【学以致用3】(1)命题“$∃ x\in\mathbf{R},2x+2≤0$”的否定是（）
A. $∀ x\in\mathbf{R},2x+2＞0$
B. $∀ x\in\mathbf{R},2x+2≤0$
C. $∃ x\in\mathbf{R},2x+2＞0$
D. $∃ x\in\mathbf{R},2x+2≥0$
(2)命题“$∀ x＞0,x＞\sqrt{x}$”的否定是.

(1)A (2)$∃ x＞0,x≤\sqrt{x}$
(1)先将符号“$∃$”换为“$∀$”,再将结论“$2x+2≤0$”否定,故原命题的否定是“$∀ x\in\mathbf{R},2x+2＞0$”.
(2)先将符号“$∀$”换为“$∃$”,再将结论“$x＞\sqrt{x}$”否定,故原命题的否定是“$∃ x＞0,x≤\sqrt{x}$”.

【学以致用4】(一题多解)命题“$∀ x\in\mathbf{R},\sqrt{x^2}=x$”的否定为命题.(填“真”或“假”)

真
方法 1: $\sqrt{x^2}=|x|$,故命题“$∀ x\in\mathbf{R},\sqrt{x^2}=x$”为假命题,其否定为真命题.
方法 2: 命题“$∀ x\in\mathbf{R},\sqrt{x^2}=x$”的否定是“$∃ x\in\mathbf{R},\sqrt{x^2}≠ x$”,为真命题,如当 $x$ 取负数时, $\sqrt{x^2}≠ x$.

【典例1】判断下列命题的真假：
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)(一题多解)∀x∈R, x²+2x+1＞0；
(3)∃x∈Z, 3x+4=5；
(4)至少有一组正整数a,b,c,满足a²+b²+c²≤3.
解题指导 全称量词命题根据“证明”或“举反例”判断真假；存在量词命题根据“举特例”或“证明”判断真假.
答案 解:(1)真命题.
(2)(一题多解)方法1:当x=-1时, x²+2x+1=0,故“∀x∈R, x²+2x+1＞0”为假命题.
方法2: x²+2x+1=(x+1)²≥0,故“∀x∈R, x²+2x+1＞0”为假命题.
(3)当3x+4=5时$, x=\frac{1}{3} ∉ Z,$因而不存在x∈Z,使3x+4=5,故“∃x∈Z,3x+4=5”为假命题.
(4)当a=1,b=1,c=1时, a²+b²+c²≤3成立,所以该存在量词命题为真命题.

解：
(1) 矩形是有一个内角为直角的平行四边形，所有矩形都符合平行四边形的定义，因此该命题为真命题。
(2) 方法1：当$x=-1$时，$x^2+2x+1=0$，不满足$x^2+2x+1＞0$，因此全称量词命题$∀ x \in \mathbb{R},x^2+2x+1＞0$为假命题。
方法2：变形得$x^2+2x+1=(x+1)^2\ge0$，不存在对所有实数$x$都成立的$x^2+2x+1＞0$，因此该命题为假命题。
(3) 解方程$3x+4=5$得$x=\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}∉ \mathbb{Z}$，不存在整数$x$使得等式成立，因此命题$∃ x \in \mathbb{Z},3x+4=5$为假命题。
(4) 取正整数$a=1,b=1,c=1$，代入得$a^2+b^2+c^2=3$，满足$a^2+b^2+c^2\le3$，因此该存在量词命题为真命题。