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3. 已知$m + n = 2$，$mn = - 2$，则$(2 - m)(2 - n)$的值为(
A.2
B.- 2
C.0
D.3
B
)A.2
B.- 2
C.0
D.3
答案
【同步训练】
3. B
3. B
解析
【分析】
要计算$(2 - m)(2 - n)$的值，首先观察该式是多项式乘多项式，可先将其展开，展开后会出现$m+n$和$mn$的形式，而题目已给出$m+n$和$mn$的具体值，因此可采用整体代入法，直接将已知的$m+n$和$mn$的值代入展开后的式子计算，无需单独求解$m$、$n$的值，简化计算过程。
【解析】
解：对$(2 - m)(2 - n)$进行多项式乘多项式的展开：
$\begin{aligned}(2 - m)(2 - n)&=2×2 - 2n - 2m + mn\\&=4 - 2(m + n) + mn\end{aligned}$
已知$m + n = 2$，$mn = -2$，将其代入上式：
$\begin{aligned}原式&=4 - 2×2 + (-2)\\&=4 - 4 - 2\\&=-2\end{aligned}$
所以结果为$-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
整式的乘法、整体代入法
【点评】
本题考查多项式乘多项式的运算及整体代入的数学思想，属于基础代数运算题，通过展开代数式转化为已知整体的形式，降低计算难度，适合初中代数基础阶段的练习，能有效巩固整式运算的基本方法。
【难度系数】
0.6
要计算$(2 - m)(2 - n)$的值，首先观察该式是多项式乘多项式，可先将其展开，展开后会出现$m+n$和$mn$的形式，而题目已给出$m+n$和$mn$的具体值，因此可采用整体代入法，直接将已知的$m+n$和$mn$的值代入展开后的式子计算，无需单独求解$m$、$n$的值，简化计算过程。
【解析】
解：对$(2 - m)(2 - n)$进行多项式乘多项式的展开：
$\begin{aligned}(2 - m)(2 - n)&=2×2 - 2n - 2m + mn\\&=4 - 2(m + n) + mn\end{aligned}$
已知$m + n = 2$，$mn = -2$，将其代入上式：
$\begin{aligned}原式&=4 - 2×2 + (-2)\\&=4 - 4 - 2\\&=-2\end{aligned}$
所以结果为$-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
整式的乘法、整体代入法
【点评】
本题考查多项式乘多项式的运算及整体代入的数学思想，属于基础代数运算题，通过展开代数式转化为已知整体的形式，降低计算难度，适合初中代数基础阶段的练习，能有效巩固整式运算的基本方法。
【难度系数】
0.6
4. 已知$x(x - 2) = 3$，则代数式$2x^{2} - 4x - 7$的值为
-1
。答案
【同步训练】
4. $-1$
4. $-1$
解析
【分析】本题是代数式求值类题目，核心运用整体代入法简化计算。首先将已知等式展开得到x²与x的关系式，再把所求代数式变形为含该关系式的形式，最后代入计算，无需单独求解x的值，降低运算复杂度。
【解析】由已知条件x(x - 2) = 3，展开可得：x² - 2x = 3。对待求代数式2x² - 4x -7变形，提取公因式2得：2(x² - 2x) -7。将x² - 2x = 3代入变形后的式子，计算得：2×3 -7 = 6 -7 = -1。
【答案】-1
【知识点】代数式求值、整体代入思想
【点评】本题难度较低，考查整体代入法在代数式求值中的应用，通过变形简化运算，是代数运算的基础技巧，适合基础阶段巩固练习。
【难度系数】0.8
【解析】由已知条件x(x - 2) = 3，展开可得：x² - 2x = 3。对待求代数式2x² - 4x -7变形，提取公因式2得：2(x² - 2x) -7。将x² - 2x = 3代入变形后的式子，计算得：2×3 -7 = 6 -7 = -1。
【答案】-1
【知识点】代数式求值、整体代入思想
【点评】本题难度较低，考查整体代入法在代数式求值中的应用，通过变形简化运算，是代数运算的基础技巧，适合基础阶段巩固练习。
【难度系数】0.8
5. 若“$x + n$”与“$x + 3$”的乘积中不含$x$的一次项，则$n$的值为
-3
。答案
【同步训练】
5. $-3$
5. $-3$
解析
【分析】要解决这个问题，需先计算两个多项式的乘积，再根据“不含x的一次项”的条件，令一次项系数为0，进而求出n的值。具体思路是：先展开多项式乘积，合并同类项找到x的一次项系数，令其等于0，解关于n的方程即可。
【解析】计算两个多项式的乘积：
$(x + n)(x + 3) = x · x + x · 3 + n · x + n · 3 = x^2 + 3x + nx + 3n$
合并同类项得：$x^2 + (3 + n)x + 3n$
因为乘积中不含x的一次项，所以x的一次项系数为0，即：
$3 + n = 0$
解得：$n = -3$
【答案】$-3$
【知识点】多项式乘多项式，整式的项的系数
【点评】本题是整式运算的基础题型，核心是掌握多项式乘多项式的运算法则，以及“不含某一项则该项系数为0”的解题技巧，属于初中数学整式部分的常考基础题。
【难度系数】0.7
【解析】计算两个多项式的乘积：
$(x + n)(x + 3) = x · x + x · 3 + n · x + n · 3 = x^2 + 3x + nx + 3n$
合并同类项得：$x^2 + (3 + n)x + 3n$
因为乘积中不含x的一次项，所以x的一次项系数为0，即：
$3 + n = 0$
解得：$n = -3$
【答案】$-3$
【知识点】多项式乘多项式，整式的项的系数
【点评】本题是整式运算的基础题型，核心是掌握多项式乘多项式的运算法则，以及“不含某一项则该项系数为0”的解题技巧，属于初中数学整式部分的常考基础题。
【难度系数】0.7
6. 如图，阴影部分的面积为
ab+ad+cd
。答案
【同步训练】
6. $ab+ad+cd$
6. $ab+ad+cd$
解析
【分析】
要计算阴影部分的面积，可采用分割法将不规则的阴影图形拆分为几个规则的长方形，分别计算各部分面积后求和。观察图形，阴影部分可拆分为左侧上方、左侧下方和右侧三个规则长方形，分别计算它们的面积再相加即可得到总面积。
【解析】
将阴影部分分割为三个长方形：
1. 左侧上方长方形：长为$a$，宽为$b$，面积为$ab$；
2. 左侧下方长方形：长为$a$，宽为$d$，面积为$ad$；
3. 右侧长方形：长为$c$，宽为$d$，面积为$cd$；
因此，阴影部分总面积为三个长方形面积之和：$ab + ad + cd$。
【答案】
$ab + ad + cd$
【知识点】
代数式的面积计算、整式的加减
【点评】
本题通过分割法将不规则图形转化为规则长方形，考查用代数式表示几何图形的面积，是基础题型，解题核心是正确拆分图形。
【难度系数】
0.6
要计算阴影部分的面积，可采用分割法将不规则的阴影图形拆分为几个规则的长方形，分别计算各部分面积后求和。观察图形，阴影部分可拆分为左侧上方、左侧下方和右侧三个规则长方形，分别计算它们的面积再相加即可得到总面积。
【解析】
将阴影部分分割为三个长方形：
1. 左侧上方长方形：长为$a$，宽为$b$，面积为$ab$；
2. 左侧下方长方形：长为$a$，宽为$d$，面积为$ad$；
3. 右侧长方形：长为$c$，宽为$d$，面积为$cd$；
因此，阴影部分总面积为三个长方形面积之和：$ab + ad + cd$。
【答案】
$ab + ad + cd$
【知识点】
代数式的面积计算、整式的加减
【点评】
本题通过分割法将不规则图形转化为规则长方形，考查用代数式表示几何图形的面积，是基础题型，解题核心是正确拆分图形。
【难度系数】
0.6
7. 先化简，再求值：$(x - 2)(x^{2} + 2x + 4) - x(x - 2)$，其中$x = - 1$。
能力提高
能力提高
答案
【同步训练】
7. 解：原式$=x^{3}+2x^{2}+4x-2x^{2}-4x-8-x^{2}+2x$
$=x^{3}-x^{2}+2x-8$。
当$x=-1$时，
原式$=(-1)^{3}-(-1)^{2}+2×(-1)-8$
$=-1-1-2-8$
$=-12$。
7. 解：原式$=x^{3}+2x^{2}+4x-2x^{2}-4x-8-x^{2}+2x$
$=x^{3}-x^{2}+2x-8$。
当$x=-1$时，
原式$=(-1)^{3}-(-1)^{2}+2×(-1)-8$
$=-1-1-2-8$
$=-12$。
解析
【分析】
本题是整式的化简求值题，解题思路为：第一步，利用多项式乘多项式法则展开$(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$，利用单项式乘多项式法则展开$x(x - 2)$；第二步，合并展开后的同类项，得到最简整式；第三步，将$x = -1$代入最简整式，计算出最终结果。计算时需注意符号的处理，尤其是去括号时的符号变化，以及同类项的准确合并。
【解析】
解：原式$=x^3 + 2x^2 + 4x - 2x^2 - 4x - 8 - x^2 + 2x$
$=x^3 - x^2 + 2x - 8$
当$x = -1$时，
原式$=(-1)^3 - (-1)^2 + 2×(-1) - 8$
$=-1 - 1 - 2 - 8$
$=-12$
【答案】
$-12$
【知识点】
整式的乘法、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题属于整式化简求值的基础题型，主要考查多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则及合并同类项的方法，解题过程需注意符号的准确性，代入负数求值时要正确计算乘方，整体难度不大，是学生需掌握的基础内容。
【难度系数】
0.7
本题是整式的化简求值题，解题思路为：第一步，利用多项式乘多项式法则展开$(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$，利用单项式乘多项式法则展开$x(x - 2)$；第二步，合并展开后的同类项，得到最简整式；第三步，将$x = -1$代入最简整式，计算出最终结果。计算时需注意符号的处理，尤其是去括号时的符号变化，以及同类项的准确合并。
【解析】
解：原式$=x^3 + 2x^2 + 4x - 2x^2 - 4x - 8 - x^2 + 2x$
$=x^3 - x^2 + 2x - 8$
当$x = -1$时，
原式$=(-1)^3 - (-1)^2 + 2×(-1) - 8$
$=-1 - 1 - 2 - 8$
$=-12$
【答案】
$-12$
【知识点】
整式的乘法、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题属于整式化简求值的基础题型，主要考查多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则及合并同类项的方法，解题过程需注意符号的准确性，代入负数求值时要正确计算乘方，整体难度不大，是学生需掌握的基础内容。
【难度系数】
0.7
8. 已知$x + y = 2$，$xy = - 3$，求$(x - 3)(y - 3)$的值。
答案
【同步训练】
8. 解：$(x-3)(y-3)=xy-3x-3y+9$
$=xy-3(x+y)+9$。
因为$x+y=2$，$xy=-3$，
所以原式$=-3-3×2+9$
$=-3-6+9$
$=0$。
8. 解：$(x-3)(y-3)=xy-3x-3y+9$
$=xy-3(x+y)+9$。
因为$x+y=2$，$xy=-3$，
所以原式$=-3-3×2+9$
$=-3-6+9$
$=0$。
解析
【分析】要计算代数式$(x - 3)(y - 3)$的值，首先利用多项式乘多项式的运算法则展开式子，再通过提取公因式将式子变形为含有已知条件$x+y$和$xy$的形式，最后将$x+y=2$、$xy=-3$整体代入变形后的式子计算即可。
【解析】
解：$(x - 3)(y - 3)$
$= xy - 3x - 3y + 9$（多项式乘多项式法则展开）
$= xy - 3(x + y) + 9$（提取公因式，整理为含$x+y$的形式）
将$x + y = 2$，$xy = -3$代入上式：
原式$= -3 - 3×2 + 9$
$= -3 - 6 + 9$
$= 0$
【答案】0
【知识点】多项式乘多项式；代数式求值
【点评】本题考查多项式展开运算与整体代入的求值方法，解题关键是正确展开并整理代数式，将未知转化为已知，属于初中代数基础题型，难度较低。
【难度系数】0.6
【解析】
解：$(x - 3)(y - 3)$
$= xy - 3x - 3y + 9$（多项式乘多项式法则展开）
$= xy - 3(x + y) + 9$（提取公因式，整理为含$x+y$的形式）
将$x + y = 2$，$xy = -3$代入上式：
原式$= -3 - 3×2 + 9$
$= -3 - 6 + 9$
$= 0$
【答案】0
【知识点】多项式乘多项式；代数式求值
【点评】本题考查多项式展开运算与整体代入的求值方法，解题关键是正确展开并整理代数式，将未知转化为已知，属于初中代数基础题型，难度较低。
【难度系数】0.6
9. 有三个连续的奇数，若中间的那个奇数为$n$，求这三个奇数的积。
答案
【同步训练】
9. 解：由题意知，这三个连续的奇数分别为$n-2$，$n$，$n+2$，则它们的积为
$(n-2)· n· (n+2)=n(n^{2}+2n-2n-4)$
$=n(n^{2}-4)$
$=n^{3}-4n$。
9. 解：由题意知，这三个连续的奇数分别为$n-2$，$n$，$n+2$，则它们的积为
$(n-2)· n· (n+2)=n(n^{2}+2n-2n-4)$
$=n(n^{2}-4)$
$=n^{3}-4n$。
解析
【分析】首先，连续奇数之间相差2，已知中间的奇数为n，那么前一个奇数比n小2，即n-2，后一个奇数比n大2，即n+2；接下来计算这三个奇数的乘积，再通过整式乘法化简得到最终结果。
【解析】解：由题意，三个连续奇数分别为n-2、n、n+2，它们的积为：
$(n-2)·n·(n+2)$
根据乘法交换律，先计算$(n-2)(n+2)$，利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，得：
$=n·(n^2 - 4)$
再根据单项式乘多项式法则展开：
$=n^3 - 4n$
【答案】$n^3 - 4n$
【知识点】连续奇数的表示、整式的乘法（平方差公式）
【点评】本题是基础的代数式运算题，核心考查连续奇数的数量关系和平方差公式的应用，步骤清晰，难度较低，适合巩固整式乘法的基础知识点。
【难度系数】0.6
【解析】解：由题意，三个连续奇数分别为n-2、n、n+2，它们的积为：
$(n-2)·n·(n+2)$
根据乘法交换律，先计算$(n-2)(n+2)$，利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，得：
$=n·(n^2 - 4)$
再根据单项式乘多项式法则展开：
$=n^3 - 4n$
【答案】$n^3 - 4n$
【知识点】连续奇数的表示、整式的乘法（平方差公式）
【点评】本题是基础的代数式运算题，核心考查连续奇数的数量关系和平方差公式的应用，步骤清晰，难度较低，适合巩固整式乘法的基础知识点。
【难度系数】0.6
10. 如图，某市有一块长为$(3a + b)\mathrm{m}$、宽为$(2a + b)\mathrm{m}$的长方形土地。现计划将阴影部分进行绿化，在空白部分修建一座雕像，则绿化面积是多少？当$a = 3$，$b = 2$时，求绿化面积。
答案
【同步训练】
10. 解：绿化面积为
$(3a+b)(2a+b)-(a+b)^{2}=5a^{2}+3ab(m^{2})$。
当$a=3$，$b=2$时，绿化面积为
$5×3^{2}+3×3×2=63(m^{2})$。
10. 解：绿化面积为
$(3a+b)(2a+b)-(a+b)^{2}=5a^{2}+3ab(m^{2})$。
当$a=3$，$b=2$时，绿化面积为
$5×3^{2}+3×3×2=63(m^{2})$。
解析
【分析】要计算绿化面积，需明确阴影部分（绿化区域）的面积等于整个长方形土地的面积减去中间空白正方形的面积。先利用长方形、正方形的面积公式分别表示出两者的面积，再通过整式的乘法展开、相减化简得到绿化面积的表达式，最后代入a、b的具体值计算出绿化面积的数值。
【解析】1. 计算大长方形的面积：根据长方形面积公式，面积为长×宽，即$(3a+b)(2a+b)=6a^2 + 3ab + 2ab + b^2=6a^2 +5ab +b^2$；
2. 计算空白正方形的面积：根据正方形面积公式，面积为边长×边长，即$(a+b)^2=a^2 +2ab +b^2$；
3. 绿化面积为两者的差：$(6a^2 +5ab +b^2)-(a^2 +2ab +b^2)=5a^2 +3ab$（单位：$m^2$）；
4. 代入$a=3$，$b=2$求值：$5×3^2 +3×3×2=5×9 +18=63$（单位：$m^2$）。
【答案】绿化面积为$(5a^2 +3ab)m^2$，当$a=3$，$b=2$时，绿化面积为$63m^2$
【知识点】整式的混合运算、多项式乘多项式、完全平方公式
【点评】本题是整式运算在实际问题中的应用，核心是利用面积差建立代数式，再进行整式化简求值，属于基础题型，需熟练掌握整式的乘法和加减运算规则。
【难度系数】0.6
【解析】1. 计算大长方形的面积：根据长方形面积公式，面积为长×宽，即$(3a+b)(2a+b)=6a^2 + 3ab + 2ab + b^2=6a^2 +5ab +b^2$；
2. 计算空白正方形的面积：根据正方形面积公式，面积为边长×边长，即$(a+b)^2=a^2 +2ab +b^2$；
3. 绿化面积为两者的差：$(6a^2 +5ab +b^2)-(a^2 +2ab +b^2)=5a^2 +3ab$（单位：$m^2$）；
4. 代入$a=3$，$b=2$求值：$5×3^2 +3×3×2=5×9 +18=63$（单位：$m^2$）。
【答案】绿化面积为$(5a^2 +3ab)m^2$，当$a=3$，$b=2$时，绿化面积为$63m^2$
【知识点】整式的混合运算、多项式乘多项式、完全平方公式
【点评】本题是整式运算在实际问题中的应用，核心是利用面积差建立代数式，再进行整式化简求值，属于基础题型，需熟练掌握整式的乘法和加减运算规则。
【难度系数】0.6
