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1.在平面直角坐标系中,若点$P(a,b)$向右平移3个单位长度,恰好落在$y$轴上,则()
A.$a=3$
B.$a=-3$
C.$b=3$
D.$b=-3$
A.$a=3$
B.$a=-3$
C.$b=3$
D.$b=-3$
答案
B
解析
根据平面直角坐标系点的平移规律，点向右平移3个单位时，横坐标加3，纵坐标不变，因此平移后点的坐标为$(a+3, b)$。由y轴上的点的横坐标为0，可得$a+3=0$，解得$a=-3$。
2.两块完全相同的含$30°$角的直角三角尺$ABC$和$A'B'C'$重合在一起，将三角尺$A'B'C'$绕直角顶点$C$按逆时针方向旋转$α(0°＜α≤90°)$，如图所示。下列说法错误的是（）
A.当$α=30°$时，$A'C$与$AB$的交点恰好为$AB$的中点
B.当$α=60°$时，$A'B'$恰好经过点$B$
C.在旋转过程中，存在某一时刻，使$AA'=BB'$
D.在旋转过程中，始终存在$AA'⊥ BB'$
A.当$α=30°$时，$A'C$与$AB$的交点恰好为$AB$的中点
B.当$α=60°$时，$A'B'$恰好经过点$B$
C.在旋转过程中，存在某一时刻，使$AA'=BB'$
D.在旋转过程中，始终存在$AA'⊥ BB'$
答案
C
解析
由旋转性质可得：AC=A'C，BC=B'C，∠ACA'=∠BCB'=α，∠ACB=∠A'CB'=90°，两块三角尺为含30°的直角三角尺，故AC≠BC。
1. 验证A选项：α=30°时，∠ACA'=30°，可推得∠A=∠ACD=30°，∠DCB=∠B=60°，即AD=CD=BD，A'C与AB的交点为AB中点，A正确。
2. 验证B选项：α=60°时，B'C=BC，∠BCB'=60°，△B'CB为等边三角形，∠CB'B=60°=∠A'B'C，故A'B'恰好经过点B，B正确。
3. 验证C选项：等腰△ACA'中AA'=2AC·sin(α/2)，等腰△BCB'中BB'=2BC·sin(α/2)，因AC≠BC，且0°＜α≤90°，故AA'恒不等于BB'，不存在满足AA'=BB'的时刻，C错误。
4. 验证D选项：由∠CAA'=∠CBB'=(180°-α)/2，结合对顶角相等可推得AA'与BB'的夹角恒为90°，即AA'⊥BB'，D正确。
1. 验证A选项：α=30°时，∠ACA'=30°，可推得∠A=∠ACD=30°，∠DCB=∠B=60°，即AD=CD=BD，A'C与AB的交点为AB中点，A正确。
2. 验证B选项：α=60°时，B'C=BC，∠BCB'=60°，△B'CB为等边三角形，∠CB'B=60°=∠A'B'C，故A'B'恰好经过点B，B正确。
3. 验证C选项：等腰△ACA'中AA'=2AC·sin(α/2)，等腰△BCB'中BB'=2BC·sin(α/2)，因AC≠BC，且0°＜α≤90°，故AA'恒不等于BB'，不存在满足AA'=BB'的时刻，C错误。
4. 验证D选项：由∠CAA'=∠CBB'=(180°-α)/2，结合对顶角相等可推得AA'与BB'的夹角恒为90°，即AA'⊥BB'，D正确。
3. 如图,将$\mathrm{Rt}△ ABC$沿$CB$边向右平移,得到$△ DFE$。若$∠ ABC=90°$,$∠ A=30°$,$AB=8$,$B$恰为$EF$的中点,则平移的距离为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
解析
根据平移的性质可得：对应边相等，即$EF=BC$，平移的距离等于对应点连线的长度，即$CE=BF$。
已知$B$是$EF$的中点，因此$EF=2BF$，代入$EF=BC$可得$BC=2BF$，即$BF=\frac{1}{2}BC$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ A=30°$，$AB=8$，由直角三角形边角关系得：
$\tan A=\frac{BC}{AB}$，即$\tan30°=\frac{BC}{8}$，
解得$BC=8×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$。
因此平移距离$BF=\frac{1}{2}BC=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
已知$B$是$EF$的中点，因此$EF=2BF$，代入$EF=BC$可得$BC=2BF$，即$BF=\frac{1}{2}BC$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ A=30°$，$AB=8$，由直角三角形边角关系得：
$\tan A=\frac{BC}{AB}$，即$\tan30°=\frac{BC}{8}$，
解得$BC=8×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$。
因此平移距离$BF=\frac{1}{2}BC=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
4.如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(-3,1),B(-2,4),C(1,1),D(4,0)$。若线段$CD$绕点$P$旋转后能与线段$AB$重合,则点$P$的坐标为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
$(1,4)$或$(-1,-1)$
解析
旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点，分两种对应情况讨论：
1. 当点C的对应点为A，点D的对应点为B时：
线段AC的端点为$A(-3,1)$、$C(1,1)$，AC中点为$(-1,1)$，AC为水平线段，其垂直平分线为直线$x=-1$。
线段BD的端点为$B(-2,4)$、$D(4,0)$，BD中点为$(1,2)$，BD的斜率为$\frac{0-4}{4-(-2)}=-\frac{2}{3}$，故BD垂直平分线的斜率为$\frac{3}{2}$，其方程为$y-2=\frac{3}{2}(x-1)$。
将$x=-1$代入上述方程，解得$y=-1$，得到第一个旋转中心$P_1(-1,-1)$。
2. 当点C的对应点为B，点D的对应点为A时：
线段BC的端点为$B(-2,4)$、$C(1,1)$，BC中点为$(-\frac{1}{2},\frac{5}{2})$，BC的斜率为$\frac{1-4}{1-(-2)}=-1$，故BC垂直平分线的斜率为1，其方程为$y-\frac{5}{2}=x+\frac{1}{2}$，化简得$y=x+3$。
线段AD的端点为$A(-3,1)$、$D(4,0)$，AD中点为$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，AD的斜率为$\frac{0-1}{4-(-3)}=-\frac{1}{7}$，故AD垂直平分线的斜率为7，其方程为$y-\frac{1}{2}=7(x-\frac{1}{2})$，化简得$y=7x-3$。
联立两个垂直平分线方程$\begin{cases}y=x+3\\y=7x-3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1\\y=4\end{cases}$，得到第二个旋转中心$P_2(1,4)$。
综上，满足条件的点P的坐标为$(1,4)$或$(-1,-1)$。
1. 当点C的对应点为A，点D的对应点为B时：
线段AC的端点为$A(-3,1)$、$C(1,1)$，AC中点为$(-1,1)$，AC为水平线段，其垂直平分线为直线$x=-1$。
线段BD的端点为$B(-2,4)$、$D(4,0)$，BD中点为$(1,2)$，BD的斜率为$\frac{0-4}{4-(-2)}=-\frac{2}{3}$，故BD垂直平分线的斜率为$\frac{3}{2}$，其方程为$y-2=\frac{3}{2}(x-1)$。
将$x=-1$代入上述方程，解得$y=-1$，得到第一个旋转中心$P_1(-1,-1)$。
2. 当点C的对应点为B，点D的对应点为A时：
线段BC的端点为$B(-2,4)$、$C(1,1)$，BC中点为$(-\frac{1}{2},\frac{5}{2})$，BC的斜率为$\frac{1-4}{1-(-2)}=-1$，故BC垂直平分线的斜率为1，其方程为$y-\frac{5}{2}=x+\frac{1}{2}$，化简得$y=x+3$。
线段AD的端点为$A(-3,1)$、$D(4,0)$，AD中点为$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，AD的斜率为$\frac{0-1}{4-(-3)}=-\frac{1}{7}$，故AD垂直平分线的斜率为7，其方程为$y-\frac{1}{2}=7(x-\frac{1}{2})$，化简得$y=7x-3$。
联立两个垂直平分线方程$\begin{cases}y=x+3\\y=7x-3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1\\y=4\end{cases}$，得到第二个旋转中心$P_2(1,4)$。
综上，满足条件的点P的坐标为$(1,4)$或$(-1,-1)$。
5. 如图,在$8×8$的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,$△ ABC$的顶点都在格点上。将$△ ABC$先向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到$△ A_1B_1C_1$。
(1)请在图中画出平移后的$△ A_1B_1C_1$。
(2)若$△ A_1B_2C_2$与$△ A_1B_1C_1$关于点$A_1$成中心对称,请在图中画出$△ A_1B_2C_2$。
(3)若在格点上存在点$P$(与点$A$不重合),使$S_{△ PBC}=S_{△ ABC}$,则这样的点$P$一共有________个。
(1)请在图中画出平移后的$△ A_1B_1C_1$。
(2)若$△ A_1B_2C_2$与$△ A_1B_1C_1$关于点$A_1$成中心对称,请在图中画出$△ A_1B_2C_2$。
(3)若在格点上存在点$P$(与点$A$不重合),使$S_{△ PBC}=S_{△ ABC}$,则这样的点$P$一共有________个。
答案
(3) $\boldsymbol{4}$
解析
(1) 平移作图：按照平移规则，将顶点A、B、C分别向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应点$A_1$、$B_1$、$C_1$，顺次连接三个对应点，即可得到平移后的$△ A_1B_1C_1$。
(2) 中心对称作图：根据中心对称的性质，对称中心$A_1$是对应点连线的中点，分别延长$A_1B_1$到$B_2$，使$A_1B_2 = A_1B_1$，延长$A_1C_1$到$C_2$，使$A_1C_2 = A_1C_1$，顺次连接$A_1$、$B_2$、$C_2$，即可得到符合要求的$△ A_1B_2C_2$。
(3) 先用割补法计算得$△ ABC$的面积为5，根据同底等高的三角形面积相等的性质，过点A作BC的平行线，该直线上除A外的格点均满足$S_{△ PBC}=S_{△ ABC}$，再在BC的另一侧作与BC平行、且到BC的距离等于上述平行线到BC距离的直线，统计两条直线上符合条件的格点（排除点A），可得满足条件的点P共4个。
(2) 中心对称作图：根据中心对称的性质，对称中心$A_1$是对应点连线的中点，分别延长$A_1B_1$到$B_2$，使$A_1B_2 = A_1B_1$，延长$A_1C_1$到$C_2$，使$A_1C_2 = A_1C_1$，顺次连接$A_1$、$B_2$、$C_2$，即可得到符合要求的$△ A_1B_2C_2$。
(3) 先用割补法计算得$△ ABC$的面积为5，根据同底等高的三角形面积相等的性质，过点A作BC的平行线，该直线上除A外的格点均满足$S_{△ PBC}=S_{△ ABC}$，再在BC的另一侧作与BC平行、且到BC的距离等于上述平行线到BC距离的直线，统计两条直线上符合条件的格点（排除点A），可得满足条件的点P共4个。
