果把芦苇拉向岸边,则芦苇顶端恰好碰到岸沿,求芦苇的长度.
答案
12.解:设水深为x尺,则芦苇的长度为(x+1)尺.
根据勾股定理,得$x^2+(\dfrac{10}{2})^2=(x+1)^2$,
解得x=12.
x+1=12+1=13(尺).
答:芦苇的长度为13尺.
根据勾股定理,得$x^2+(\dfrac{10}{2})^2=(x+1)^2$,
解得x=12.
x+1=12+1=13(尺).
答:芦苇的长度为13尺.
解析
【分析】
解决本题需先将实际问题转化为直角三角形的数学模型：芦苇垂直水面时，水深、芦苇根部到岸边的水平距离、拉至岸边的芦苇可构成直角三角形。首先梳理已知条件：正方形池塘边长为10尺，芦苇长在池塘正中央，因此芦苇根部到岸边的水平距离为$10÷2=5$尺；芦苇高出水面1尺，可设水深为x尺，则芦苇总长度为$(x+1)$尺，拉至岸边的芦苇是直角三角形的斜边。再根据勾股定理的等量关系列方程，求解后即可得到芦苇的长度。
【解析】
解：设水深为x尺，则芦苇的长度为$(x+1)$尺。
芦苇生长在池塘正中央，因此芦苇根部到岸边的水平距离为$\frac{10}{2}=5$尺。
芦苇拉到岸沿时，水深、水平距离、芦苇长度构成直角三角形，芦苇为斜边，根据勾股定理列方程得：
$x^2+(\frac{10}{2})^2=(x+1)^2$
展开得：$x^2+25=x^2+2x+1$
移项化简得：$2x=24$
解得$x=12$
因此芦苇长度为$x+1=12+1=13$（尺）
【答案】
13尺
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是我国古代经典数学问题，将生活场景与几何知识相结合，考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，以及利用勾股定理建立等量关系求解的能力，解题的关键是准确对应直角三角形各边的实际含义。
【难度系数】
0.7
解决本题需先将实际问题转化为直角三角形的数学模型：芦苇垂直水面时，水深、芦苇根部到岸边的水平距离、拉至岸边的芦苇可构成直角三角形。首先梳理已知条件：正方形池塘边长为10尺，芦苇长在池塘正中央，因此芦苇根部到岸边的水平距离为$10÷2=5$尺；芦苇高出水面1尺，可设水深为x尺，则芦苇总长度为$(x+1)$尺，拉至岸边的芦苇是直角三角形的斜边。再根据勾股定理的等量关系列方程，求解后即可得到芦苇的长度。
【解析】
解：设水深为x尺，则芦苇的长度为$(x+1)$尺。
芦苇生长在池塘正中央，因此芦苇根部到岸边的水平距离为$\frac{10}{2}=5$尺。
芦苇拉到岸沿时，水深、水平距离、芦苇长度构成直角三角形，芦苇为斜边，根据勾股定理列方程得：
$x^2+(\frac{10}{2})^2=(x+1)^2$
展开得：$x^2+25=x^2+2x+1$
移项化简得：$2x=24$
解得$x=12$
因此芦苇长度为$x+1=12+1=13$（尺）
【答案】
13尺
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是我国古代经典数学问题，将生活场景与几何知识相结合，考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，以及利用勾股定理建立等量关系求解的能力，解题的关键是准确对应直角三角形各边的实际含义。
【难度系数】
0.7
13.如图所示，直线AB与x轴交于点A(1,0)，与y轴交于点B(0,-2)。
(1)求直线AB的解析式；
(2)若直线AB上的点C在第一象限，且$S_{△ BOC}=2$，求点C的坐标。
(1)求直线AB的解析式；
(2)若直线AB上的点C在第一象限，且$S_{△ BOC}=2$，求点C的坐标。
答案
13.解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0).
∵直线AB过点A(1,0),B(0,-2),
∴$\begin{cases}k+b=0,\\b=-2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2,\\b=-2,\end{cases}$
∴直线AB的解析式为y=2x-2.
(2)设点C的坐标为(x,y),
∵$S_{△ BOC}=2$,
∴$\dfrac{1}{2}×2×x=2$,
解得x=2.
∴y=2×2-2=2.
∴点C的坐标是(2,2).
∵直线AB过点A(1,0),B(0,-2),
∴$\begin{cases}k+b=0,\\b=-2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2,\\b=-2,\end{cases}$
∴直线AB的解析式为y=2x-2.
(2)设点C的坐标为(x,y),
∵$S_{△ BOC}=2$,
∴$\dfrac{1}{2}×2×x=2$,
解得x=2.
∴y=2×2-2=2.
∴点C的坐标是(2,2).
解析
【分析】
(1) 求直线的解析式时，已知直线经过两个确定的点，可选用待定系数法求解：先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再将两个点的坐标代入解析式，得到关于$k$和$b$的二元一次方程组，解方程组求出参数值，即可得到直线解析式。
(2) 求点$C$的坐标时，首先点$C$在直线$AB$上，坐标满足直线$AB$的解析式。计算$△ BOC$的面积时，$OB$在$y$轴上，长度为点$B$纵坐标的绝对值即2，由于点$C$在第一象限，$OB$边上的高就是点$C$的横坐标，先通过面积公式求出横坐标，再代入直线解析式就能求出纵坐标，得到点$C$的坐标。
【解析】
(1) 设直线AB的解析式为$y=kx+b(k≠0)$。
∵直线AB过点$A(1,0)$，$B(0,-2)$，
∴将两点坐标代入解析式得$\begin{cases}k+b=0,\\b=-2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2,\\b=-2,\end{cases}$
∴直线AB的解析式为$y=2x-2$。
(2) 设点C的坐标为$(x,y)$，
∵$S_{△ BOC}=2$，$OB$的长度为$|-2|=2$，点C在第一象限，$OB$边上的高为点C的横坐标$x$，
∴$\dfrac{1}{2}×2×x=2$，
解得$x=2$。
将$x=2$代入$y=2x-2$，得$y=2×2-2=2$。
∴点C的坐标是$(2,2)$。
【答案】
(1) $y=2x-2$
(2) $(2,2)$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数点的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，主要考查待定系数法的应用以及结合几何面积求点坐标的能力，解题核心是明确一次函数图象上的点均满足函数解析式，结合面积公式逐步推导即可求解，整体难度较低。
【难度系数】
0.75
(1) 求直线的解析式时，已知直线经过两个确定的点，可选用待定系数法求解：先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再将两个点的坐标代入解析式，得到关于$k$和$b$的二元一次方程组，解方程组求出参数值，即可得到直线解析式。
(2) 求点$C$的坐标时，首先点$C$在直线$AB$上，坐标满足直线$AB$的解析式。计算$△ BOC$的面积时，$OB$在$y$轴上，长度为点$B$纵坐标的绝对值即2，由于点$C$在第一象限，$OB$边上的高就是点$C$的横坐标，先通过面积公式求出横坐标，再代入直线解析式就能求出纵坐标，得到点$C$的坐标。
【解析】
(1) 设直线AB的解析式为$y=kx+b(k≠0)$。
∵直线AB过点$A(1,0)$，$B(0,-2)$，
∴将两点坐标代入解析式得$\begin{cases}k+b=0,\\b=-2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2,\\b=-2,\end{cases}$
∴直线AB的解析式为$y=2x-2$。
(2) 设点C的坐标为$(x,y)$，
∵$S_{△ BOC}=2$，$OB$的长度为$|-2|=2$，点C在第一象限，$OB$边上的高为点C的横坐标$x$，
∴$\dfrac{1}{2}×2×x=2$，
解得$x=2$。
将$x=2$代入$y=2x-2$，得$y=2×2-2=2$。
∴点C的坐标是$(2,2)$。
【答案】
(1) $y=2x-2$
(2) $(2,2)$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数点的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，主要考查待定系数法的应用以及结合几何面积求点坐标的能力，解题核心是明确一次函数图象上的点均满足函数解析式，结合面积公式逐步推导即可求解，整体难度较低。
【难度系数】
0.75
