登录
6. 有若干张如图所示的 A 类、B 类正方形卡片和 C 类长方形卡片，若要拼成一个长为$3a + b$、宽为$a + 2b$的大长方形，则需要 C 类卡片
7
张。答案
6. 7
解析
大长方形面积为$(3a + b)(a + 2b) = 3a^2 + 7ab + 2b^2$，C类卡片面积为$ab$，故需要C类卡片7张。
7. 解方程：$(x - 3)(x + 2) = x^{2} - 16$。
答案
7. $x=10$
解析
解：$(x - 3)(x + 2) = x^{2} - 16$
$x^{2} + 2x - 3x - 6 = x^{2} - 16$
$-x - 6 = -16$
$-x = -10$
$x = 10$
$x^{2} + 2x - 3x - 6 = x^{2} - 16$
$-x - 6 = -16$
$-x = -10$
$x = 10$
8. 计算：
(1) $(3a + 5b)(-3a - 8b)$；
(2) $(3x - 2)(2x + 3)(x - 2)$；
(3) $(a - 1)(a^{2} + a + 1)$；
(4) $(2x - 1)(x - 3) - 2(3x - 2)(x - 3)$。
(1) $(3a + 5b)(-3a - 8b)$；
(2) $(3x - 2)(2x + 3)(x - 2)$；
(3) $(a - 1)(a^{2} + a + 1)$；
(4) $(2x - 1)(x - 3) - 2(3x - 2)(x - 3)$。
答案
8. 解:(1)原式$=-9a^{2}-24ab-15ab-40b^{2}$
$=-9a^{2}-39ab-40b^{2}$。
(2)原式$=(6x^{2}+9x-4x-6)(x-2)$
$=(6x^{2}+5x-6)(x-2)$
$=6x^{3}+5x^{2}-6x-12x^{2}-10x+12$
$=6x^{3}-7x^{2}-16x+12$。
(3)原式$=a· a^{2}+a· a+a· 1-a^{2}-a-1$
$=a^{3}-1$。
(4)原式$=(2x^{2}-6x-x+3)-2(3x^{2}-9x-2x+6)$
$=2x^{2}-7x+3-6x^{2}+22x-12$
$=-4x^{2}+15x-9$。
$=-9a^{2}-39ab-40b^{2}$。
(2)原式$=(6x^{2}+9x-4x-6)(x-2)$
$=(6x^{2}+5x-6)(x-2)$
$=6x^{3}+5x^{2}-6x-12x^{2}-10x+12$
$=6x^{3}-7x^{2}-16x+12$。
(3)原式$=a· a^{2}+a· a+a· 1-a^{2}-a-1$
$=a^{3}-1$。
(4)原式$=(2x^{2}-6x-x+3)-2(3x^{2}-9x-2x+6)$
$=2x^{2}-7x+3-6x^{2}+22x-12$
$=-4x^{2}+15x-9$。
解析
【分析】本题考查整式的乘法运算，核心是运用多项式乘多项式的法则计算：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项。其中第(4)题需注意展开时的符号处理，避免计算错误。
【解析】
(1) 原式$=3a·(-3a) + 3a·(-8b) + 5b·(-3a) + 5b·(-8b)$
$=-9a^{2}-24ab-15ab-40b^{2}$
$=-9a^{2}-39ab-40b^{2}$。
(2) 原式$=(3x·2x + 3x·3 - 2·2x - 2·3)(x - 2)$
$=(6x^{2}+9x-4x-6)(x-2)$
$=(6x^{2}+5x-6)(x-2)$
$=6x^{2}·x + 6x^{2}·(-2) + 5x·x + 5x·(-2) -6·x -6·(-2)$
$=6x^{3}-12x^{2}+5x^{2}-10x-6x+12$
$=6x^{3}-7x^{2}-16x+12$。
(3) 原式$=a·a^{2} + a·a + a·1 -1·a^{2} -1·a -1·1$
$=a^{3}+a^{2}+a -a^{2}-a -1$
$=a^{3}-1$。
(4) 原式$=(2x·x +2x·(-3) -1·x -1·(-3)) -2·(3x·x +3x·(-3) -2·x -2·(-3))$
$=(2x^{2}-6x-x+3)-2(3x^{2}-9x-2x+6)$
$=2x^{2}-7x+3-6x^{2}+22x-12$
$=-4x^{2}+15x-9$。
【答案】8. 解:(1)原式$=-9a^{2}-24ab-15ab-40b^{2}$
$=-9a^{2}-39ab-40b^{2}$。
(2)原式$=(6x^{2}+9x-4x-6)(x-2)$
$=(6x^{2}+5x-6)(x-2)$
$=6x^{3}+5x^{2}-6x-12x^{2}-10x+12$
$=6x^{3}-7x^{2}-16x+12$。
(3)原式$=a· a^{2}+a· a+a· 1-a^{2}-a-1$
$=a^{3}-1$。
(4)原式$=(2x^{2}-6x-x+3)-2(3x^{2}-9x-2x+6)$
$=2x^{2}-7x+3-6x^{2}+22x-12$
$=-4x^{2}+15x-9$。
【知识点】多项式乘多项式、合并同类项
【点评】本题为整式乘法的基础运算题，重点考查多项式乘多项式的运算法则及同类项的合并，运算时需注意符号的处理，是初中代数的核心基础内容，适合巩固运算能力。
【难度系数】0.7
【解析】
(1) 原式$=3a·(-3a) + 3a·(-8b) + 5b·(-3a) + 5b·(-8b)$
$=-9a^{2}-24ab-15ab-40b^{2}$
$=-9a^{2}-39ab-40b^{2}$。
(2) 原式$=(3x·2x + 3x·3 - 2·2x - 2·3)(x - 2)$
$=(6x^{2}+9x-4x-6)(x-2)$
$=(6x^{2}+5x-6)(x-2)$
$=6x^{2}·x + 6x^{2}·(-2) + 5x·x + 5x·(-2) -6·x -6·(-2)$
$=6x^{3}-12x^{2}+5x^{2}-10x-6x+12$
$=6x^{3}-7x^{2}-16x+12$。
(3) 原式$=a·a^{2} + a·a + a·1 -1·a^{2} -1·a -1·1$
$=a^{3}+a^{2}+a -a^{2}-a -1$
$=a^{3}-1$。
(4) 原式$=(2x·x +2x·(-3) -1·x -1·(-3)) -2·(3x·x +3x·(-3) -2·x -2·(-3))$
$=(2x^{2}-6x-x+3)-2(3x^{2}-9x-2x+6)$
$=2x^{2}-7x+3-6x^{2}+22x-12$
$=-4x^{2}+15x-9$。
【答案】8. 解:(1)原式$=-9a^{2}-24ab-15ab-40b^{2}$
$=-9a^{2}-39ab-40b^{2}$。
(2)原式$=(6x^{2}+9x-4x-6)(x-2)$
$=(6x^{2}+5x-6)(x-2)$
$=6x^{3}+5x^{2}-6x-12x^{2}-10x+12$
$=6x^{3}-7x^{2}-16x+12$。
(3)原式$=a· a^{2}+a· a+a· 1-a^{2}-a-1$
$=a^{3}-1$。
(4)原式$=(2x^{2}-6x-x+3)-2(3x^{2}-9x-2x+6)$
$=2x^{2}-7x+3-6x^{2}+22x-12$
$=-4x^{2}+15x-9$。
【知识点】多项式乘多项式、合并同类项
【点评】本题为整式乘法的基础运算题，重点考查多项式乘多项式的运算法则及同类项的合并，运算时需注意符号的处理，是初中代数的核心基础内容，适合巩固运算能力。
【难度系数】0.7
9. 如图，将一块长方形铁皮剪去一个小正方形。
(1) 用含$a$，$b$的代数式表示阴影部分的面积；
(2) 当$a = 6$，$b = 2$时，求阴影部分的面积。
(1) 用含$a$，$b$的代数式表示阴影部分的面积；
(2) 当$a = 6$，$b = 2$时，求阴影部分的面积。
答案
9. 解:(1)阴影部分的面积为
$S_{阴影}=(a+b)(2a+b)-a^{2}$
$=2a^{2}+ab+2ab+b^{2}-a^{2}$
$=a^{2}+3ab+b^{2}$。
(2)当$a=6,b=2$时,
$S_{阴影}=6^{2}+3×6×2+2^{2}=36+36+4=76$。
$S_{阴影}=(a+b)(2a+b)-a^{2}$
$=2a^{2}+ab+2ab+b^{2}-a^{2}$
$=a^{2}+3ab+b^{2}$。
(2)当$a=6,b=2$时,
$S_{阴影}=6^{2}+3×6×2+2^{2}=36+36+4=76$。
解析
【分析】
要计算阴影部分的面积，采用“整体减空白”的思路：阴影部分是大长方形减去中间空白小正方形的区域。先确定大长方形的长为$(2a+b)$、宽为$(a+b)$，计算其面积；再确定空白小正方形的边长为$a$，计算其面积；最后用大长方形面积减去小正方形面积，化简得到代数式，再代入$a$、$b$的具体值计算结果。
【解析】
(1) 阴影部分面积 = 大长方形面积 - 空白小正方形面积
大长方形面积：$(2a+b)(a+b)=2a^2 + 2ab + ab + b^2=2a^2 + 3ab + b^2$
空白小正方形面积：$a^2$
因此阴影部分面积：$2a^2 + 3ab + b^2 - a^2=a^2 + 3ab + b^2$
(2) 当$a=6$，$b=2$时，代入代数式：
$S_{阴影}=6^2 + 3×6×2 + 2^2=36 + 36 + 4=76$
【答案】
(1) 阴影部分面积为$a^2 + 3ab + b^2$；(2) 当$a=6$，$b=2$时，阴影部分面积为76。
【知识点】
整式的乘法、代数式求值、几何面积计算
【点评】
本题考查整式运算在几何面积中的应用，核心方法是“整体减空白”求不规则图形面积，需掌握多项式乘多项式的展开法则，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要计算阴影部分的面积，采用“整体减空白”的思路：阴影部分是大长方形减去中间空白小正方形的区域。先确定大长方形的长为$(2a+b)$、宽为$(a+b)$，计算其面积；再确定空白小正方形的边长为$a$，计算其面积；最后用大长方形面积减去小正方形面积，化简得到代数式，再代入$a$、$b$的具体值计算结果。
【解析】
(1) 阴影部分面积 = 大长方形面积 - 空白小正方形面积
大长方形面积：$(2a+b)(a+b)=2a^2 + 2ab + ab + b^2=2a^2 + 3ab + b^2$
空白小正方形面积：$a^2$
因此阴影部分面积：$2a^2 + 3ab + b^2 - a^2=a^2 + 3ab + b^2$
(2) 当$a=6$，$b=2$时，代入代数式：
$S_{阴影}=6^2 + 3×6×2 + 2^2=36 + 36 + 4=76$
【答案】
(1) 阴影部分面积为$a^2 + 3ab + b^2$；(2) 当$a=6$，$b=2$时，阴影部分面积为76。
【知识点】
整式的乘法、代数式求值、几何面积计算
【点评】
本题考查整式运算在几何面积中的应用，核心方法是“整体减空白”求不规则图形面积，需掌握多项式乘多项式的展开法则，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
10. 已知$ab = a + b + 1$，求$(a - 1)(b - 1)$的值。
答案
10. 解:$(a-1)(b-1)=ab-a-b+1$。
因为$ab=a+b+1$,
所以原式$=a+b+1-a-b+1=2$。
因为$ab=a+b+1$,
所以原式$=a+b+1-a-b+1=2$。
解析
【分析】本题属于代数式求值类题目，解题思路是先利用多项式乘多项式法则展开所求的代数式，再将已知条件整体代入展开式，通过化简计算得出结果，核心是掌握多项式乘法规则和整体代入的方法。
【解析】首先展开所求代数式：根据多项式乘多项式法则，$(a-1)(b-1)=ab - a - b + 1$；已知$ab = a + b + 1$，将其代入上式得：原式$=(a + b + 1) - a - b + 1$；合并同类项后，$a - a = 0$，$-b + b = 0$，剩余$1 + 1 = 2$，因此结果为2。
【答案】2
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式
【点评】本题考查代数式的化简求值，重点考查多项式乘多项式运算和整体代入思想的应用，整体代入简化了计算过程，是代数运算中常用的技巧，题目难度适中，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】首先展开所求代数式：根据多项式乘多项式法则，$(a-1)(b-1)=ab - a - b + 1$；已知$ab = a + b + 1$，将其代入上式得：原式$=(a + b + 1) - a - b + 1$；合并同类项后，$a - a = 0$，$-b + b = 0$，剩余$1 + 1 = 2$，因此结果为2。
【答案】2
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式
【点评】本题考查代数式的化简求值，重点考查多项式乘多项式运算和整体代入思想的应用，整体代入简化了计算过程，是代数运算中常用的技巧，题目难度适中，属于基础题型。
【难度系数】0.6
