整式的乘法包括、、。

【基础知识】
知识点 单项式乘单项式 单项式乘多项式
多项式乘多项式

【分析】
本题考查整式乘法的基本组成，属于基础概念识记类题目，解题时只需准确回忆整式乘法包含的三类运算，直接对应填空即可，这类题目难度低，只要牢记相关知识点就能正确作答。
【解析】
整式的乘法是代数运算的重要内容，主要分为三类：单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，因此题目中的三个空依次填入上述三类运算。
【答案】
单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式
【知识点】
整式的乘法、单项式乘法、多项式乘法
【点评】
本题为基础概念题，侧重考查对整式乘法组成部分的识记，是代数学习中的必备基础知识，难度较低，适合巩固代数基础。
【难度系数】
0.9

例 1 计算：$(3x - 2)(-x^{2} - 2x + 1)$。

$(3x - 2)(-x^{2} - 2x + 1)$
$=3x·(-x^{2}) + 3x·(-2x) + 3x·1 + (-2)·(-x^{2}) + (-2)·(-2x) + (-2)·1$
$=-3x^{3} - 6x^{2} + 3x + 2x^{2} + 4x - 2$
$=-3x^{3} + (-6x^{2} + 2x^{2}) + (3x + 4x) - 2$
$=-3x^{3} - 4x^{2} + 7x - 2$

【分析】
本题是多项式乘多项式的运算，解题思路为：根据多项式乘法法则，用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再将所得的积相加，最后合并同类项得到结果，计算时需注意每一项的符号，避免出错。
【解析】
$(3x - 2)(-x^{2} - 2x + 1)$
$=3x·(-x^{2}) + 3x·(-2x) + 3x·1 + (-2)·(-x^{2}) + (-2)·(-2x) + (-2)·1$
$=-3x^{3} - 6x^{2} + 3x + 2x^{2} + 4x - 2$
$=-3x^{3} + (-6x^{2} + 2x^{2}) + (3x + 4x) - 2$
$=-3x^{3} - 4x^{2} + 7x - 2$
【答案】
$-3x^{3} - 4x^{2} + 7x - 2$
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题考查多项式乘多项式的运算法则，核心是准确展开式子并正确合并同类项，需注意计算过程中的符号处理，属于基础运算题，难度不大，需细心作答。
【难度系数】
0.6

例 2 计算：$(a + 5)(a^{2} - 3a + 2) - a^{2}(a + 2)$。

$(a + 5)(a^{2} - 3a + 2) - a^{2}(a + 2)$
$= a · a^{2} + a · (-3a) + a · 2 + 5 · a^{2} + 5 · (-3a) + 5 · 2 - (a^{2} · a + a^{2} · 2)$
$= a^{3} - 3a^{2} + 2a + 5a^{2} - 15a + 10 - (a^{3} + 2a^{2})$
$= a^{3} - 3a^{2} + 2a + 5a^{2} - 15a + 10 - a^{3} - 2a^{2}$
$= (a^{3} - a^{3}) + (-3a^{2} + 5a^{2} - 2a^{2}) + (2a - 15a) + 10$
$= 0 + 0 - 13a + 10$
$= -13a + 10$

【分析】本题是整式的混合运算，解题思路为：第一步，利用多项式乘多项式法则展开$(a + 5)(a^{2} - 3a + 2)$，再利用单项式乘多项式法则展开$a^{2}(a + 2)$；第二步，去括号，注意括号前是负号时，括号内各项要变号；第三步，合并同类项，将同类项的系数相加，字母和指数不变，最终得到结果。
【解析】
$(a + 5)(a^{2} - 3a + 2) - a^{2}(a + 2)$
$= a · a^{2} + a · (-3a) + a · 2 + 5 · a^{2} + 5 · (-3a) + 5 · 2 - (a^{2} · a + a^{2} · 2)$
$= a^{3} - 3a^{2} + 2a + 5a^{2} - 15a + 10 - (a^{3} + 2a^{2})$
$= a^{3} - 3a^{2} + 2a + 5a^{2} - 15a + 10 - a^{3} - 2a^{2}$
$= (a^{3} - a^{3}) + (-3a^{2} + 5a^{2} - 2a^{2}) + (2a - 15a) + 10$
$= 0 + 0 - 13a + 10$
$= -13a + 10$
【答案】$-13a + 10$
【知识点】整式的乘法、合并同类项
【点评】本题考查整式的混合运算，重点考查多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则及合并同类项的方法，解题时需注意去括号的符号变化，避免同类项合并错误，属于初中数学整式部分的基础运算题。
【难度系数】0.6

【变式训练 2】解方程：$6x(x - 2) - (x - 2)(3x - 1) = 3x^{2} - 8$。

【例题选讲】
变式训练2 解：因为$6x(x-2)-(x-2)(3x-1)=3x^{2}-8$，
所以$6x^{2}-12x-(3x^{2}-x-6x+2)=3x^{2}-8$，
即$3x^{2}-5x-2=3x^{2}-8$，
所以$x=\frac {6}{5}$。

【分析】
解此方程的思路是：先展开方程左边的多项式，去括号后合并同类项，将原方程化简为一元一次方程，再求解。需注意去括号时的符号变化，以及合并同类项的准确性，最终消去二次项后转化为一次方程即可轻松求解。
【解析】
解：展开方程左边的各项：
$6x(x - 2) = 6x^2 - 12x$，
$(x - 2)(3x - 1) = 3x^2 - x - 6x + 2 = 3x^2 - 7x + 2$，
原方程可化为：
$6x^2 - 12x - (3x^2 - 7x + 2) = 3x^2 - 8$，
去括号得：$6x^2 - 12x - 3x^2 + 7x - 2 = 3x^2 - 8$，
合并同类项得：$3x^2 - 5x - 2 = 3x^2 - 8$，
两边同时减去$3x^2$得：$-5x - 2 = -8$，
移项得：$-5x = -8 + 2$，
计算得：$-5x = -6$，
两边同时除以$-5$得：$x = \frac{6}{5}$。
【答案】
$x = \frac{6}{5}$
【知识点】
整式的乘法、合并同类项、一元一次方程的解法
【点评】
本题是整式运算与一元一次方程结合的基础题，核心是通过展开多项式、合并同类项化简方程，消去二次项后转化为一元一次方程求解，重点考查学生的整式运算能力和方程化简能力，计算时需注意去括号的符号规则。
【难度系数】
0.6

1. 下列计算错误的是()

A.$(x + 1)(x^{2} - x + 1) = x^{3} + 1$
B.$(a - 2b)(a^{2} + ab - b^{2}) = a^{3} - a^{2}b - 3ab^{2} + 2b^{3}$
C.$(x + y)(x^{2} - y^{2}) = x^{3} - y^{3}$
D.$(a + 1)(a + 1)(a + 1) = a^{3} + 3a^{2} + 3a + 1$

【同步训练】
1. C

【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，解题时需根据多项式乘多项式的法则，分别计算每个选项中等式左边的结果，再与右边对比，找出计算错误的选项。多项式乘多项式的法则为：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再将所得的积相加，计算时要注意符号和同类项的合并。
【解析】逐个计算各选项：
选项A：左边=$(x + 1)(x^2 - x + 1)=x· x^2 + x·(-x) + x·1 + 1· x^2 + 1·(-x) + 1·1=x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1=x^3 + 1$，与右边相等，计算正确。
选项B：左边=$(a - 2b)(a^2 + ab - b^2)=a· a^2 + a· ab + a·(-b^2) + (-2b)· a^2 + (-2b)· ab + (-2b)·(-b^2)=a^3 + a^2b - ab^2 - 2a^2b - 2ab^2 + 2b^3=a^3 - a^2b - 3ab^2 + 2b^3$，与右边相等，计算正确。
选项C：左边=$(x + y)(x^2 - y^2)=x· x^2 + x·(-y^2) + y· x^2 + y·(-y^2)=x^3 - xy^2 + x^2y - y^3$，与右边$x^3 - y^3$不相等，计算错误。
选项D：左边=$(a + 1)(a + 1)(a + 1)=(a + 1)^3=a^3 + 3a^2 + 3a + 1$，与右边相等，计算正确。
综上，计算错误的是选项C。
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式、立方和差公式
【点评】本题是整式乘法的基础题型，主要考查多项式乘多项式的运算法则，需熟练掌握运算法则，计算时要仔细避免漏项、符号错误，同时要注意区分相关乘法公式，避免混淆。
【难度系数】0.6

2. 若$x^{2} - 4x + m = (x - 2)(x + n)$，则()

A.$m = - 4$，$n = 2$
B.$m = 4$，$n = - 2$
C.$m = - 4$，$n = - 2$
D.$m = 4$，$n = 2$

【同步训练】
2. B

【分析】
要解决这个问题，需利用多项式乘法法则展开等式右侧的乘积，再根据“多项式相等时同类项系数对应相等”的性质，建立关于$m$、$n$的方程求解，最终匹配选项。
【解析】
1. 展开等式右侧的多项式乘积：
根据多项式乘多项式法则$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，将$(x-2)(x+n)$展开得：
$(x-2)(x+n)=x^2 + nx - 2x - 2n = x^2 + (n-2)x - 2n$
2. 对比等式左右两侧的同类项系数：
等式左侧为$x^2 -4x + m$，由于左右两侧多项式相等，同类项系数必须对应相等：
$x$项系数：$n - 2 = -4$，解得$n = -2$；
常数项：$m = -2n$，将$n=-2$代入得$m = -2×(-2)=4$；
因此$m=4$，$n=-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式；同类项系数相等
【点评】
本题考查多项式乘法与多项式相等的性质，解题核心是正确展开乘积并对应系数，属于代数基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7