12.【问题探究】
(1) 如图 1,在矩形 $ABCD$ 中,$AB=2AD$,
$P$ 为边 $CD$ 上的中点,试比较 $∠ APB$ 和 $∠ ADB$ 的大小关系,并说明理由.
(2) 如图 2,在正方形 $ABCD$ 中,$P$ 为边 $CD$ 上任意一点,则当点 $P$ 位于何处时,$∠ APB$ 最大? 并说明理由.
【问题解决】
(3) 某儿童游乐场的平面图如图 3 所示,场所工作人员想在边 $OD$ 上的点 $P$ 处安装监控装置,用来监控边 $OC$ 上的 $AB$ 段,为了让监控效果最佳,必须要求$∠ APB$ 最大. 已知 $∠ DOC=60°$,$OA=$$400\ \mathrm{m}$,$AB=200\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,则在边 $OD$ 上是否存在一点 $P$,使得 $∠ APB$ 最大?若存在,求出此时 $OP$ 的长和 $∠ APB$的度数;若不存在,请说明理由.

12. 解:(1) $∠ APB＞∠ ADB$. 理由如下:
如图 1,过点 P 作 $PH⊥ AB$ 于点 H. 因为四边形 ABCD 是矩形,$PH⊥ AB$,所以 $∠ ADP=∠ DAH=∠ AHP=90°$,所以四边形 ADPH 是矩形. 因为 $AB=CD=2AD$,$DP=PC$,所以 $DA=DP$,所以四边形 ADPH 是正方形,所以 $∠ APH=45°$. 同理可证 $∠ BPH=45°$,所以 $∠ APB=90°$. 因为 $∠ ADB＜90°$,所以 $∠ APB＞∠ ADB$.

(2) 当点 P 位于边 CD 的中点处时,$∠ APB$ 最大. 理由如下:
假设 P 为边 CD 的中点,如图 2,作 $△ APB$ 的外接圆 $\odot O$,易证此时 CD 切 $\odot O$ 于点 P. 在 CD 上取任意异于点 P 的点 E,连接 AE,与 $\odot O$ 交于点 F,连接 BE,BF. 因为 $∠ AFB$ 是 $△ EFB$ 的外角,所以 $∠ AFB＞∠ AEB$. 因为 $∠ AFB=∠ APB$,所以 $∠ APB＞∠ AEB$,故当点 P 位于边 CD 的中点处时,$∠ APB$ 最大.

(3) 如图 3,当经过点 A,B 的 $\odot T$ 与 OD 相切于点 P 时,$∠ APB$ 的值最大. 过点 T 作 $TH⊥ OC$ 于点 H,延长 HT,交 OD 于点 Q,连接 TA,TB,OT,TP. 设 $TP=TA=TB=r$,因为 $TA=TB$,$TH⊥ AB$,所以 $AH=HB=100\sqrt{3}\ \mathrm{m}$. 因为 $∠ OHQ=90°$,$∠ QOH=60°$,$OH=OA+AH=(400+100\sqrt{3})\mathrm{m}$,所以 $∠ OQH=30°$,$QH=\sqrt{3}OH=(400\sqrt{3}+300)\mathrm{m}$,所以 $TQ=2PT=2r$. 因为 $TH=\sqrt{AT^2-AH^2}=\sqrt{r^2-(100\sqrt{3})^2}$,所以 $2r+\sqrt{r^2-(100\sqrt{3})^2}=400\sqrt{3}+300$,即 $r^2-30\ 000=(400\sqrt{3}+300-2r)^2$,整理,得 $3r^2-(1\ 600\sqrt{3}+1\ 200)r+600\ 000+240\ 000\sqrt{3}=0$,所以 $(r-200\sqrt{3})·(3r-1\ 000\sqrt{3}-1\ 200)=0$,所以 $r_1=200\sqrt{3}$,$r_2=\frac{1\ 000\sqrt{3}}{3}+400$(舍去),所以 $AT=200\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,所以 $AT=2AH$,所以 $∠ ATH=30°$,$∠ ATB=2∠ ATH=60°$,所以 $∠ APB=\frac{1}{2}∠ ATB=30°$,所以 $OQ=2OH=(800+200\sqrt{3})\mathrm{m}$,$PQ=\sqrt{3}PT=\sqrt{3}×200\sqrt{3}=600(\mathrm{m})$,所以 $OP=OQ-PQ=800+200\sqrt{3}-600=(200+200\sqrt{3})\mathrm{m}$.

【分析】
本题为几何探究题，解题思路如下：
(1) 要比较∠APB和∠ADB的大小，通过作辅助线PH⊥AB，利用矩形性质和AB=2AD、P为CD中点的条件，证明四边形ADPH、BPH均为正方形，得出∠APB=90°，结合∠ADB为锐角即可比较；
(2) 对于正方形中P在CD上时∠APB最大的位置，利用圆周角定理：同弧所对圆周角，当圆与直线相切时对应圆周角最大，此时切点P为CD中点，通过构造外接圆结合外角性质证明；
(3) 要在OD上找P使∠APB最大，根据“同弦所对圆周角，圆与直线相切时圆周角最大”的模型，作过A、B且与OD相切的圆，切点即为P，设圆半径，结合直角三角形性质计算半径，进而求出OP长度和∠APB度数。
【解析】
(1) 如图1，过点P作PH⊥AB于点H。
∵四边形ABCD是矩形，PH⊥AB，
∴∠ADP=∠DAH=∠AHP=90°，四边形ADPH是矩形。
∵AB=CD=2AD，P为CD中点，
∴DP=PC=AD，故矩形ADPH是正方形，同理四边形BPHC也是正方形，
∴∠APH=45°，∠BPH=45°，
∴∠APB=∠APH+∠BPH=90°。
又∠ADB为锐角，即∠ADB＜90°，
∴∠APB＞∠ADB。
(2) 当点P位于边CD的中点处时，∠APB最大，理由如下：
假设P为CD中点，如图2，作△APB的外接圆⊙O，此时CD切⊙O于点P。
在CD上取异于P的点E，连接AE交⊙O于F，连接BE、BF。
∵∠AFB是△EFB的外角，
∴∠AFB＞∠AEB，
又∠AFB=∠APB（同弧AB所对圆周角），
∴∠APB＞∠AEB，故P为CD中点时∠APB最大。
(3) 存在这样的点P，如图3，当过A、B的⊙T与OD相切于P时，∠APB最大。
过T作TH⊥OC于H，延长HT交OD于Q，连接TA、TB、TP。
设TA=TB=TP=r，
∵TH⊥AB，TA=TB，
∴AH=HB=1/2 AB=100√3 m。
∵∠DOC=60°，∠OHQ=90°，
∴∠OQH=30°，OH=OA+AH=400+100√3 m，
∴QH=√3 OH=400√3 + 300 m，QT=2TP=2r。
在Rt△ATH中，TH=√(r² - (100√3)²)，
又QH=QT+TH，故400√3 + 300=2r + √(r² - 30000)，
整理得3r² - (1600√3 +1200)r + 600000 +240000√3=0，
解得r₁=200√3，r₂=(1000√3/3)+400（舍去）。
∴TA=200√3 m，Rt△ATH中TA=2AH，故∠ATH=30°，∠ATB=60°，
∴∠APB=1/2∠ATB=30°，
OQ=2OH=800+200√3 m，PQ=√3 TP=600 m，
∴OP=OQ-PQ=200+200√3 m。
【答案】
(1) ∠APB＞∠ADB；
(2) 当点P位于边CD的中点处时，∠APB最大；
(3) 存在，OP的长为(200+200√3)m，∠APB的度数为30°；



【知识点】
矩形性质、正方形性质、圆周角定理、切线性质
【点评】
本题是几何探究综合题，核心考查“同弦所对圆周角最大”的模型应用，结合矩形、正方形性质及解直角三角形知识，对几何辅助线构造和思维能力要求较高。
【难度系数】
0.4