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1. 在中国古代文化中,玉璧寓意宇宙的广阔与秩序,也经常被视为君子修身齐家的象征.如图是某玉璧的平面示意图,由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2,则图中阴影部分的面积是（
A.$π$
B.$2π$
C.$3π$
D.$4π$
D
）A.$π$
B.$2π$
C.$3π$
D.$4π$
答案
1. D 提示:如图,连接AB,DC,相交于点O.因为正方形的内切圆的半径是2,所以AC=BC=4,所以$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$,所以$OA=OB=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{2}$,所以图中阴影部分的面积是$π×(2\sqrt{2})^2-π×2^2=4π$.
解析
【分析】
要计算阴影部分（圆环）的面积，需利用圆环面积公式$S=π R^2 - π r^2$（$R$为外圆半径，$r$为内圆半径）。已知内圆是正方形的内切圆，半径$r=2$，需先通过正方形与内切圆的关系求出正方形边长，再结合正方形与外接圆的关系求出外圆半径$R$，最后代入公式计算阴影面积。
【解析】
1. 求正方形边长：因为内切圆半径是正方形边长的一半，已知内切圆半径$r=2$，所以正方形边长$a=2r=2×2=4$。
2. 求外圆半径：正方形的外接圆半径等于正方形对角线长度的一半，正方形对角线长度为$\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，因此外圆半径$R=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
3. 计算阴影面积：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=π R^2 - π r^2\\&=π×(2\sqrt{2})^2 - π×2^2\\&=8π - 4π\\&=4π\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
圆的面积、正方形与圆的关系、圆环面积
【点评】
本题结合正方形的内切圆与外接圆，考查圆环面积的计算，核心是利用正方形边长与内切圆半径、对角线与外接圆半径的转换关系，属于基础几何应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
要计算阴影部分（圆环）的面积，需利用圆环面积公式$S=π R^2 - π r^2$（$R$为外圆半径，$r$为内圆半径）。已知内圆是正方形的内切圆，半径$r=2$，需先通过正方形与内切圆的关系求出正方形边长，再结合正方形与外接圆的关系求出外圆半径$R$，最后代入公式计算阴影面积。
【解析】
1. 求正方形边长：因为内切圆半径是正方形边长的一半，已知内切圆半径$r=2$，所以正方形边长$a=2r=2×2=4$。
2. 求外圆半径：正方形的外接圆半径等于正方形对角线长度的一半，正方形对角线长度为$\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，因此外圆半径$R=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
3. 计算阴影面积：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=π R^2 - π r^2\\&=π×(2\sqrt{2})^2 - π×2^2\\&=8π - 4π\\&=4π\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
圆的面积、正方形与圆的关系、圆环面积
【点评】
本题结合正方形的内切圆与外接圆，考查圆环面积的计算，核心是利用正方形边长与内切圆半径、对角线与外接圆半径的转换关系，属于基础几何应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
2. 北京2022年冬奥会奖牌由圆环加同心圆构成牌体,形象来源于中国古代同心圆玉璧.如图所示的同心圆$\odot O$中,半径$OA$,$OB$交小圆于$D,C$两点,$OA=3$,$OD=2$,则扇形$ODC$的面积与扇环$ABCD$的面积比是
4:5
.答案
2. $4:5$ 提示:设$∠AOB=n°$,因为$OA=3$,$OD=2$,所以$S_{扇形AOB}=\frac{nπ×3^2}{360}=\frac{nπ}{40}$,$S_{扇形COD}=\frac{nπ×2^2}{360}=\frac{nπ}{90}$,所以扇环ABCD的面积为$\frac{nπ}{40}-\frac{nπ}{90}=\frac{5nπ}{360}$,所以扇形ODC的面积与扇环ABCD的面积比为$4:5$.
解析
【分析】
要计算扇形ODC与扇环ABCD的面积比，需利用扇形面积公式：扇形面积=$\frac{nπr^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径）。由于扇形ODC和扇形AOB的圆心角相同，设该圆心角为$n°$，分别计算两个扇形的面积，再通过“扇环面积=大扇形面积-小扇形面积”求出扇环ABCD的面积，最后计算两者的比值即可。
【解析】
设$∠ AOB = n°$，根据扇形面积公式：
1. 扇形ODC的面积：$S_{扇形ODC}=\frac{nπ· OD^2}{360}=\frac{nπ· 2^2}{360}=\frac{4nπ}{360}$；
2. 扇形AOB的面积：$S_{扇形AOB}=\frac{nπ· OA^2}{360}=\frac{nπ· 3^2}{360}=\frac{9nπ}{360}$；
3. 扇环ABCD的面积：$S_{扇环ABCD}=S_{扇形AOB}-S_{扇形ODC}=\frac{9nπ}{360}-\frac{4nπ}{360}=\frac{5nπ}{360}$；
因此，扇形ODC的面积与扇环ABCD的面积比为：$\frac{4nπ}{360}:\frac{5nπ}{360}=4:5$。
【答案】
$4:5$
【知识点】
扇形面积计算、扇环面积
【点评】
本题考查扇形面积公式的应用，通过设公共圆心角为参数简化计算，思路清晰，属于基础题型，重点是掌握扇形面积公式的运用。
【难度系数】
0.3
要计算扇形ODC与扇环ABCD的面积比，需利用扇形面积公式：扇形面积=$\frac{nπr^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径）。由于扇形ODC和扇形AOB的圆心角相同，设该圆心角为$n°$，分别计算两个扇形的面积，再通过“扇环面积=大扇形面积-小扇形面积”求出扇环ABCD的面积，最后计算两者的比值即可。
【解析】
设$∠ AOB = n°$，根据扇形面积公式：
1. 扇形ODC的面积：$S_{扇形ODC}=\frac{nπ· OD^2}{360}=\frac{nπ· 2^2}{360}=\frac{4nπ}{360}$；
2. 扇形AOB的面积：$S_{扇形AOB}=\frac{nπ· OA^2}{360}=\frac{nπ· 3^2}{360}=\frac{9nπ}{360}$；
3. 扇环ABCD的面积：$S_{扇环ABCD}=S_{扇形AOB}-S_{扇形ODC}=\frac{9nπ}{360}-\frac{4nπ}{360}=\frac{5nπ}{360}$；
因此，扇形ODC的面积与扇环ABCD的面积比为：$\frac{4nπ}{360}:\frac{5nπ}{360}=4:5$。
【答案】
$4:5$
【知识点】
扇形面积计算、扇环面积
【点评】
本题考查扇形面积公式的应用，通过设公共圆心角为参数简化计算，思路清晰，属于基础题型，重点是掌握扇形面积公式的运用。
【难度系数】
0.3
3. 两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到：玉璧、玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，谓之环.”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现来看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系.
（1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为
（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）.
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”的主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”.
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔.
（1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为
32:27
.（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）.
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”的主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”.
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔.
答案
3. 解:(1) $32:27$ 提示:璧的“肉”的面积为$π×(3^2-1^2)=8π$,环的“肉”的面积为$π×(3^2-1.5^2)=6.75π$,所以它们的面积之比为$8π:6.75π=32:27$.
(2) ①如图1所示.由作图可知,满足$1:2:1$的比例关系,符合“肉好若一”. 提示:如图1,在大圆上任取弦AB,AC,作AB,AC的垂直平分线,它们的交点即为该玉环的圆心O,过圆心O任画一条直径,在该直径上用圆规度量“肉”“好”是否满足“肉好若一”的比例关系即可.
②如图2所示. 提示:如图2,同①作出玉璧的圆心O,过圆心O画一条直径AB,过点A作一条射线,用圆规在该射线上依次截取AC=CD=DE,连接BE,以作等角的方法分别过点C,D作BE的平行线,交AB于点F,G,进而以FG为直径画圆,该圆即为内孔.
解析
【分析】
本题结合古代玉器的文化定义，核心是理解“肉”（圆环部分）和“好”（中间圆孔）的含义，第(1)问利用圆的面积公式计算两个玉器的“肉”面积并求比值；第(2)问需通过尺规作图确定圆心，再根据“肉好若一”“肉倍好”的比例关系完成判断和作图，需结合几何知识与题目定义解题。
【解析】
(1) 设两个玉器的大圆半径均为3，根据题意：
璧的“好”（内孔）半径为1，其“肉”面积为：$π × (3^2 - 1^2) = 8π$；
环的“好”（内孔）半径为1.5，其“肉”面积为：$π × (3^2 - 1.5^2) = 6.75π$；
因此，璧与环的“肉”面积之比为 $8π : 6.75π = 32:27$。
(2) ① 作图判断：在大圆上任取两条弦，分别作两条弦的垂直平分线，交点即为玉环的圆心O；过圆心O作一条直径，度量直径上“好”的半径与“肉”的宽度，可知比例为1:2:1，符合“肉好若一”的定义。
② 作图步骤：作玉坯大圆的圆心O，过O作直径AB；过点A作射线，在射线上依次截取AC=CD=DE；连接BE，分别过点C、D作BE的平行线，交AB于F、G；以FG为直径画圆，即为符合“肉倍好”的内孔。
【答案】
(1) $32:27$；(2) ① 该件玉器符合“肉好若一”；② 内孔作图见解析
【知识点】
圆的面积计算、尺规作图、比例关系
【点评】
本题将传统文化与数学几何知识结合，考查圆的面积计算和尺规作图能力，需准确理解古代玉器的比例定义，是一道兼具知识性与文化性的题目。
【难度系数】
0.5
本题结合古代玉器的文化定义，核心是理解“肉”（圆环部分）和“好”（中间圆孔）的含义，第(1)问利用圆的面积公式计算两个玉器的“肉”面积并求比值；第(2)问需通过尺规作图确定圆心，再根据“肉好若一”“肉倍好”的比例关系完成判断和作图，需结合几何知识与题目定义解题。
【解析】
(1) 设两个玉器的大圆半径均为3，根据题意：
璧的“好”（内孔）半径为1，其“肉”面积为：$π × (3^2 - 1^2) = 8π$；
环的“好”（内孔）半径为1.5，其“肉”面积为：$π × (3^2 - 1.5^2) = 6.75π$；
因此，璧与环的“肉”面积之比为 $8π : 6.75π = 32:27$。
(2) ① 作图判断：在大圆上任取两条弦，分别作两条弦的垂直平分线，交点即为玉环的圆心O；过圆心O作一条直径，度量直径上“好”的半径与“肉”的宽度，可知比例为1:2:1，符合“肉好若一”的定义。
② 作图步骤：作玉坯大圆的圆心O，过O作直径AB；过点A作射线，在射线上依次截取AC=CD=DE；连接BE，分别过点C、D作BE的平行线，交AB于F、G；以FG为直径画圆，即为符合“肉倍好”的内孔。
【答案】
(1) $32:27$；(2) ① 该件玉器符合“肉好若一”；② 内孔作图见解析
【知识点】
圆的面积计算、尺规作图、比例关系
【点评】
本题将传统文化与数学几何知识结合，考查圆的面积计算和尺规作图能力，需准确理解古代玉器的比例定义，是一道兼具知识性与文化性的题目。
【难度系数】
0.5
