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14.如图(1)所示,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC,CD,DA运动至点A停止,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图(2)所示,那么矩形ABCD的周长是 (
A.18
B.20
C.26
D.36
A
)A.18
B.20
C.26
D.36
答案
14.A
解析
【分析】
解题时需结合动点运动路径和函数图像的变化规律推导矩形边长：①动点P在BC上运动时，△ABP的底AB固定，高随P的运动逐渐增大，面积y随x增大而上升，对应图2中0~4的上升段，由此可知x=4时P到达C点，即BC=4；②P在CD上运动时，△ABP的高始终等于BC，面积保持不变，对应图2中4~9的水平段，因此CD的长度为9-4=5；③最后根据矩形周长公式计算即可。
【解析】
解：结合动点运动过程与函数图像分析：
1. 当点P在BC上运动时，△ABP面积随路程x增大而增大，当x=4时面积停止增长，说明此时P到达点C，因此BC=4；
2. 当点P在CD上运动时，△ABP的高等于BC的长度，面积保持不变，对应x=4到x=9的运动过程，因此CD=9-4=5；
3. 矩形ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=4，根据矩形周长公式：
周长=2×(长+宽)=2×(5+4)=18。
【答案】
A
【知识点】
动点函数图像，矩形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于动点与函数图像结合的基础题型，核心是将函数图像的分段变化和动点的不同运动阶段一一对应，进而求出矩形的边长，重点考查图文转换和分析推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时需结合动点运动路径和函数图像的变化规律推导矩形边长：①动点P在BC上运动时，△ABP的底AB固定，高随P的运动逐渐增大，面积y随x增大而上升，对应图2中0~4的上升段，由此可知x=4时P到达C点，即BC=4；②P在CD上运动时，△ABP的高始终等于BC，面积保持不变，对应图2中4~9的水平段，因此CD的长度为9-4=5；③最后根据矩形周长公式计算即可。
【解析】
解：结合动点运动过程与函数图像分析：
1. 当点P在BC上运动时，△ABP面积随路程x增大而增大，当x=4时面积停止增长，说明此时P到达点C，因此BC=4；
2. 当点P在CD上运动时，△ABP的高等于BC的长度，面积保持不变，对应x=4到x=9的运动过程，因此CD=9-4=5；
3. 矩形ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=4，根据矩形周长公式：
周长=2×(长+宽)=2×(5+4)=18。
【答案】
A
【知识点】
动点函数图像，矩形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于动点与函数图像结合的基础题型，核心是将函数图像的分段变化和动点的不同运动阶段一一对应，进而求出矩形的边长，重点考查图文转换和分析推理能力。
【难度系数】
0.7
15.如图所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在边BC上的点F处，已知AB=CD=16，BC=AD=20，则EF的长是（
A.8
B.12
C.14
D.10
D
）A.8
B.12
C.14
D.10
答案
15.D
解析
【分析】
这是矩形折叠类几何题，解题核心是利用折叠的性质（折叠前后对应边相等、对应角相等），结合矩形性质和勾股定理求解：第一步先根据折叠得到AF=AD，在Rt△ABF中用勾股定理算出BF的长度，进而得到FC的长度；第二步设EF的长为未知数，用含未知数的式子表示EC的长，最后在Rt△EFC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
由折叠的性质可得：AF=AD=20，EF=DE，∠AFE=∠D=90°，
在Rt△ABF中，AB=16，AF=20，根据勾股定理：
$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{144}=12$，
∴$FC=BC-BF=20-12=8$，
设$EF=x$，则$DE=x$，$EC=CD-DE=16-x$，
在Rt△EFC中，根据勾股定理得$EC^2+FC^2=EF^2$，
代入得：$(16-x)^2+8^2=x^2$，
展开化简得：$256-32x+x^2+64=x^2$，
解得$x=10$，即EF的长为10。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何的常见题型，重点考查折叠性质与勾股定理的结合应用，解题关键是找到折叠后相等的边，将未知量转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解。
【难度系数】
0.7
这是矩形折叠类几何题，解题核心是利用折叠的性质（折叠前后对应边相等、对应角相等），结合矩形性质和勾股定理求解：第一步先根据折叠得到AF=AD，在Rt△ABF中用勾股定理算出BF的长度，进而得到FC的长度；第二步设EF的长为未知数，用含未知数的式子表示EC的长，最后在Rt△EFC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
由折叠的性质可得：AF=AD=20，EF=DE，∠AFE=∠D=90°，
在Rt△ABF中，AB=16，AF=20，根据勾股定理：
$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{144}=12$，
∴$FC=BC-BF=20-12=8$，
设$EF=x$，则$DE=x$，$EC=CD-DE=16-x$，
在Rt△EFC中，根据勾股定理得$EC^2+FC^2=EF^2$，
代入得：$(16-x)^2+8^2=x^2$，
展开化简得：$256-32x+x^2+64=x^2$，
解得$x=10$，即EF的长为10。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何的常见题型，重点考查折叠性质与勾股定理的结合应用，解题关键是找到折叠后相等的边，将未知量转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解。
【难度系数】
0.7
16.汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影，近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服＋景区”已然成为当下年轻人的创新玩法.某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件(2种服装都要)，其进价与售价如下表所示：
| 价格类型 | 进价/(元/件) | 售价/(元/件) |
| --- | --- | --- |
| 甲 |
| 100 |
| 乙 | 100 | 200 |
设甲汉服的数量为x件，销售完甲、乙两种汉服的利润为y元.
(1)求y与x之间的函数关系式，写出自变量的取值范围.
(2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，当甲汉服购进多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？最大利润是多少？
| 价格类型 | 进价/(元/件) | 售价/(元/件) |
| --- | --- | --- |
| 甲 |
| 100 || 乙 | 100 | 200 |
设甲汉服的数量为x件，销售完甲、乙两种汉服的利润为y元.
(1)求y与x之间的函数关系式，写出自变量的取值范围.
(2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，当甲汉服购进多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？最大利润是多少？
答案
16.解:(1)由题意,得y=(100-80)x+(200-100)·(120-x)=-80x+12 000,
∴y与x之间的函数关系式为y=-80x+12 000(0＜x＜120).
(2)
∵乙汉服的数量不能超过甲汉服的数量的2倍，
∴120-x≤2x,解得x≥40.
∴40≤x＜120.
由(1)知,y=-80x+12 000,
∵-80＜0,
∴y随x的增大而减小.
∴当x=40时,y取最大值,
$y_{最大}=-80×40+12 000=8 800$.
答:当甲汉服购进40件时,该店在销售完这两种汉服获利最多,最大利润为8 800元.
∴y与x之间的函数关系式为y=-80x+12 000(0＜x＜120).
(2)
∵乙汉服的数量不能超过甲汉服的数量的2倍，
∴120-x≤2x,解得x≥40.
∴40≤x＜120.
由(1)知,y=-80x+12 000,
∵-80＜0,
∴y随x的增大而减小.
∴当x=40时,y取最大值,
$y_{最大}=-80×40+12 000=8 800$.
答:当甲汉服购进40件时,该店在销售完这两种汉服获利最多,最大利润为8 800元.
解析
【分析】
(1) 求解函数关系式时，总利润等于甲、乙两种汉服的利润之和：先分别算出甲、乙每件汉服的利润，再乘各自的销售数量，相加即可得到总利润y的表达式；自变量x是甲汉服的数量，由于两种汉服都要购进，因此x需满足大于0且小于总数量120。
(2) 先根据“乙汉服数量不超过甲汉服数量的2倍”的限制条件列不等式，解出x的取值范围；再结合一次函数的增减性判断利润最大时x的取值：当一次项系数为负时，y随x的增大而减小，因此x取取值范围内的最小值时，总利润最大，代入函数式即可计算出最大利润。
【解析】
(1) 由题意得，每件甲汉服利润为(100-80)元，每件乙汉服利润为(200-100)元，甲汉服共x件，乙汉服共(120-x)件，因此总利润：
$\begin{aligned}y&=(100-80)x+(200-100)(120-x)\\&=20x+12000-100x\\&=-80x+12000\end{aligned}$
因为两种汉服都需购进，所以$x＞0$且$120-x＞0$，即$0＜x＜120$。
故$y$与$x$的函数关系式为$y=-80x+12000$（$0＜x＜120$）。
(2) 根据乙汉服数量的限制列不等式：
$120-x≤2x$
移项解得$x≥40$，结合自变量范围得$40≤ x＜120$。
在$y=-80x+12000$中，$k=-80＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小，当$x$取最小值40时，$y$取得最大值：
$y_{\mathrm{最大}}=-80×40+12000=8800$
答：当甲汉服购进40件时，该店销售完两种汉服获利最多，最大利润为8800元。
【答案】
(1) $y=-80x+12000（0＜x＜120）$
(2) 购进甲汉服40件时获利最多，最大利润为8800元
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质
【点评】
本题是生活情境类的综合应用题，将利润计算、一次函数、一元一次不等式结合考察，解题核心是先找准等量关系列函数式，再根据限制条件确定自变量范围，最后结合一次函数增减性求最值，能够锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解函数关系式时，总利润等于甲、乙两种汉服的利润之和：先分别算出甲、乙每件汉服的利润，再乘各自的销售数量，相加即可得到总利润y的表达式；自变量x是甲汉服的数量，由于两种汉服都要购进，因此x需满足大于0且小于总数量120。
(2) 先根据“乙汉服数量不超过甲汉服数量的2倍”的限制条件列不等式，解出x的取值范围；再结合一次函数的增减性判断利润最大时x的取值：当一次项系数为负时，y随x的增大而减小，因此x取取值范围内的最小值时，总利润最大，代入函数式即可计算出最大利润。
【解析】
(1) 由题意得，每件甲汉服利润为(100-80)元，每件乙汉服利润为(200-100)元，甲汉服共x件，乙汉服共(120-x)件，因此总利润：
$\begin{aligned}y&=(100-80)x+(200-100)(120-x)\\&=20x+12000-100x\\&=-80x+12000\end{aligned}$
因为两种汉服都需购进，所以$x＞0$且$120-x＞0$，即$0＜x＜120$。
故$y$与$x$的函数关系式为$y=-80x+12000$（$0＜x＜120$）。
(2) 根据乙汉服数量的限制列不等式：
$120-x≤2x$
移项解得$x≥40$，结合自变量范围得$40≤ x＜120$。
在$y=-80x+12000$中，$k=-80＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小，当$x$取最小值40时，$y$取得最大值：
$y_{\mathrm{最大}}=-80×40+12000=8800$
答：当甲汉服购进40件时，该店销售完两种汉服获利最多，最大利润为8800元。
【答案】
(1) $y=-80x+12000（0＜x＜120）$
(2) 购进甲汉服40件时获利最多，最大利润为8800元
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质
【点评】
本题是生活情境类的综合应用题，将利润计算、一次函数、一元一次不等式结合考察，解题核心是先找准等量关系列函数式，再根据限制条件确定自变量范围，最后结合一次函数增减性求最值，能够锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
