17. 在平面直角坐标系中，有一点$P(2x-1, 3x)$.
(1)若点$P$在$y$轴上，求$x$的值；
(2)若点$P$在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点$P$的坐标.

17. (1)$x = \frac{1}{2}$
(2)$(3, 6)$

【分析】
(1) 要解决点P在y轴上求x的问题，首先回忆y轴上点的坐标特征：y轴上所有点的横坐标都为0，因此只需令点P的横坐标$2x-1=0$，解一元一次方程即可得到x的值。
(2) 首先回忆第一象限内点的坐标特征：第一象限的点横坐标、纵坐标均为正数；再明确点到坐标轴的距离的含义：点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，因为第一象限内坐标均为正，所以距离之和就是横、纵坐标的和，据此列方程求解x，再代入坐标表达式即可得到点P的坐标。
【解析】
(1)
∵ 点P在y轴上，y轴上的点横坐标为0
∴ $2x - 1 = 0$
解得：$x = \frac{1}{2}$
(2)
∵ 点P在第一象限
∴ 横坐标$2x-1＞0$，纵坐标$3x＞0$
∵ 点P到两坐标轴的距离之和为9，第一象限内横、纵坐标均为正，距离之和等于横纵坐标之和
∴ $(2x - 1) + 3x = 9$
合并同类项得：$5x - 1 = 9$
移项得：$5x = 10$
解得：$x = 2$
将$x=2$代入坐标表达式得：
横坐标：$2x - 1 = 2×2 - 1 = 3$
纵坐标：$3x = 3×2 = 6$
∴ 点P的坐标为$(3,6)$
【答案】
(1)$x = \frac{1}{2}$
(2)$(3, 6)$
【知识点】
1. 坐标轴上点的坐标特征
2. 象限内点的符号规律
3. 点到坐标轴的距离
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题，解题的核心是牢记不同位置点的坐标性质，以及点到坐标轴距离和坐标的对应关系，计算时结合象限坐标的符号特点可简化计算，避免因绝对值处理出错。
【难度系数】
0.8

18. 在平面直角坐标系$xOy$中，点$A(a, b)$，$B(c, d)$，若$c - a = d - b ≠ 0$，则称点$A$与点$B$互为“等差点”，例如：点$A(-1, 3)$，点$B(2, 6)$，$\because 2 - (-1) = 6 - 3 ≠ 0$，$\therefore$点$A$与点$B$互为“等差点”。
(1)若点$A$的坐标是$(4, -2)$，则在点$B_1(2, 0)$，$B_2(-1, -7)$，$B_3(0, -6)$中，点$A$的“等差点”为点；
(2)若点$A(5, -3)$的“等差点”$B$在坐标轴上，求点$B$的坐标；
(3)若点$A(-\sqrt{3}, 2m)$与点$B(2\sqrt{3}, -n)$互为“等差点”，且$m$，$n$互为相反数，求点$B$的坐标。

18. (1)$B_2$ 和 $B_3$
(2)$(8, 0)$或$(0, -8)$
(3)$B(2\sqrt{3},\ -3\sqrt{3})$

【分析】
本题是新定义类题目，解题核心是先准确理解“等差点”的定义：若两点横坐标的差等于纵坐标的差，且差值不为0，则两点互为等差点。解题思路如下：
(1) 分别计算各B点与A点的横坐标差、纵坐标差，对比是否相等且不为0即可判断；
(2) 点B在坐标轴上，需分B在x轴（纵坐标为0）、B在y轴（横坐标为0）两种情况，结合等差点定义列方程求解；
(3) 先根据等差点定义列等式，再结合m、n互为相反数（即n=-m）的关系代入计算，求出n的值即可得到B点坐标。
【解析】
(1) 已知点A坐标为$(4,-2)$：
对$B_1(2,0)$：横坐标差为$2-4=-2$，纵坐标差为$0-(-2)=2$，$-2≠2$，不是等差点；
对$B_2(-1,-7)$：横坐标差为$-1-4=-5$，纵坐标差为$-7-(-2)=-5$，差值相等且不为0，是等差点；
对$B_3(0,-6)$：横坐标差为$0-4=-4$，纵坐标差为$-6-(-2)=-4$，差值相等且不为0，是等差点。
故点A的等差点为$B_2$和$B_3$。
(2) 设点B为点A$(5,-3)$的等差点，分两种情况讨论：
① 当点B在x轴上时，设B坐标为$(x,0)$，根据等差点定义：
$x - 5 = 0 - (-3)$
解得$x=8$，即$B(8,0)$；
② 当点B在y轴上时，设B坐标为$(0,y)$，根据等差点定义：
$0 - 5 = y - (-3)$
解得$y=-8$，即$B(0,-8)$。
综上，点B的坐标为$(8,0)$或$(0,-8)$。
(3) 已知点$A(-\sqrt{3},2m)$与$B(2\sqrt{3},-n)$互为等差点，根据定义：
$2\sqrt{3} - (-\sqrt{3}) = -n - 2m$
化简得：$3\sqrt{3} = -n -2m$
又因为m、n互为相反数，所以$n=-m$，代入上式：
$3\sqrt{3} = -(-m) - 2m = m -2m = -m$
解得$m=-3\sqrt{3}$，则$n=-m=3\sqrt{3}$，所以B点纵坐标为$-n=-3\sqrt{3}$，横坐标为$2\sqrt{3}$，即$B(2\sqrt{3},-3\sqrt{3})$。
【答案】
(1)$B_2$ 和 $B_3$
(2)$(8, 0)$或$(0, -8)$
(3)$B(2\sqrt{3},\ -3\sqrt{3})$
【知识点】
新定义运算，平面直角坐标系点的坐标，相反数的性质
【点评】
本题属于新定义应用型题目，解题关键是准确理解“等差点”的定义，解决第(2)问时要注意分情况讨论坐标轴上的点，避免漏解，第(3)问要熟练运用相反数的关系代换计算。
【难度系数】
0.7